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本课件对应第5章IIR数字滤波器设计，先给出数字滤波器的技术指标与设计步骤，再详细推导巴特沃斯与切比雪夫两类模拟低通原型的设计公式与查表法；随后介绍冲激响应不变法与双线性变换法把模拟滤波器数字化的原理与实例，并用频率变换法把低通原型转换为高通、带通与带阻数字滤波器，最后给出MATLAB实现程序与运行结果。
第5章IIR数字滤波器的设计与MATLAB实现 引言 模拟滤波器的设计 IIR数字滤波器的设计 频率变换法设计IIR数字滤波器 IIR滤波器的MATLAB实现。
【本章知识结构】。
IIR滤波器的系统函数用下式表示： FIR滤波器系统函数用下式表示，至少存在一个。
滤波器的技术指标 一般来讲滤波器的性能指标往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。图5.3理想低通滤波器逼近的误差容限图。
模拟滤波器的设计 模拟巴特沃斯低通滤波器的特点与设计 切比雪夫低通滤波器。
巴特沃斯低通滤波器幅频特性。
巴特沃斯滤波器的系统函数和极点分布令上式分母为零可以得到：的2N个极点即：解得：在左半平面的极点即为的极点，因而设巴特沃斯滤波器的系统函数为，则频率响应。
以N=3阶巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数的极点分布为例，考虑到系统的稳定性，系统函数是由S平面左半部分的极点（）组成的，它们分别为则三阶系统函数为。
令，得到归一化的三阶巴特沃斯滤波器的系统函数为如果去归一化，则有。
模拟巴特沃斯低通滤波器的设计带和阻带的技术指标，通带的纹波系数（不一定是）、通带截止频率（不一定等于）和阻带的纹波系数和阻带起始频率。技术指标关系式为：设计一个巴特沃斯低通滤波器，一般要给定滤波器通。
第一步将滤波器的性能指标按照以上两式的相等条件代入到巴特沃斯滤波器的幅度平方函数表达式中，得到化简后得。
第二步由上式计算得到N的值，取大于计算值的最小正整数。将取得N值代入滤波器阻带的性能指标表达式或通带的指标表达式中，求得通带截止频率。
第三步可以采用两种办法： 1.查表法 2.公式法。
例5-1试设计一个模拟巴特沃斯低通滤波器，使其满足以下指标：通带截止频率，通带的最大衰减为，阻带的起始频率，阻带的最小衰减为。解：1）由滤波器的性能指标，确定滤波器的阶次N，代入公式（5-13）得。
）由公式求得滤波器的3db截止频率为：3）去归一化，得到取N=4，经查表得到四阶巴特沃斯原型滤波器。
切比雪夫低通滤波器切比雪夫滤波器的幅度响应有如下特点：1）当时，N为偶数时N为奇数时，2）当时，3）在通带范围内，即在以内时，在之间等纹波变化。
这里，，表示通带幅度响应的最大值。表示通带幅度响应的最小值，所以因而 滤波器的阶次数N由下式确定：滤波器的阶次数为大于由上式所确定的N的一个最小正整数。
将下式取等号可以导出由表示的为：由上面的公式可以求得，从而可以求出。
取N=4.3）查表得到原型滤波器的系统函数为：4）去归一化，得到模拟滤波器。
IIR数字滤波器的设计 冲激响应不变法设计IIR数字滤波器的设计 双线性变换法设计IIR数字滤波器。
冲激响应不变法设计IIR数字滤波器的设计1.变换原理冲激响应不变法是从滤波器的冲激响应出发，使数字滤波器的单位冲激响应序列正好等于模拟滤波器的冲激响应的采样值，即。由式（5-24）可以看出，冲激响应不变法将模拟滤波器的S平面变换为数字滤波器的Z平面的映射关系为，它所完成的s平面到Z平面的变换，正是拉普拉斯变换到Z变换的标准变换关系，即首先对作周期延拓，然后再经过的映射关系映射到Z平面上。
图5.8冲激响应不变法s平面到z平面的映射关系。
.模拟滤波器的数字化(5-28)设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且分母的阶次数（N）高于分子的阶次数（M），则系统函数可表达为部分分式形式:其拉普拉斯反变换是相应的冲激响应ha(t),即：则经过采样可以得到。
注：冲激响应不变法能保证S平面极点与Z平面极点有这种代数对应关系，但并不等于整个S平面与Z平面有这种代数对应关系，模拟滤波器的零点和数字滤波器的零点就不存在这种对应关系，而是随着Ha(s)的极点Sk以及系数Ak的变化而变化。数字滤波器的频率响应幅度与采样间隔T成反比,即：如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器有很高的增益，这是不希望的，因此对冲激响应不变法作简单的修正，以使得数字滤波器的增益不再随采样频率的变化而变化。
令（5-31）则有（5-32）及。
将已知代入上式得到（3）模拟滤波器与数字滤波器的频率响应分别为。
由图可以看出，由于不是充分限带的，所以产生了严重的频谱混叠。
双线性变换法设计IIR数字滤波器1变换原理双线性变换的映射关系。
