05 第5章 模拟滤波器的设计.pptx

第1页：第5章模拟滤波器的设计

第5章模拟滤波器的设计：本章课件封面，标注课程名称、任课教师与授课班级信息。

第2页：本章目录

本章目录

• 5.1 模拟滤波器的逼近
• 5.5 综合实例
• 5.4 椭圆滤波器(考尔滤波器)
• 5.3 切比雪夫滤波器
• 5.2 巴特沃斯(Butterworth)滤波器

第3页：本章学习要求掌握模拟滤波器的概念和分类

本章学习要求掌握模拟滤波器的概念和分类；掌握模拟滤波器的逼近原理；了解模拟滤波器的电路实现。掌握巴特沃斯滤波器和切比雪夫I型滤波器的设计方法；

第4页：引言模拟滤波器的逼近1

引言模拟滤波器的逼近1中山市文化艺术中心是中山市“十五”规划重点工程项目之一。该工程项目于2003年8月3日正式奠基动工，于2005年年底竣工。市文化艺术中心项目是中山目前为止最复杂的公共建筑工程，其技术含量、施工难度、工种配合、质量要求、都超于一般建筑工程项目。

由于该艺术中心需要使用大量的单相设备,如灯光、音响、UPS等,而此类单相设备会产生大量的第三谐波电流,三谐波电流为零序谐波,会于中性线上累加,就会造成中性线电流过大,引发种种的电气事故,严重时会发生无法预估的社会事故。有鉴于此,工程设计人员在设计阶段选用了中性线三谐波专用滤波器，将其并联在相线及中性线上，使中性线三谐波电流的大部分流入三次谐波滤波器，保护了中性线的电气安全，效果显著。

第5页：模拟滤波器的逼近

图5.3滤波前后的第三谐波电流比较(a)滤波前的第三谐波电流(b)滤波后的第三谐波电流图5.3滤波前后的第三谐波电流比较(a)滤波前的第三谐波电流(b)滤波后的第三谐波电流

第6页：引言模拟滤波器的逼近1

引言模拟滤波器的逼近1在实际系统中，输入信号常常包含了一些不需要的噪声信号，为了挑选出有用信号，就要使用具有过滤作用的滤波器。允许输入信号部分频率顺利通过，而较大抑制另一部分频率的选频网络就称为滤波器。一般用于做信号处理、数据传送和抑制干扰等。

早在19世纪80年代初，电阻、电容滤波器就已经出现。而滤波器理论的起源，要感谢德国的瓦格纳(Wagner)和美国贝尔实验室的坎贝尔(Campbell)，在1915年，他们分别提出关于滤波器的论文，被世界公认为是滤波器的独立发明者。

从那时起，滤波器设计的理论和实践，随着“滤波器”术语的推广而有相当的进展。

第7页：模拟滤波器的逼近

引言模拟滤波器的逼近1图5.4模拟滤波器示意图

第8页：滤波器的分类方法

滤波器的分类方法有很多。按信号处理方式分类，有模拟滤波器和数字滤波器；按元件分类可分为无源滤波器和有源滤波器；按滤波功能分类，有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器及全通滤波器等。考虑到其他滤波器都可以通过低通滤波器转换得出，而且IIR数字滤波器设计要基于模拟滤波器设计，所以本章只讨论模拟低通滤波器的设计。

滤波器的分类

第9页：理想滤波器

理想滤波器在物理上是不可实现的，实际的滤波器不能实现从一个频带到另一个频带的突变，这两个带之间必须有一个过渡带；而且通带内不是严格等于1，阻带内也不是严格等于零。在进行滤波器设计时，首先需要确定其性能指标。模拟滤波器的指标一般滤波器的性能指标是以频率响应的幅度响应特性的允许误差来表征。

模拟低通滤波器的设计指标有通带截止频率，阻带截止频率，通带最大衰减系数和阻带最小衰减系数。

第10页：模拟滤波器的逼近

如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,和表示为

第11页：模拟滤波器的逼近

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有典型的模拟滤波器供我们选择。主要有巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。

这些滤波器都有严格的设计公式与现成的曲线和图表供设计人员使用。本节主要介绍前三种滤波器的幅度平方函数及其特性，并重点分析巴特沃斯和切比雪夫滤波器的设计方法。

第12页：模拟滤波器的逼近

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，其设计就是用模拟系统的系统函数来逼近某个理想滤波器特性。且有典型的模拟滤波器供我们选择。主要有巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。

