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本课件讲解随机时间序列分析模型，介绍自回归、移动平均与自回归移动平均模型的基本形式与适用性，给出平稳性条件的推导思路，并说明模型识别、估计与检验的完整流程，并覆盖模型的识别、估计与检验。
§9.2随机时间序列分析模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性二、随机时间序列模型的平稳性条件三、随机时间序列模型的识别四、随机时间序列模型的估计五、随机时间序列模型的检验
时间序列模型的基本概念及其适用性
时间序列模型的基本概念随机时间序列模型（timeseriesmodeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（t=t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t这里，t特指一白噪声。
一般的p阶自回归过程AR(p)是Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pureAR(p)process），记为Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（movingaverage）过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2--qt-q该式给出了一个纯MA(q)过程（pureMA(p)process）。
将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressive moving average）过程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
例如，对于如下最简单的宏观经济模型：这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。Ct与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资It的运动及随机扰动项t的变化决定的。
随机时间序列模型的平稳性条件
例9.2.1AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有||<1。
而AR(1)的特征方程的根为z=1/AR(1)稳定，即||<1，意味着特征根大于1。例9.2.2AR(2)模型的平稳性。对AR(2)模型方程两边同乘以Xt，再取期望得：
又由于于是同样地，由原式还可得到于是方差为
由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有1+2<1,2-1<1,|2|<1这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。
对应的特征方程1-1z-2z2=0的两个根z1、z2满足：z1z2=-1/2,z1+z2=-1/2AR(2)模型解出1，2由AR(2)的平稳性，|2|=1/|z1||z2|<1，则至少有一个根的模大于1，不妨设|z1|>1，有于是|z2|>1。由2-1<1可推出同样的结果。
对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：1+2++p<1(2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：|1|+|2|++|p|<1
对于移动平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中t是一个白噪声，于是2、MA(q)模型的平稳性当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。
由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q3、ARMA(p,q)模型的平稳性而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，不是平稳的。
最后（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；（2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving average）时间序列，记为ARIMA(p,d,q)。例如，一个ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。当然，一个ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯AR(p)平稳过程；一个ARIMA(0,0,q)表示一个纯MA(q)平稳过程。
随机时间序列模型的识别
所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相关函数（partialautocorrelationfunction，PACF）。
AR(p)过程(1)自相关函数ACF1阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+t的k阶滞后自协方差为：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相关函数为=1,2,…由AR(1)的稳定性知||<1，因此，k时，呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinite memory）。注意，<0时，呈振荡衰减状。
Xt=1Xt-1+2Xt-2+t该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为２阶自回归模型AR(2)类似地,可写出一般的k期滞后自协方差：(K=2,3,…)于是,AR(2)的k阶自相关函数为：(K=2,3,…)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)稳定，则由1+2<1知|k|衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看AR(2)特征根的实虚性，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。
一般地，p阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+tk期滞后协方差为:从而有自相关函数:可见，无论k有多大，k的计算均与其１到p阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。如果AR(p)是稳定的，则|k|递减且趋于零。
其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|<1;因此，当1/zi均为实数根时，k呈几何型衰减（单调或振荡）；当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项，k呈正弦波衰减。事实上，自相关函数是一p阶差分方程，其通解为
（2）偏自相关函数自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partialautocorrelation，简记为PACF)则是消除了中间变量Xt-1，…，Xt-k+1带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。
从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为在AR(1)中，同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是:k>p时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0即k*在p以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即k>p时，k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序列。
在实际识别时，由于样本偏自相关函数rk*是总体偏自相关函数k*的一个估计，由于样本的随机性，当k>p时，rk*不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当k>p时，rk*服从如下渐近正态分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，如果计算的rk*满足需指出的是，我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后截尾。
对MA(1)过程2、MA(q)过程可容易地写出它的自协方差系数：于是，MA(1)过程的自相关函数为：可见，当k>1时，k>0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。
MA(1)过程可以等价地写成t关于无穷序列Xt，Xt-1，…的线性组合的形式：或（*）(*)是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。注意:(*)式只有当||<1时才有意义，否则意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。因此，我们把||<1称为MA(1)的可逆性条件（invertibility condition）或可逆域。
