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本课件围绕离散时间信号与系统展开，讲解序列的数学表示与典型序列，演示加法、移位、翻转与卷积和运算，并讨论系统的线性、时不变性、因果稳定性，以及用迭代法求解常系数线性差分方程。
第2章离散时间信号与离散时间系统：本章课件封面，标注课程名称、任课教师与授课班级信息。
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本章学习要点
的数学表示离散时间信号往往来源于对时域连续信号的采样，假设采样周期为T，采样对象是时域连续信号x(t)，则可知采样信号为简化为序列来表示，即x(n)只在n为自然数时才有意义。x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值。
实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中。
注意
也可以用集合来表示，如离散时间信号还可以使用图形表示，如
2.1.2典型的离散时间信号——序列离散时间信号1单位阶跃序列单位阶跃序列是单边序列，如图2.2所示，数学表达式为图2.2单位阶跃序列的图形表示注意和u(t)的区别？
单位脉冲序列δ(n)只有n=0时存在值，其他时刻均为0，如图2.2所示，数学表达式为图2.3单位脉冲序列δ(n)的图形表示注意和δ(t)的区别？
移位的单位脉冲序列是只有n=m时存在值，其他时刻均为0。连续信号中的和之间是微分关系，而离散信号与之间是差分关系。由于具有的采样性，因此其他离散时间信号也可以用及其移位信号加权和表示，即
矩形序列是类似于连续窗函数概念的离散时间函数，共有N个幅度为1的函数值。三种序列之间的关系图2.5矩形序列RN(n)的图形表示
斜变序列与连续函数中的斜坡函数类似。图2.6斜变序列x(n)的图形表示
实指数序列的数学表达式为其中a为实数。当时，序列是发散的。当时，序列是收敛的。当时，序列在一个象限。当时，序列在两个象限。(a) x1(n)=1.25n(b) x2(n)=0.75n(c) x3(n)=(-1.25)n(d) x4(n)=(-0.75)n
复指数序列的数学表达式为(a)x(n)的实部(b)x(n)的虚部(c)x(n)的模(d)x(n)的相位
正弦序列是对连续正弦信号的采样，其数学表达式为连续正弦信号是周期信号，但是正弦序列却不一定是周期序列。思考判断、、的周期性？
周期序列如果对所有的n存在一个最小的正整数N使下面等式成立，则称x(n)为周期性序列,周期为N。
本页源文件仅保留章节页眉「离散时间信号」，未提取到正文文字，页面以图示为主。建议对照原课件图片补充本页要点说明。
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正弦序列
加法乘法移位翻转尺度变化x(an)为波形压缩x(n/a)为波形扩展右移左移
例2.1已知有序列x(n)和y(n)，如图2.10所示，计算序列x(n)和y(n)间的运算：(1)和序列z(n)；(2)积序列R(n)；(3)当m为2时，x(n)的右移序列w(n)；(4)x(n)的翻转序列t(n)；(5)当a为2时，x(n)的波形压缩x(an)。
图2.10例2.1图
解：(1)和序列z(n)= [3, 1, 6, 1, 1, 5]，。如图2.11(a)所示；(2)积序列R(n) = [2,-2, 8, 0, 0, 6]，。如图2.11(b)所示；(3)当m为2时，x(n)的右移序列w(n) = [2,-1, 2, 0, 1,3]，。
如图2.11(c)所示；(4)x(n)的翻转序列t(n) = [3, 1, 0, 2,-1, 2]，如图2.11(d)所示；(5)当a为2时，x(an)=[2, 2, 1]，。x(n)的波形压缩x(an)如图2.11(e)所示。
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卷积和设序列x(n)和h(n)，其卷积和y(n)定义为卷积和计算分为四个步骤:即折迭(翻褶)、位移、相乘和相加。
2012m1h(m)x(m)01231/21/41/8m0mh(-m)=h(0-m)-2-1翻褶对应相乘，逐个相加,得y(0)0mh(1-m)-11得y(1)位移
-1012345y(n)n1/23/47/83/81/8结论：长度分别为N1，N2两个序列的线形卷积结果序列长度为N1+N2-