这些滤波器都有严格的设计公式与现成的曲线和图表供设计人员使用。本节主要介绍前三种滤波器的幅度平方函数及其特性，并重点分析巴特沃斯和切比雪夫滤波器的设计方法。

例如，对理想的低通滤波器(幅度特性如图5.6)可以根据幅度平方函数来逼近。

第13页：图5.6理想模拟低通滤波器幅度特性1．由

图5.6理想模拟低通滤波器幅度特性1．由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数2．零极点分布特点

第14页：说明：(1)虚轴上的零点一定

说明：(1)虚轴上的零点一定是二阶的。(2)由于滤波器是稳定的，所以的极点一定在左半平面。(3)零点分布与滤波器相位有关，如果要求滤波器具有最小相位则应选取s平面左半平面的零点。零点分配的不同组合可以满足不同的相位要求。For Example:例5.1设已知求对应的

第15页：模拟滤波器的逼近

解:根据幅度平方函数公式得取左半平面的零极点构成

第16页：Matlab程序实现

MATLAB程序为a=[1 0 0 0 1]; %输入已知幅度平方函数b=[0 0-1 0 2];zplane(b,a) %求系统函数的零、极点

第17页：．幅度平方函数式

．幅度平方函数式中，N为整数，称为滤波器的阶数，所以称为3dB衰减点，即不管N为多少，巴特沃斯幅度平方函数都通过3dB衰减点。幅度平方函数特性如图5.9所示。

第18页：图5.9巴特沃斯幅度平方函数特性

图5.9巴特沃斯幅度平方函数特性

第19页：幅度平方函数特点当Ω=0时，

• 幅度平方函数特点当Ω=0时，
• 当Ω=Ωc时，
• 当Ω<Ωc时，N越大，
• 当Ω>Ωc时，N越大，
• 所以N值越大，滤波器通带和阻带的近似性越好。

第20页：幅度平方特性的极点分布根据式(5.1)得

23.幅度平方特性的极点分布根据式(5.1)得其极点为例如

第21页：分析其极点特点

• 分析其极点特点
• 巴特沃斯滤波器幅度平方函数有2N个极点，它们等角度地分布在|s| =Ωc圆周上；
• 极点间的角度间隔为，但第一个极点不定是从0开始；
• Ha(s)为稳定系统，则极点不能落在虚轴上，所以上式中的极点不能落在虚轴上；
• 判断在实轴上有无极点，只需看：与（m为整数）是否相等？也即判断是否等于m。
• (2k-1)始终为一个范围在1～(4N-1)的奇数，2N为偶数。当N为奇数时，(N+2k-1)中存在2N的整数倍，这时实轴上有极点。当N为偶数时，(N+2k-1)为奇数，这时实轴上没有极点。

第22页：可以计算出

可以计算出，N=3时的极点为图5.10N＝3时极点分布

第23页：Matlab程序实现

绘制图5.7的MATLAB程序为N=3,wc=1b=[0 0 0 1]a=[(1/(j*wc))^(2*N) 0 0 0 0 0 1]subplot(221)zplane(b,a);title('N=3零极点图')

第24页：．系统函数因

．系统函数因为滤波器是稳定的，取左半平面的极点为Ha(s)的极点，这样极点有N个，即注意：在设计时，一般把式中的Ωc选为1rad/s，称为频率归一化。归一化后的巴特沃斯滤波器的极点分布、相应的系统函数、分母多项式都有现成的表格可查。

第25页：例5.3 设计一个模拟低通巴特沃斯滤波

例5.3设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，且满足以下要求：通带截止频率，通带波纹阻带截止频率阻带波纹解本题的实质就是设计参数N和Ωc

第26页：巴特沃斯(Butterworth)滤波器

解方程组：N取大于等于所求结果的最小整数，所以取N=

第27页：现在，在上面两个数之间可任选Ωc值

现在，在上面两个数之间可任选Ωc值。现选Ωc=0.7，这样就必须设计一个N=7和Ωc=0.7的巴特沃斯滤波器。

例5.3巴特沃思低通滤波器频率响应

第28页：Matlab程序实现

MATLAB程序为rp=1;rs=17;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;%求取滤波器阶数和3dB截止频率点[N1,wn1]=buttord(wp,ws,rp ,rs,'s');%巴特沃斯模拟低通原型滤波器设计[b1,a1] = butter(N1,wn1,'s') ;

