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本课件以模拟滤波器到数字滤波器的映射为主线，讲解脉冲响应不变法与双线性变换法的原理、映射关系与混叠失真、频率失真与预畸变，并给出低通、高通、带通、带阻的频率变换方法。
第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计：本章课件封面，标注课程名称、任课教师与授课班级信息。
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本章学习要点
引言根据模拟滤波器设计IIR数字滤波器1滤波器可分为三种：模拟滤波器、采样滤波器和数字滤波器。模拟滤波器可以是由R、L、C构成的无源滤波器，也可以是加上运放的有源滤波器，是连续时间系统；采样滤波器由电阻、电容、电荷转移器件、运放等组成，属于离散时间系统，幅度连续；数字滤波器就是用有限精度算法实现的时域离散的线性时不变系统，用于完成对信号的滤波处理。
数字滤波器由加法器、乘法器、存储延迟单元、时钟脉冲发生器和逻辑单元等数字电路构成，精度高，稳定性好。其本质是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，即输入和输出均为数字信号。
引言根据模拟滤波器设计IIR数字滤波器1图6.2为一阶模拟低通和数字低通滤波器的基本结构，通过对比RC模拟低通滤波器和数字滤波器的结构图，可以看出两者在结构上的差异。图6.2一阶模拟低通和数字低通滤波器结构(a)一阶模拟低通滤波器(b)一阶IIR数字低通滤波器
．数字滤波器的分类经典滤波器从选频特性上分可分为：低通数字滤波器(LPDF, Low-pass digital filter)、高通数字滤波器(HPDF,high-pass digital filter)、带通数字滤波器(BPDF, band-passdigital filter)、带阻数字滤波器(BSDF, Band-stop digitalfilter)、全通滤波器(APDF, All-pass digital filter)等，各种类型滤波器的理想幅频特性如图6.3所示。
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应h(n)的时宽分类，可以分成无限脉冲响应(IIR, Infinite impulseresponse )滤波器和有限脉冲响应(FIR, Finite impulseresponse)滤波器。
图6.3数字滤波器的理想幅频特性
IIR即无限长度单位脉冲响应滤波器，其系统函数为IIR数字滤波器的差分方程可描述为由上2式可见，IIR滤波器采用递归型结构，不能保证稳定性，所以稳定性是IIR滤波器设计的重要组成.
．IIR数字滤波器设计基本思路数字滤波器的设计是确定其系统函数及其实现的过程，具体步骤如下：(1)根据任务，确定性能指标。一般滤波器的性能指标是用幅频响应特性的允许误差来表征。以图6.4低通数字滤波器特性指标为例，加以说明。
在通带内，幅度响应以最大误差δ1逼近于1，即在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即通常，通带波动和最小阻带衰减表示为
(2)用因果稳定的线性时不变IIR系统函数去逼近这一性能要求，系统函数如式(6.1)。IIR滤波器系统函数的设计就是确定各系数ai、bi或零极点ci、di及A，以使滤波器满足给定的性能要求。(3)选择适当的运算结构实现这个系统函数；如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积(FFT)型等。
(4)利用适当的软、硬件技术实现。
．IIR数字滤波器的设计方法通常，设计IIR数字滤波器有两种方法。(1)借助模拟滤波器的设计方法。首先，设计一个合适的模拟滤波器系统函数为Ha(s)；然后，在保证稳定性的条件下，利用一定的映射关系将Ha(s)转化成满足预定指标的数字滤波器H(z)。
这种方法很方便，因为模拟滤波器已经具有很多简单的设计公式，并且设计参数已表格化，设计起来既方便又准确。(2)采用最优化设计法设计滤波器。这种方法是在某种最优化准则意义上逼近所需要的频率响应。这种设计需要进行大量的迭代运算，故离不开计算机，所以最优化方法又称为计算机辅助设计法。
本节将重点讨论模拟滤波器数字化的两种方法，即脉冲响应不变法和双线性变换法。脉冲响应不变法系统函数为Ha(s)的模拟滤波器，只有它的所有极点都位于s平面的左半平面，系统才是稳定的。那么由模拟滤波器得到特性相近的数字滤波器，也即s平面转化成z平面时模拟系统频响与数字系统频响之间的转换应满足下列要求(1)s平面的虚轴jΩ，映射到z平面的单位圆上。
