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本课件分析有限字长效应，说明定点与浮点二进制表示及截尾、舍入两类量化误差，讨论A/D转换量化与系数量化对零极点位置的影响，以及运算中的有限字长效应与FFT算法误差。
第9章数字信号处理中的有限字长效应：本章课件封面，标注课程名称、任课教师与授课班级信息。
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本章学习要求了解二进制的表示及其对量化的影响；理解A/D转换量化效应掌握数字滤波器运算中有限字长效应；掌握FFT算法有限字长效应。了解数字滤波器的系数量化效应；
引言二进制的表示及其对量化的影响1前面各章节所讨论的数字信号与系统都没有涉及到精度的问题，而认为数字是无限精度的。实际上，无论是用软件还是硬件实现数字信号处理时，系统参数及信号序列值都必须用二进制的形式存储在有限字长的存储单元中，这种有限字长的数其精度必然是有限的，就一定会带来误差。
另外，A/D转换器将模拟信号转变为有限字长的数字信号时，也同样会带来误差。
因此，在实现数字信号处理系统时共有三种因量化而引起的误差因素，即(1) A/D转换中的量化效应；(2)系统参数的不精确性产生的量化效应；(3)数字运算过程中的有限字长效应。
9.1.1定点二进制数在整个运算中，二进制小数点在数码中的位置是固定不变的称为定点制。原则上说，定点制的小数点可固定在任意位上，但是为了运算方便，通常定点制把数限制在±1之间，最高位为符号位，分别用0、1代表正数和负数。符号位后是小数点，数的本身只有小数部分，称为“尾数”。
定点数进行加减法运算时，0不会增加字长，但其结果可能会超过±1范围，称为“溢出”。定点数的乘法运算不会造成溢出，因为绝对值小于1的两个数相乘后，其绝对值仍小于1，但是相乘后字长却要增加一倍，一般在定点乘法运算以后需要对尾数做截尾或舍入处理，以保证字长不变，但是这样处理后会带来截尾误差或舍入误差。
以下是定点数的三种表示方法。1．原码一个(b+1)位码(9.1)符号位α0=0表示正数，α0=1表示负数。
例如x=0.110表示的是+0.75，x=1.110表示的是-0.75。原码所表示的十进制数为(9.2)2．反码和补码反码和补码的整数表示与原码相同。负数的反码表示是将该数正数表示形式中的所有0改为1，所有1改为0，但符号位不变。
例如x=-0.75的反码为1.001。反码的十进制数可表示为(9.3)
综上所述，原码的优点是直观，但做加减运算时要判断符号位的异同，因而运算时间较长；反码只是将负数的原码转换为补码时的一个中间过渡的代码，用得较少；补码在做加减运算较简单，可以将加法和减法运算统一为加法运算，对于乘法运算补码比原码稍复杂，但目前在并行补码乘法方面已有一些快速算法，并作为大规模集成电路的内核广泛应用，因而在数字信号处理系统中普遍使用的是补码。
9.1.2浮点二进制数定点制的缺点是动态范围小，有溢出现象。浮点制可以避免这一缺点，具有很大的动态范围，溢出的可能性小。浮点制是将一个数表示成尾数和指数两部分，即(9.5)M是数x的尾数部分，2c是数x的指数部分，c是阶数，称为“阶码”。
例如x=0.11×2010表示的十进制数是x=0.75×22=3。尾数和阶码都用带符号位的定点数表示，通常M取值范围是，叫做尾数规格化。尾数的字长决定浮点制的运算精度，而阶码的字长决定了浮点制的动态范围。浮点表示数的小数点是浮动的，一般通用计算机中往往同时使用定点、浮点两种计算方式。
浮点制的乘法是尾数相乘阶码相加，尾数相乘的过程与定点制相同，因此也要做截尾或舍入处理，由于尾数的乘积是1/4到1之间的数，故需要加以规格化，并同时调整阶码。浮点制的加法，如果两个数的阶码相同，则只要两个尾数相加就得到和数的尾数，和数的阶码不变，即为两数原来的阶码。
阶码数不等的两浮点数相加则要分三步进行：第一步，先进行对阶，这时需将小阶码向大阶码看齐，同时，阶小的数的尾数的小数点要左移，左移一位，阶码加1，直至两数阶码相等；第二步，将所得两尾数用定点运算相加；第三步，使所得结果尾数归一化，并相应调整阶码。