第29页：Matlab程序实现

%巴特沃斯模拟低通滤波器频率响应[h1,w1]=

freqs(b1,a1);plot(w1/(2*pi),20*log(abs(h1)))grid on运行结果为滤波器阶数N1=7，3dB截止频率wn1=0.6283分子和分母多项式系数b1 =0 0 0 0 0 0 0 0.0942a1 =1.0000 3.2070 5.1424 5.3029 3.7842 1.8688 0.59350.0942

第30页：巴特沃斯滤波器的频率特性无论

巴特沃斯滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变换而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济。在同样通带、阻带性能要求下，可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。

切比雪夫滤波器的幅度特性是在通带或阻带具有等波纹特性，幅度特性在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型。幅度特性在通带内是单调下降的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型。这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性。

第31页：幅度平方函数式

31.幅度平方函数式中，Ωc为通带截止频率，不一定是3dB衰减点；ε表示通带波纹的大小，0<ε<1，其值越大，通带波动越大；N为滤波器的阶数；VN(x)为N阶切比雪夫多项式。设x=Ω/Ωc为归一化频率，则切比雪夫滤波器VN(x)为N阶切多项式为

第32页：图5.13切比雪夫多项式图形

图5.13切比雪夫多项式图形

第33页：幅度函数特点

32.幅度函数特点由切比雪夫幅度平方函数分析其函数特点为图5.14N为2、5、7切比雪夫幅度平方函数特性

第34页：当Ω=0时，

• 当Ω=0时，
• 当Ω=Ωc时，
• 当Ω<Ωc时，即在通带内，|Ha(jΩ)|在(1, )之间等波纹起伏；
• 当Ω>Ωc时，即在通带外，随着Ω的增大，|Ha(jΩ)|迅速单调下降趋向0。

第35页：性能指标切比雪夫滤波器特性参数

33.性能指标切比雪夫滤波器特性参数有三个ε、Ωc和N，通常通带截止频率Ωc预先给定。通带波纹Ap(以dB表示)的定义为可以推导出Ap与ε关系

第36页：切比雪夫滤波器

34.N阶特性阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和，可由图5.14中看出N阶数。N越大越接近理想特性，且当N为奇数，Ω=0处有一最大值，N为偶数，则Ω=0处有一最小值。N值是根据阻带的边界条件来确定的。切比雪夫幅度平方公式

第37页：切比雪夫滤波器

又由于5.极点及系统函数由切比雪夫幅度平方函数(归一化)可得用s代替jΩ，可以得到

第38页：切比雪夫滤波器

所以，的极点就是方程的根。可以证明，这些根共有2N个，而且关于虚轴对称，呈复共轭出现。这2N极点实际上分布在一个椭圆上，椭圆的短轴半径为a，长轴半径为b，这里取左半平面的N个极点构成，设这N个极点为

第39页：切比雪夫滤波器

根据极点和其幅度平方函数可以得到切比雪夫滤波器的系统函数为总结以上内容切比雪夫滤波器设计一般步骤：(1)根据给定指标确定通带截频Ωc；(2)通带指标确定ε；(3)阻带指标确定N；(4)根据|Ha(jΩ)|2求出其全部极点，并取左半平面的零极点；(5)确定滤波器的系统函数Ha(s)。

第40页：Matlab程序实现

例5.4设计一个模拟低通切比雪夫滤波器，且满足以下要求：通带截止频率,通带波纹，阻带截止频率,阻带波纹。解编写

MATLAB程序解答本题MATLAB程序为rp=1;rs=17;%wp=2*pi*fp;ws=2*pi*fs;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;%求取滤波器阶数和3dB截至频率点[N2,wn2]=cheb1ord(wp,ws,rp ,rs,'s');%切比雪夫模拟低通原型滤波器设计[b2,a2]=cheby1(N2,3,wn2,'low','s');%切比雪夫模拟低通滤波器频率响应[h2,w2]=freqs(b2,a2);plot(w2,20*log(abs(h2)));axis([0,1,-50,0])grid on;

第41页：程序运行结果

程序运行结果为滤波器阶数N2 =4,通带截止频率wn2=0.6283滤波器系统函数分子分母系数b2 =0 0 0 0 0.0195a2 =1.0000 0.3654 0.4615 0.1004 0.0276由上述结果直接写出系统函数