(2)s平面的左半平面，映射到z平面的单位圆内|z|<1。
．变换原理利用脉冲响应不变法设计IIR滤波器的基本步骤如下。(1)使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)逼近模拟滤波器的冲激响应ha(t)。(2)让h(n)等于ha(t)的采样值，即h(n) =ha(nT)，T是采样周期。
(3)设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)。(4)将Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用变换关系公式设计出H(z)。利用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换成数字滤波器过程如图6.5所示。
图6.5模拟滤波器变到数字滤波器变换过程
．具体步骤(1)当Ha(s)只有单阶极点时，模拟滤波器的系统函数可以表示为部分分式的形式(6.7)(2)将模拟滤波器系统函数Ha(s)求拉普拉斯逆变换(6.8)(3)对采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应序列为(6.9)
(4)令h(n)等于ha(t)的采样值，即h(n) =ha(nT)，T是采样周期。(5)对h(n)取z变换，得到数字滤波器的系统函数为即若已知，则可得到
例6.1已知模拟滤波器系统函数为试用脉冲响应不变法将其转化成数字滤波器，并画模拟和数字滤波器的幅频响应，其中T=0.5s解:首先将Ha(s)展成部分分式的并联形式根据变换关系可得
利用脉冲响应不变法设计数字滤波器，并画出对应的幅频响应可由下列程序实现。a=[0 0 3]
;b=[1 4 3];[h1,w1]=freqs(a,b);[az,bz]=impinvar(a,b,2)[h2,w2]=freqz(az,bz)subplot(121)plot(w1,20*log(abs(h1)));subplot(122)plot(w2,20*log(abs(h2)));运行结果az = 0 0.2876 0bz = 1.0000-0.8297 0.1353综上所述。转化为数字滤波器后，其系统函数为(a)模拟滤波器幅频响应(b)数字滤波器幅频响应
．映射关系这里从理想采样信号的拉普拉斯变换入手，找到s平面与z平面之间的映射关系。理想采样信号为由于得到
根据上式的变换关系，得出平面间的映射关系如下图所示(a)s平面(b)z平面
结论：(1)当σ=0时，r=1，表明s平面的虚轴映射为z平面的单位圆上。(2)当σ<0时，r<1，表明s平面的左半平面映射为z平面的单位圆内部。(3)当σ>0时，r>1，表明s平面的右半平面映射为z平面的单位圆外部。(4)ω=ΩT，Ω在区间时，ω将在(-π，π)之间变化。
表明s平面上每一条宽为的横带，都重叠地映射到z平面的整个平面上，并且横带的左半部映射到单位圆内，右半部分映射到单位圆外，jΩ轴映射到单位圆上。
．混叠失真如果原模拟信号的频带不是限于之间，则映射到z平面上附近将产生频率混叠，所以采样间隔在脉冲响应不变法中起着比较重要的作用。
例6.2求系统函数，在采样间隔分别为0.5，0.25，0.02时数字滤波器的幅频响应。
解：根据脉冲响应不变法，可将模拟滤波器系统函数转化成数字滤波器，系统函数如下
该数字滤波器的幅频响应可通过下列程序求得。
Matlab程序a=[0 0 2];b=[1 4 3];[h,w]=freqs(a,b);subplot(211)plot(w/(2*pi),20*log(abs(h)));grid on[az1,bz1]=impinvar(a,b,2);[h1,w]=freqz(az1,bz1);subplot(212)L1=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h1)),'r-');hold on[az2,bz2]=impinvar(a,b,4);[h2,w]=freqz(az2,bz2);L2=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h2)),'b-');hold on[az3,bz3]=impinvar(a,b,50);[h3,w]=freqz(az3,bz3);L3=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h3)),'g-');grid on;legend([L1 L2 L3], '采样间隔T=0.5', '采样间隔T=0.25','采样间隔T=0.02');运行结果如下模拟滤波器系统函数T=0.5时，az1 = 0 0.1917 0bz1 =1.0000-0.8297 0.1353所以数字滤波器系统函数为T=0.25时，az2 = 0 0.0766 0bz2 =1.0000-1.2512 0.3679所以数字滤波器系统函数为