浮点数的动态范围很大，加减运算不需要考虑溢出问题。
9.1.3定点制的量化误差由上面可知，定点制的乘法在运算结束后都会使字长增加，因而需要对尾数进行截尾或舍入处理，即量化分为截尾和舍入两种处理方式，不同的处理方式、不同的码制其量化误差均不一样。当定点制实现中的寄存器长度给定时，其表示的数的字长也就确定了。
例如，字长为(b+1)位(含符号位)，可表示的最小数为2-b，这个值称为“量化宽度”或“量化阶”，通常用q表示，即这时，如果数x被量化，则将引入误差E，表示为式中，[x]表示x的量化值，即x经截尾或舍入后的值。
．截尾处理对于正数x，其原码、反码和补码的表示法是相同的，小数点以后b1位(b1>b)正数x的十进制数为(9.8)截尾处理后为b位字长，以[x]T表示对x做截尾处理，则(9.9)以ET表示截尾误差，则有(9.10)
从上式可以看出，截尾误差ET为负值或零，并在αi全部为1时，具有最大截尾误差(9.11)也即(9.12)用量化阶表示为
对于负数，由于三种码的表达方式不同，误差也不同，对于原码：因此截尾误差是正数，即
对于负数的反码：此误差与负数的原码误差相同，为正值
对于负数的补码：这个误差与正数时的误差一样，仍是负的，即
综上所述，补码的截尾误差都为负数，其截尾量化处理的非线性特性如图9.4(a)所示。原码与反码的截尾误差与数的正负有关，正数时误差为负，负数时误差为正，其截尾量化的非线性特性如图9.4(b)所示。图9.4定点制截尾处理的量化特性(a)补码(b)原码、反码
．舍入处理对定点数x做舍入处理到b位，是通过(b+1)位上加1，然后截取到b位实现的。舍入后的量化间距q=2-b，即两个数间最小非零差是2-b，舍入是选择距离最近的量化层标准值为舍入后的值，因此不论是正数、负数，也不论是原码、补码和反码，其误差总是在±q/2之间。
以[x]R表示对x做舍入处理，ER表示舍入误差，则即定点制舍入误差为
其量化的非线性特性如图9.5所示。对比图9.4和图9.5可看出，舍入误差对称分布，而补码的截尾误差单极性分布，因而其统计特性不同。一般来说，舍入处理比截尾处理的误差要小，其误差范围为-q/2 ~q/2，所以在信号处理中进行量化时多用舍入处理。
图9.5定点制舍入处理的量化特性
A/D转换器是将输入模拟信号xa(t)转换成b位二进制数字信号的器件。从功能上讲，一般分为两部分，即采样与量化，A/D转换器的非线性模型如图9.6所示。模拟信号xa(t)经过采样后，转变为采样序列xa(nT)。由前面可知，xa(nT)在时间上是离散的，而在幅度上是连续的，可以将它看成一个无限精度的数字信号，用x(n)表示。
量化器对每个采样序列x(n)进行截尾或舍入的量化处理，得到有限字长的数字信号，实际上这两部分是同时完成的。A/D转换器总是采用定点制表示信号x(n)，其截尾和舍入的字长效应如9.1节所述，这里不再赘述。分析A/D转换器量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。
量化效应的统计分析由于采样序列x(n)一般都有一系列值，要做到所有序列值的量化误差e(n)的分析几乎是不可能的，而只对某一个采样数据进行误差分析也是不够的，所以对量化过程中产生误差的估计适合采用统计分析方法。在统计分析过程中，对误差e(n)的统计特性做如下假设。
(1)e(n)是一个平稳随机序列。(2)e(n)与采样信号x(n)不相关。(3)e(n)各序列值之间互不相关，即e(n)是白噪声序列。(4)e(n)在其误差范围内具有均匀等概率分布。
根据这些假定，量化误差e(n)就是一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，因此也称为量化噪声，它与信号的关系是相加性的。在这些假定条件下，实际的A/D变换的非线性模型(图9.6)就变成等效线性过程的统计模型，如图9.7所示，即在理想采样器的输出端加入了一个量化白噪声序列e(n)。
实际处理中，如果输入xa(t)是阶跃、周期性方波、正弦等规则信号，上述假定就不符合，量化后就不能认为误差是统计独立的和白色的，此时应用上述统计模型来分析A/D转换器的量化误差将失去意义。但是若信号越不规则，例如语音信号和音乐信号，这种假定就越接近于实际，也就是只要信号足够复杂且量化台阶足够小，则此统计模型就更加有效。