第42页：图5.15例5.4切比雪夫低通滤波器幅频

图5.15例5.4切比雪夫低通滤波器幅频响应

第43页：三种模拟滤波器特性比较

综合实例5：为了比较三种滤波器的特点，列表5-4以供参考。

注：本表依据源文件文字整理还原，行序对照教材标准表格排列。

第44页：Matlab程序实现

了解三种滤波器的特点，就可以根据具体要求选用不同类型的滤波器。如在通带截止频率,通带波纹，阻带截止频率,阻带波纹条件下，巴特沃斯滤波器阶数N=7，切比雪夫I型N=4；椭圆滤波器N=3。主要

MATLAB命令及求解步骤(1)由低通滤波器的四个参数通带和阻带截止频率、通带的波纹和阻带最小衰减，求出滤波器的阶数N和ΩC两个参数[N,wc]=buttord(fp,fs,rp,rs,'s')%巴特沃斯[N,wc1]=cheb1ord(fp,fs,rp,rs,'s')%切比雪夫I型[N,wc2]=cheb2ord(fp,fs,rp,rs,'s')%切比雪夫II型[N,we]=ellipord(fp,fs,rp,rs,'s')%椭圆

第45页：Matlab程序实现

(2)根据阶数N和ΩC就可以设计滤波器的系统函数[B,A]=butter(N,wc, 'ftype', 's')

;%当ftype为缺省时,为低通;若wc=[wcl, wcu],则带通滤波器.当ftype= high时,为高通;当ftype= stop时,为带阻。[B,A]=cheby1(N, wc1,'ftype', 's');[B,A]=cheby2(N, wc2,'ftype', 's');[B,A]=ellip(N,we, 'ftype', 's');(3)求模拟滤波器的频率响应[H,w]=freqs(B,A);

第46页：实际中设计出的滤波器

实际中设计出的滤波器，其特性不可能达到理想特性，而且，前文中的几个典型模拟滤波器特性也是在所使用的电容器和电感线圈都具有理想特性的前提下得到的。如果用实际的元器件实现滤波器，其特性就更差一些。在最初设计者不知道使用哪种函数更合适的情况下，可以选取巴特沃斯滤波器。

这种滤波器的衰减特性和相位特性都相当好，对构成滤波器的器件条件的要求也不很严格，比较容易得到符合设计值的特性。对于巴特沃斯低通无源滤波器的元件参数设计，工程上已经把其不同的N对应的归一化低通元件值列在表5-5中，以便设计时查询。

第47页：巴特沃斯低通原型元件值

综合实例5：对于巴特沃斯低通无源滤波器的元件参数设计，工程上把不同N对应的归一化低通元件值列在表5-5中，以便设计时查询。

注：（1）表中首行元件号对应T型结构电路；（2）表中末行元件号对应Π型结构电路。本表由源文件文字整理还原，列顺序按归一化元件值g1—g7排列。

第48页：例5.6 设计并实现巴特沃斯低通滤波器

例5.6设计并实现巴特沃斯低通滤波器，其设计指标为通带最大衰减－1dB，通带截止频率，阻带最小衰减-20dB，阻带截止频率信源内阻RS和负载电阻RL相等，都是1。

解(1)先求巴特沃斯滤波器的阶数N和3dB点Ωc。已知幅度平方函数对其两边取对数有

第49页：分别代入(5.14)

分别代入(5.14)中可得计算得出，因为N为整数，取5，得。

注意：N比实际设计的值大些，会让通带更平，阻带衰减更快，这对用脉冲响应不变法设计时的混叠效应有利。(2)查表。N=5，则归一化模拟低通滤波器的系统函数为

第50页：用代替系统

用代替系统中的s，可得要求的Ha(s)(3)电路结构及元件值计算。无源滤波器的实现有两种常用结构：T型和型。由表5-1可以查到N=5的巴特沃斯低通原型滤波器归一化元件值。T型结构：L1′＝0.618C2′＝1.618L3′＝2C4′＝1.618L5′＝0.618Π型结构：C1′＝0.618L2′＝1.618C3′＝2L4′＝1.618C5′＝0.618根据已知条件，对元件去归一化值，得到T型结构元件值为

第51页：Π型结构元件值

Π型结构元件值为Π型结构元件值为

第52页：(4)无源滤波器电路实现

(4)无源滤波器电路实现。T型电路和Π型电路的具体实现如图5.19和5.20所示