T=0.25时，az2 = 0 0.0766 0bz2 =1.0000-1.2512 0.3679所以数字滤波器系统函数为T=0.02时，az3 = 0 0.0008 0bz3= 1.0000-1.9220 0.9231所以数字滤波器系统函数为
不同频率下数字滤波器的幅频响应如下图所示。(a)模拟滤波器幅频响应(b)数字滤波器幅频响应
6.1.2双线性变换法当用脉冲响应不变法设计数字滤波器时，不可避免的会产生混叠失真，这是因为从s平面到z平面不是一一映射关系。为了克服混叠失真，可采用双线性变换法。1．变换原理上一节已经讨论了s平面与z平面的映射关系，可知s平面中一条宽为的横带就可以变换到整个z平面。
如图6.10所示，可先将整个s平面压缩到一个中介平面的一条横带里，再通过将此横带变换到整个z平面上，这样就使s平面和z平面是一一对应关系。从而消除多值映射，也就消除了频谱混叠。
．变换原理利用脉冲响应不变法设计IIR滤波器的基本步骤如下。
令则
借助于s1平面和z平面的关系式(6.20)和(6.21)是s平面和z平面之间的单值映射关系。选择不同的c可以调节模拟滤波器特性和数字滤波器特性在不同频率处的对应关系，通常要求两者在低频处有确切的对应关系，当Ω和ω都比较小时，有
．s平面与z平面的映射关系根据式(6.21)，对z求解得即所以s平面与z平面的映射关系如下(1)当时，则有，这表明s平面的轴映射到z平面的单位圆上；(2)当时，则有，这表明s的左半平面映射到z平面的单位圆内；(3)当时，则有，这表明s的右半平面映射到z平面的单位圆外。
因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。
．数字角频率和模拟角频率之间关系将代入双线性变换公式可得
图6.12数字角频率与模拟角频率关系
．频率的非线性失真从以上分析可见，虽然双线性变换法避免了混叠失真，却带来了非线性的频率失真。如图6.13所示，在零频附近，Ω与ω之间的变换关系近似于线性，随着Ω的增加，表现出严重的非线性。
因此，数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应会产生畸变。
因此双线性变换法适合片段常数特性的滤波器的设计。实际中，一般设计滤波器通带和阻带要求是片段常数，如低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
16.13双线性变换法非线性映射(a)幅度特性非线性映射(b)相位特性非线性映射
．频率的预畸变以上非线性可以通过频率的预畸变来加以校正，预畸变公式(6.27)前面已证明利用双线性变换法进行s平面到z平面映射时，模拟角频率和数字角频率之间的关系为现在把所设计的模拟滤波器的截止频率映射成数字频率(6.28)
前面介绍的IIR数字滤波器设计方法是通过先设计模拟滤波器，再进行s到z平面的映射，来达到设计数字滤波器的目的。这种设计方法实际是数字滤波器的间接设计法，幅度特性受所选的模拟滤波器特性的限制。对于要求任意幅度特性的滤波器，则不适合采用。
数字滤波器最优化设计法的特点是适合设计任意幅度特性的滤波器，本节仅针对几种常用的方法作简要介绍。
．零极点累积法这种设计方法是根据滤波器的幅度特性确定零极点的位置，再按照确定的零极点写出其系统函数，画出幅度特性，并与理想特性进行比较。如不满足要求，可通过移动零极点位置或增减零极点进行修正，这种修正要不断进行多次，因而称为零极点累积法，确定零极点位置时要注意以下几点(1)极点位于单位圆内，保证系统因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实数。
．频域最小均方误差法(1)要选择一种最优准则，然后在此准则下，确定系统函数的系数。
例如，选择最小均方误差准则、最大误差最小准则等。最小均方误差准则是指在一组离散的频率｛ωi｝(i=1, 2, …,M)上，所设计出的实际频率响应的幅频特性函数|H(ejω)|与所要求的理想频率响应的幅频特性函数|Hd(ejω)|的均方误差ε最小。