下面研究量化误差e(n)的统计性能，也就是研究其均值和方差。对于定点舍入情况，误差序列e(n)的概率分布如图9.8(a)所示，即
对于定点补码截尾情况，误差序列e(n)的概率分布如图9.8(b)所示，即oe-qPT(e)(b)1/qPR(e)1/q-q/2q/2o(a)e图9.8量化噪声的概率分布(a)舍入误差(b)截尾误差
因此，量化过程可等效为无限精度信号加上一噪声，舍入和补码截尾的量化误差除均值不同外，两者的方差均为q2/12，即与A/D变换的字长b有关，显然字越长，q(q=2-b)越小，因而量化噪声的方差就越小，即量化噪声越小。
量化信噪比与所需字长的关系由于采样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠加，因而信噪比是一个衡量量化效应的重要指标。信号功率与量化噪声功率之比称作量化的信噪比，即
量化噪声通过线性系统当已量化的信号通过线性时不变系统时，输入的误差或量化噪声也会对最后的输出产生误差或噪声。此时，线性时不变系统H(z)输入端输入的是一个量化序列，如图9.9所示，则系统的输出为h(n)H(z)x(n)e(n)
所以，输出噪声即是量化噪声e(n)的响应如果e(n)是舍入噪声，那么输出噪声的方差为由于输入噪声e(n)是白色的，且均值为0，故e(n)各序列值之间互不相关，因而
得到输出噪声的方差为根据Parseval定理，考虑到h(n)是实序列，则有将其代入式(9.27)，得(9.28)或者在单位圆上计算，可得(9.29)
如果e(n)是补码截尾白噪声，则输出噪声中还有一个直流分量
理想数字滤波器的系统函数为理论上设计出的理想数字滤波器系统函数的各系数ai和bi都是无限精度的，但实际实现过程中，滤波器的所有系数都必须以有限长的二进制码形式存放在存储器中，因而必须对理想的系数值加以量化，因此量化后的系数值必然会与原系数有偏差。
这就将造成滤波器的零点、极点位置的偏移，当然产生的后果就是实际系统函数与原设计的系统函数有所不同，也就是系统的实际频率响应与按原要求设计出的频率响应有偏差，甚至严重时，如z平面单位圆内极点偏移到单位圆外，导致系统不稳定，滤波器不能使用。
系数量化对滤波器性能的影响与字长有关，但是也和滤波器的结构形式密切相关。因而选择合适的结构，对减小系数量化的影响是非常重要的。分析数字滤波器系数量化误差的目的在于选择合适的字长，以满足频率响应指标的要求。
在实现数字滤波器时，包含的基本运算有延时、乘系数和相加三种。因为延时并不会影响字长的变化，所以只需讨论乘系数和相加运算造成的影响。在定点制运算中，相乘结果的尾数位数会增加，要做一次舍入(或截尾)的量化处理；相加的结果，尾数字长不变，不必舍入或截尾，但可能会超出有限存储器长度，产生溢出，故有动态范围问题。
浮点制运算中，相加及相乘都可能使尾数位数增加，故都会有舍入或截尾现象，却不涉及到动态范围问题。分析数字滤波器运算误差的目的，是为了选择滤波器运算位数(即存储器长度)，以便满足信号信噪比值的技术要求。
分析数字滤波器运算误差的目的，是为了选择滤波器运算位数(即存储器长度)，以便满足信号信噪比值的技术要求。研究定点实现相乘运算的模型如图9.10所示，图9.10(a)表示无限精度乘积，即理想相乘；图9.10(b)表示有限精度乘积，表示量化处理，由于一般多采用舍入处理，所以下面将重点研究舍入量化的误差效应。
采用统计分析方法时，可以将舍入误差作为独立噪声e(n)叠加到信号上，这样仍可用线性流图来表示，如图9.10(c)所示。
图9.10定点制相乘运算的流图表示(a)理想相乘(b)实际相乘的非线性流图(c)实际相乘的统计分析流图
9.2.1节采用图9.10(c)所示的统计模型，在分析数字滤波器由于乘法舍入的影响时，需对实现滤波器所出现的各种噪声源做以下假设。(1)所有这些噪声(误差e(n))都是平稳的随机序列。(2)所有噪声与输入序列x(n)及中间结果不相关，并且各噪声之间也不相关。