设离散时间系统的输入序列为x(n)，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T[·]表示，输出与输入之间关系用下式表示y(n)=T[x(n)]，其框图如图2.12所示。图2.12输出与输入之间的关系
的线性线形系统满足叠加性和齐次性。叠加性y1(n) +y2(n) = T[x1(n)] + T[x2(n)] = T[x1(n)+x2(n)]齐次性ay1(n) =aT[x1(n)] = T[ax1(n)]ay2(n) =aT[x2(n)] = T[ax2(n)]线性y(n) = T[ax1(n) +bx2(n)] =ay1(n) +by2(n)其中a和b均为常数。
假设系统的输入序列为x1(n)和x2(n)，输出序列对应为y1(n)和y2(n)，则有y1(n)=T[x1(n)]和y2(n)=T[x2(n)]成立。
例2.2x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n) =2x(n) + 3是否是线性的。
解令y1(n) =2x1(n) + 3和y2(n) =2x2(n) + 3。对于线性系统，根据叠加性，有y(n) = T[x1(n) +x2(n)] = 2T[x1(n) +x2(n)] + 3 = 2x1(n) +2x2(n) + 3然而y1(n) +y2(n) =[2x1(n) + 3] +[2x2(n) + 3] = 2x1(n) + 2x2(n) +6因此，y(n) ≠y1(n) +y2(n)，故该系统不是线性的。
的时不变性若输入为x(n)，输出为y(n)，则当输入为x(n-n0)时，输出为y(n-n0)。即，若时不变体系统有y(n)=T [x(n)]，则y(n-n0) =T[x(n-n0)]，其中n0为任意整数。
例2.3x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n)=2x(n) + 3是否是时不变的。
解对于系统y(n) =2x(n) + 3来说，由于y(n-n0) =2x(n-n0) + 3 = T[x(n-n0)]故该系统是时不变的。
例2.4x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n)=x(n)cos(ωn+1)是不是时不变的。
解对于系统y(n) =x(n) cos(ωn+1)来说，由于y(n-n0) =x(n-n0) cos[ω(n-n0)+1]然而T[x(n-n0)] =x(n-n0) cos[ωn+1]因此，y(n-n0) ≠T[x(n-n0)]，故该系统不是时不变的。
的因果性和稳定性因果系统，是指某时刻的输出只取决于此刻以及该时刻以前时刻的输入的系统。即，n=n0的输出y(n0)取决于n≤n0的输入x(n)|n≤n0。
例如y(n) =x(-n)是非因果系统，因n< 0的输出决定于n>0时的输入。线性时不变因果系统的充要条件为h(n)=0，n<0。
系统稳定性的判断对分析系统具有十分重要的意义。线性时不变稳定系统的充要条件是即单位脉冲响应是绝对可和的。所谓稳定系统，是指有界的输入产生有界的输出的系统。即，若|x(n)| ≤M<∞，则|y(n)| ≤P<∞
例2.5某线性时不变系统，其单位脉冲响应为，试讨论其是否是因果的、稳定的系统。
解(1)因为时，，所以该系统是非因果系统。(2)因为，所以当时系统稳定，当时系统不稳定。
一个系统的输入与输出信号都是离散的时间信号。离散时间系统的描述离散时间系统通常采用差分方程来描述。一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。
其N阶线性常系数差分方程的一般形式：
常系数线性差分方程求解方法迭代法、时域经典法(齐次解+特解)、离散卷积法、z变换法例2.6设差分方程，其中，。利用迭代法求输出序列。
解当n< 0时，y(n)=0当n= 0时，当n= 1时，当n= 2时，以此类推，因此得到
例2.7系统的差分方程，且，，设激励。求响应序列方法一：时域经典解法(1)求齐次解。由于特征方程为，故特征根为，则齐次解为(2)求特解。由题知激励是指数序列形式，可设特解为将其代入差分方程得
(3)求全解。根据齐次解和特解，其全解为由于给定的条件是激励之前的系统初始状态和，对以后有影响，由此递推出初值y(0)和y(1)，并求出系数C1和C2。由原差分方程得，当n= 0时，；当n= 1时，。即初始值，。代入全解有
解得所以系统的全解为
方法二：离散卷积法(1)求解零输入响应。在零输入情况下，响应满足齐次方程，解的形式为而齐次方程的特征根和，则有解得又由题则
（2）求解零状态响应。零状态响应是满足非齐次方程，且初始状态全部为零的解，即解得所以