(2)求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ai和bi。一般是通过不断改变滤波器系数ai和bi，分别计算ε；最后，找到使ε最小时的一组系数系数ai和bi，从而完成设计。这种设计需要进行大量的迭代运算，故离不开计算机。
所以最优化方法又称为计算机辅助设计法。3．时域逼近法设计一个实际单位脉冲响应h(n)，使其充分逼近理想的单位脉冲响应hd(n)。
前面一节介绍了利用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR低通滤波器，实际应用中的数字滤波器还包括低通、高通、带通和带阻等多种类型。概括起来，设计各种类型的数字滤波器频带变换有两种方法。方法一：设计一个归一化Ωc=1的模拟低通滤波器，在模拟域(Ω域)进行频带变换，使其成为不同类型的模拟滤波器，再将其数字化，变换成所要求的数字滤波器，具体过程如图6.16(a)所示。
方法二：设计一个归一化Ωc=1的模拟低通滤波器进行数字化，使其成为数字低通滤波器，再将其在数字域进行频带变换化成所要求的数字滤波器，具体过程如图6.16(b)所示。
图6.16设计数字滤波器的频率变换(a)方法一(b)方法二
6.3.1低通变换1．模拟域频率变换按照方法一，首先将数字低通滤波器的性能要求转换为与之相对应的模拟低通滤波器的性能要求，根据此性能要求设计模拟低通滤波器。然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法，将此模拟低通滤波器Ha(s)数字化为所需的数字低通滤波器。
低通数字滤波器特性指标如图6.4所示，若模拟低通滤波器Ωc=1时的归一化原形为Ha1(s)，那么
式(6.31)完成了将归一化的Ha1(s)变换成截止频率为Ωc的低通滤波器，低通变换模拟角频率与数字角频率的关系为线性变换，如图6.17所示。图6.17低通变换模拟角频率与数字角频率关系
．数字域频率变换根据方法二，如果已知数字滤波器低通原型的系统函数Hp(z),可以通过变换来设计其它各种不同类型数字滤波器的系统函数H(z)。这种变换是两个z平面间的映射变换。设变换前z平面定义为u平面，变换后z平面仍为z平面。
(1)平面间变换关系为(6.32)若ejθ和ejω分别表示u平面和z平面的单位圆，即u=ejθ，z=ejω，则(6.33)
由于映射必须是全通的，因而满足(6.34)可以证明当n=1时为低通变换映射函数，即(6.35)Hp(ejθ)和H(ejω)都是低通函数，只是截止频率互不相同(或低通滤波器的带宽不同)，如图6.19所示。
图6.19数字低通到数字低通滤波器幅频特性变化可见，θ=0映射到ω=0，θ=π映射到ω=π，θ=θc映射到ω=ωc，θ∈(0,π)，变换后ω∈(0,π)。即Hp(ejθ)低通数字滤波器变换后的H(ejω)也是低通数字滤波器，只是它们的截止频率不同。
(2)频率变换关系将u=ejθ，z=ejω代入式(6.35)得
进一步解得其中α值可以由变换前后通带的截止频率求得，即图6.20数字低通到数字低通的频率变化关系
图6.21 α取不同值时频带变化关系由此可得出以下结论：(1)当，即呈线性关系，其余为非线性。(2)当，代表频率压缩，带宽变窄。(3)当，代表频率扩张，带宽变宽。
6.3.2高通变换1．模拟域变换1)高通滤波器的性能指标如下图所示，ωp为通带截止频率，又称为通带下限频率；Ap为通带衰减；ωs为阻带截止频率，又称阻带上限截止频率；As为阻带衰减。
)变换方法由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此也不会影响双线变换后的稳定条件，所以模拟低通滤波器变换至数字高通滤波器的方法是将双线性变换中的s用其倒数代替，即(6.38)令，则所以可推出模拟角频率和数字角频率关系
这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将ω坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通，如图6.24所示。图6.24低通到高通映射模拟角频率与数字角频率关系
6.3.3带通变换1．模拟域变换1)带高通滤波器的性能指标带通滤波器的性能指标通带截止频率如图6.28。ωp2为通带段上限截止频率，ωp1为下限截止频率；Ap为通带波纹；ωs2为阻带段上限截止频率，ωs1为下限截止频率。As为阻带衰减，ω0为带通滤波器的中心频率。
图6.28带通滤波器性能指标
)变换关系满足变换的双线性变换为(6.43)令(6.44)映射关系如图6.29所示，可以看出映射在上，映射在两端。在设计带通滤波器时，一般只给出上下边带的边界频率，作为设计要求，所以(6.45)