(3)噪声是白色的(均值为零)。(4)噪声序列在其量化范围内都是均匀分布。这样，采用统计分析方法后，经定点舍入处理后的实际输出可以表示为对于舍入量化处理，e(n)的均值为0，方差为。
图9.11一阶IIR滤波器的舍入噪声分析整个系统可以看成线性系统，由9.2.3可知，输出噪声ef(n)是由噪声源e(n)产生的输出误差，如果h(n)=anu(n)，即一阶系统的单位脉冲响应，而e(n)叠加在输入端，则
由此看出，字长b越长，数字滤波器输出端的噪声越小。
直接型结构的输出误差最大，级联型次之，并联型结构误差最小。这是因为直接型结构中所有舍入误差都要经过全部网络的反馈环节，使这些误差在反馈过程中积累起来，所以误差最大；级联型结构的每个舍入误差只通过其后面的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，因而误差比直接型的小；并联型结构的每个并联网络的舍入误差只通过本网络的反馈环节，与其他网络无关，因此误差积累作用最小，误差最小。
另外，级联型结构的误差还与其排列顺序密切相关。这些结论对IIR滤波器具有普遍意义，所以从有限字长效应来看，不论是哪一种类型的直接型结构都是最差的，运算误差最大，特别在高阶时应避免采用，级联型结构较好，并联型结构具有最小的运算误差。
综上所述，可以得出一个重要结论：IIR滤波器的有限字长效应与它的结构密切相关。
FIR滤波器的有限字长效应上述有关IIR滤波器的有限字长效应分析方法也同样适用于FIR滤波器，但FIR滤波器没有反馈(频率采样型除外)，其分析方法比IIR还要简单。这里以定点实现的横截型FIR滤波器的量化噪声进行讨论。一个N阶FIR滤波器的横截型实现可以按以下线性卷积式得到(9.35)其中h(m)为FIR滤波器的单位脉冲响应。
在有限精度舍入运算时，输出
这一过程及结果可以用图9.15来表示，所有的舍入噪声都直接加在每一级的输出端，因而最后的输出噪声就是这些噪声的简单和。
所以最终输出噪声的方差为
从式(9.37)可以看出，输出的方差与字长b有关，也与阶数N有关。
因此，滤波器的阶数越高，字长越短，量化噪声越大。……图9.15横截型FIR滤波器的舍入误差分析
由第4章可知，FFT是DFT的快速算法，其基本运算涉及到复数乘法和复数加法，因而也存在有限字长效应。由于在数字滤波器和频率分析中广泛采用FFT，所以研究FFT中有限寄存器长度的影响非常重要。在高速数字信号处理中定点FFT算法的应用较普遍。
另外，定点运算对有限字长效应较敏感，所以这里只讨论定点FFT有限字长效应。以按时间抽取的基二FFT算法为例分析运算有限字长效应，对于其他FFT算法可以类似推广。下面将讨论原位计算的按时间抽取的蝶形运算。
设序列长度为N=2M，需计算M=log2N，每级为N个数构成的数列，每级有N/2个单独的蝶形结，由m列到m+1列的蝶形计算可表示为(9.40)式中i和j表示同一列中，一对蝶形节点在这一列中的位置(行的数值)，该蝶形结构如图9.16所示。
用定点法实现时，只有相乘才需舍入，这里仍以加性误差来考虑相乘舍入的影响，则蝶形结的定点舍入统计模型如图9.16所示。其中，e(m+1,j)表示Xm(j)与相乘所引入的舍入误差源，这一误差源是复数，而每个复乘包括4个实乘，每个定点实乘产生一个舍入误差源，因此产生4个误差源e1、e2、e3和e4，即
一个复乘运算所引入的误差的方差为当误差源e(m+1,j)通过后级蝶形结时，其方差不会改变。这样，计算FFT的最后输出误差，只需知道结点共连接多少个蝶形结即可，每个蝶形结产生误差的方差为。若以表示X(k)上叠加的输出误差ek的方差，它和末级的一个蝶形结连接，和末前级的两个蝶形结连接，以此类推，每往前一级，引入的误差源就增加一倍，因此链接到X(k)末端的误差源总数为
图9.17表示N=8时，按时间抽取算法中，链接到X(0)的各蝶形结的情况，因而在终端，即在离散傅里叶变换X(k)上的叠加的输出噪声ek的均方值(即为方差，因为均值为0)为(9.43)当N很大时，可近似认为
图9.17N=8时对X(0)起作用的蝶形结
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