一个离散时间系统的差分方程为y(n)+0.5y(n-1)-0.3y(n-2)+0.2y(n-3)=0.75x(n)+x(n-1)-0.6x(n-2)-0.4x(n-3)，(1)判断该系统是否是线性系统；(2)判断该系统是否是时不变系统；(3)求出该系统的单位脉冲响应并判断系统是否是稳定系统。
解：(1)设对于两个不同的输入信号x1(n)和x2(n)，系统的输出分别为y1(n)和y2(n)。对于x1(n)和x2(n)的线性叠加信号x(n)=4x1(n)-3x2(n)，系统的输出为y(n)。用Matlab仿真该系统，并计算输入x1(n)、x2(n)和x(n)的输出y1(n)、y2(n)和y(n)，判断y(n)和4y1(n)-3y2(n)是否相等。
调用Matlab函数
n=0:50;a=4; b=-3;x1=cos(2*pi*0.1*n); %设置x1(n)x2=cos(2*pi*0.4*n); %设置x2(n)x=a*x1+b*x2; %x(n)num=[0.75 1-0.6-0.4];den=[1 0.5-0.3 0.2];y1=filter(num,den,x1); %计算输出y1(n)y2=filter(num,den,x2); %计算输出y2(n)y=filter(num,den,x); %计算输出y(n)yt=a*y1+b*y2;subplot(2,1,1)stem(n,y);ylabel('振幅');title('y=T[ax1(n)+bx2(n)]');subplot(2,1,2)stem(n,yt);ylabel('振幅')title('y’=ay1(n)+by2(n)')xlabel('时间序号n');程序如下：由图可以看出T[ax1(n) +bx2(n)] =ay1(n) +by2(n)，故该系统是线性系统。
解：(2)设对于两个输入信号x1(n)和x2(n)=x1(n-10)，系统的输出分别为y1(n)和y2(n)。用Matlab仿真该系统，并计算输入x1(n)、x2(n)的输出y1(n)和y2(n)，判断y1(n-10)和y2(n)是否相等。
n=0:50;D=10;x=4*cos(2*pi*0.1*n)-3*cos(2*pi*0.4*n); %设置x1(n)xd=[zeros(1,D) x]; %设置x2(n)=x1(n-10)num=[0.75 1-0.6-0.4];den=[1 0.5-0.3 0.2];y1=filter(num,den,x); %计算输出y1(n)y2=filter(num,den,xd); %计算输出y2(n)d=[zeros(1,D) y1]-y2; %计算y1(n-10)和y2(n)的差值程序如下：figuresubplot(3,1,1) %画出输出stem(n,y1)
;ylabel('振幅');title('输入x1(n)的输出y1(n)'); grid;subplot(3,1,2)stem([0:50+D],y2);ylabel('振幅');title(['延时输入x1[n-',num2str(D),']的输出y2(n)']);grid;subplot(3,1,3)stem([0:50+D],d);xlabel('时间序号n'); ylabel('振幅');title('y1(n-10)和y2(n)的差值');grid;由图可以看出y1(n-10)=y2 (n)，故该系统是时不变系统。
解：(3)用Matlab命令y=impz(num,den,N)可以计算线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)的前N个值。然后迭代的计算单位脉冲响应的前k( )个值的绝对值之和。并比较|h(k)|的值与10-6的大小，若|h(k)|的值小于10-6，则认为已经收敛了，系统是稳定的，否则系统不稳定。num=[0.75 1-0.6-0.4]
;den=[1 0.5-0.3 0.2];N=100;h=impz(num,den,N+1);p=0;for k=1:N+1p=p+abs(h(k));if abs(h(k))<10^(-6),break,endendn=0:N;figurestem(n,h)title('系统的单位脉冲响应')xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');disp('值=');disp(abs(h(k)));有此结果可知该系统是不稳定系统。程序运行结果显示如下值=0.2647
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