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下面对这一变换的稳定性进行讨论:因为所以有由此可见，s左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换。
．数字域变换由数字低通到数字带通变换关系如图6.31所示。图6.31数字低通到数字带通的变化关系
同理可以证明低通到高通变换全通函数取负号，且阶数为2阶。
6.3.4带阻变换1．模拟域变换1)带阻滤波器的性能指标ωp2为通带截止频率的上限截止频率，ωp1为下限截止频率；Ap为通带波纹；ωs2为阻带截止频率的上限截止频率，ωs1为下限截止频率；As为阻带衰减。图6.32带阻滤波器性能指标
)低通到带阻变换关系令ωp1=ω1，ωp2=ω2，
其变换关系曲线如右图所示，Ω=0映射到ω=0，ω=π，Ω→±∞映射到ω=ω0也就是说，低通滤波器的通带(Ω=0附近)映射到带阻滤波器的阻带范围之外(ω=0，π)，低通滤波器的阻带(Ω→±∞)映射到带阻滤波器的阻带上(ω=ω0附近)。
．数字域变换由低通数字到带阻数字变换关系如图6.35所示。图6.35数字低通到数字带阻的变化关系
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利用IIR数字滤波器对加噪语音信号进行滤波，要求录制一段个人自己的加噪语音信号，并对录制的信号进行采样；画出采样后语音信号的时域波形和频谱图；给定滤波器的性能指标，设计滤波器一个IIR滤波器，然后用自己设计的滤波器对采集的信号进行滤波，画出滤波后信号的时域波形和频谱，并对滤波前后的信号进行对比，分析信号的变化，回放语音信号。
Matlab程序s=44100;x1=wavread('yuyin.wav')*100;t=0:1/44100:(size(x1)-1)/44100;Au=1;d=[Au*cos(2*pi*15000*t)]';%噪声为15000Hz的余弦信号f=fs*(0:511)/1024;x2=x1+d;y2=fft(x2,1024);subplot(2,2,1);plot(t,x1);title('原语音信号');subplot(2,2,2);plot(t,x2);title('原噪声后的语音信号');subplot(2,2,3);plot(f,abs(y1(1:512)));title('原始语音信号频谱');subplot(2,2,4);plot(f,abs(y2(1:512)));title('加噪后的信号频谱');%滤波器设计wp=0.25*pi;%通带截止频率ws=0.3*pi;%阻带截止频率Rp=1;%通带衰减Rs=15;%阻带最小衰减Fs=44100;%采样频率Ts=1/Fs;wp1=2/Ts*tan(wp/2); %将模拟指标转换成数字指标ws1=2/Ts*tan(ws/2);[N,Wn]=buttord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s'); %选择滤波器的最小阶数N[Z,P,K]=buttap(N); %创建butterworth模拟滤波器[Aap,Bap]=zp2tf(Z,P,K);[a,b]=lp2lp(Aap,Bap,Wn);[az,bz]=bilinear(a,b,Fs);%用双线性变换法实现模拟滤波器到数字滤波器的转换[H,W]=freqz(az,bz); %绘制幅频响应曲线figure(1)plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));grid;xlabel('频率／Hz');ylabel('幅频响应幅度')f1=filter(az,bz,x2);figure(2)subplot(2,2,1)plot(t,x2) %画出滤波前的时域图title('滤波前的时域波形');subplot(2,2,2)plot(t,f1); %画出滤波后的时域图title('滤波后的时域波形');sound(f1,22050); %播放滤波后的信号F0=fft(f1,1024);f=fs*(0:511)/1024;y2=fft(x2,1024);subplot(2,2,3);plot(f,abs(y2(1:512))); %画出滤波前的频谱图title('滤波前的频谱')subplot(2,2,4)F1=plot(f,abs(F0(1:512))); %画出滤波后的频谱图title('滤波后的频谱')程序运行结果如下图所示
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