其自协方差系数为一般地，q阶移动平均过程MA(q)相应的自相关函数为可见，当k>q时，Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当k>q时，k=0是MA(q)的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶。
与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截尾，即自q以后，k=0（k>q）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均MA(q)序列。同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关函数rk是总体自相关函数k的一个估计，由于样本的随机性，当k>q时，rk不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当k>q时，rk服从如下渐近正态分布:rk~N(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，如果计算的rk满足：我们就有95.5%的把握判断原时间序列在q之后截尾。
随机时间序列模型的估计
AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大体上分为3类：（1）最小二乘估计；（2）矩估计；（3）利用自相关函数的直接估计。下面有选择地加以介绍。结构阶数模型识别确定估计参数
AR(p)模型的YuleWalker方程估计在AR(p)模型的识别中，曾得到利用k=-k，得到如下方程组：此方程组被称为Yule Walker方程组。该方程组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,,p与自相关函数1,2,,p的关系，
利用实际时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的估计值然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计值由于于是从而可得2的估计值在具体计算时，可用样本自相关函数rk替代。
MA(q)模型的矩估计将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到：首先求得自协方差函数的估计值，(*)是一个包含(q+1)个待估参数(*)的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代方法有线性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。
（1）MA(1)模型的直接算法对于MA(1)模型，（*）式相应地写成于是或有于是有解由于参数估计有两组解，可根据可逆性条件|1|<1来判断选取一组。
（2）MA(q)模型的迭代算法对于q>1的MA(q)模型，一般用迭代算法估计参数：由（*）式得第一步，给出的一组初值，比如代入（**）式，计算出第一次迭代值（**）
第二步，将第一次迭代值代入（**）式，计算出第二次迭代值按此反复迭代下去，直到第m步的迭代值与第m-1步的迭代值相差不大时（满足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代结果作为（**）的近似解。
ARMA(p,q)模型的矩估计在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数1,2,,p与1,2,,q以及2，其估计量计算步骤及公式如下：第一步，估计1,2,,p是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函数rk代替。
第二步，改写模型，求1,2,,q以及2的估计值将模型改写为：令于是(*)可以写成：(*)构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到1,2,,q以及2的估计值。
AR(p)的最小二乘估计假设模型AR(p)的参数估计值已经得到，即有残差的平方和为：(*)根据最小二乘原理，所要求的参数估计值是下列方程组的解：即j=1,2,…,p(**)解该方程组，就可得到待估参数的估计值。
为了与AR(p)模型的Yule Walker方程估计进行比较，将(**)改写成：j=1,2,…,p由自协方差函数的定义，并用自协方差函数的估计值代入，上式表示的方程组即为：或j=1,2,…,pj=1,2,…,p
解该方程组，得到：即为参数的最小二乘估计。Yule Walker方程组的解比较发现，当n足够大时，二者是相似的。2的估计值为：
需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常数项的模型。下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。对含有常数项的模型方程两边同减/(1-1--p)，则可得到其中
模型的检验
AIC与SBC模型选择标准另外一个遇到的问题是，在实际识别ARMA(p,q)模型时，需多次反复偿试，有可能存在不止一组（p,q）值都能通过识别检验。显然，增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了自由度。因此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型的拟合优度的权衡选择问题。
其中，n为待估参数个数（p+q+可能存在的常数项），T为可使用的观测值，RSS为残差平方和（Residualsumofsquares）。在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好显然，如果添加的滞后项没有解释能力，则对RSS值的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得AIC或SBC的值增加。需注意的是：在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法（Akaikeinformation criterion，简记为AIC）与施瓦兹贝叶斯法（Schwartz Bayesian criterion，简记为SBC）：
由第一节知：中国支出法GDP是非平稳的，但它的一阶差分是平稳的，即支出法GDP是I(1)时间序列。可以对经过一阶差分后的GDP建立适当的ARMA(p,q)模型。记GDP经一阶差分后的新序列为GDPD1，该新序列的样本自相关函数图与偏自相关函数图如下：例9.2.3中国支出法GDP的ARMA(p,q)模型估计。
图形：样本自相关函数图形呈正弦线型衰减波，而偏自相关函数图形则在滞后两期后迅速趋于0。因此可初步判断该序列满足2阶自回归过程AR(2)。自相关函数与偏自相关函数的函数值：相关函数具有明显的拖尾性；偏自相关函数值在k>2以后，可认为：偏自相关函数是截尾的。再次验证了一阶差分后的GDP满足AR(2)随机过程。
设序列GDPD1的模型形式为有如下Yule Walker方程：解为：用OLS法回归的结果为：（7.91) (-3.60)r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15
有时，在用回归法时，也可加入常数项。本例中加入常数项的回归为：（1.99）（7.74）（-3.58）r2=0.8758 R2=0.8612 DW.=1.22
模型检验下表列出三模型的残差项的自相关系数及QLB检验值。模型1与模型3的残差项接近于一白噪声，但模型2存在4阶滞后相关问题，Q统计量的检验也得出模型2拒绝所有自相关系数为零的假设。因此:模型1与3可作为描述中国支出法GDP一阶差分序列的随机生成过程。
用建立的AR(2)模型对中国支出法GDP进行外推预测。模型1可作如下展开：于是，当已知t-1、t-2、t-3期的GDP时，就可对第t期的GDP作出外推预测。模型3的预测式与此相类似，只不过多出一项常数项。对2001年中国支出法GDP的预测结果（亿元）预测值实际值误差模型1 95469 95933-0.48%模型3 97160 95933 1.28%
由于中国人均居民消费（CPC）与人均国内生产总值（GDPPC）这两时间序列是非平稳的，因此不宜直接建立它们的因果关系回归方程。但它们都是I(2)时间序列，因此可以建立它们的ARIMA(p,d,q)模型。下面只建立中国人均居民消费（CPC）的随机时间序列模型。中国人均居民消费（CPC）经过二次差分后的新序列记为CPCD2，其自相关函数、偏自相关函数及Q统计量的值列于下表：例9.2.4中国人均居民消费的ARMA(p,q)模型
在5%的显著性水平下，通过Q统计量容易验证该序列本身就接近于一白噪声，因此可考虑采用零阶MA(0)模型:由于k=2时，|r2|=|-0.29|>因此,也可考虑采用下面的MA模型：
当然，还可观察到自相关函数在滞后4、5、8时有大于0.2的函数值，因此，可考虑在模型中增加MA(4)、MA(5)、MA(8)。不同模型的回归结果列于表9.2.5。可以看出:在纯MA模型中，模型4具有较好的性质，但由于MA(5)的t检验偏小，因此可选取模型3。
最后，给出通过模型3的外推预测。模型3的展开式为：即由于t表示预测期的随机扰动项，它未知，可假设为0，于是t期的预测式为:为模型3中滞后2期与滞后4期的相应残差项的估计值。
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