双线性变换法设计数字滤波器的步骤设给定的数字低通滤波器的性能指标为：通带截止频率、通带纹波系数以及阻带起始频率、阻带纹波系数。1)应用公式对滤波器的通带截止频率和阻带的截止频率进行预畸变，得到模拟低通滤波器的截止频率，预畸变公式为2)求满足指标的模拟低通原型滤波器的系统函数3)由模拟低通滤波器的阻带的性能指标求得低通滤波器的3db截止频率，对模拟原型滤波器去归一化，即4）利用双线性变换公式将Ha（s）映射为H(Z)。
）查表求得三阶原型滤波器的系统函数为4)由滤波器阻带的性能指标求3db截止频率所以5）数字化，求得。
频率变换法设计IIR数字滤波器 模拟域频带变换法设计IIR数字滤波器 数字域频带变换法设计IIR数字滤波器。
模拟域频带变换法设计IIR数字滤波器 本节主要讲解以下三种： 模拟低通滤波器变换为数字高通滤波器 模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器 模拟低通滤波器变换为数字带阻滤波器。
模拟低通滤波器变换为数字高通滤波器 模拟低通原型滤波器变换为模拟高通滤波器的变换公式为式中，为模拟低通滤波器的通带截止频率，为模拟高通滤波器的通带截止频率。
模拟低通滤波器变换为数字高通滤波器 变换方法： 先由模拟低通原型滤波器变换为模拟高通，将代入低通到高通的变换关系式，即得到高通滤波器的系统函数 再由双线性变换法变换为数字高通滤波器，即把式（5-45）（5-46）。
模拟低通滤波器变换为数字高通滤波器代入式（5-45）就把模拟高通系统函数变成了数字高通系统函数。将上述运算中模拟滤波器的频带变换（5-45）与数字化（5-46）合并为一步运算就可直接得到模拟低通原型滤波器与数字高通滤波器的变换关系。
模拟低通滤波器变换为数字高通滤波器根据双线性变换，模拟高通通滤波器与数字高通滤波器频率之间的变换关系(5-48)则又因为故：(5-49)数字高通滤波器与模拟低通滤波器的频率之间的关系:数字高通滤波器与模拟低通滤波器的频率之间变换关系曲线。
例5-5解：1）求各数字频率设计一巴特沃斯高通滤波器，其指标要求为：通带截止频率（-3db点处）为，通带的衰减不大于3db。阻带上限截止频率为，阻带的衰减不小于14db，采样频率为。
）求常数C1。采用归一化的原型低通滤波器作为变换的低通原型，则3）由数字高通滤波器的阻带起始频率与模拟低通滤波器的阻带起始频率的关系得到。
）求模拟低通原型滤波器的阶次数N。模拟低通原型滤波器与数字高通滤波器的阻带具有相同的衰减要求，按照巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数公式求归一化原型滤波器的阶次数N，，所以有取N=3。
）查表5-1求得归一化的原型滤波器系统函数为6）数字化得到数字高通滤波器的系统函数。
模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器 模拟低通滤波器变换为模拟带通滤波器的变换公式为式中，分别为模拟低通滤波器的通带截止频率和模拟带通滤波器的通带上、下截止频率，满足模拟带通滤波器的带宽，几何中心频率。
模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器 变换方法： 设计数字带通滤波器，由模拟低通原型滤波器变换为模拟带通，将中代入低通到带通的变换关系式，即得到带通滤波器的系统函数 再由双线性变换法变换为数字带通滤波器，即把（5-51）（5-52）。
模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器代入（5-51）式，将模拟带通系统函数变成了数字带通系统函数。将上述运算中模拟滤波器的频带变换（5-51）与数字化（5-52）合并为一步运算就可以直接得到模拟低通原型滤波器与数字带通滤波器的变换关系并且经过变换整理得：（5-53）。
模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器 根据双线性变换，模拟带通滤波器与数字带通滤波器频率之间的变换关系及几何中心频率得到数字滤波器的各频率之间的关系（5-54）（5-55）。
模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器 考虑到模拟带通滤波器与数字带通滤波器是通带中心频率对应的映射关系，设数字带通滤波器的通带中心频率为，则有因而 设式（5-53）中(5-56)（5-57）。
模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器则利用式（5-55）（5-57）和标准三角函数恒等式，得(5-58) 设,同样可以得出(5-59)。
模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器 将D,E带入到（5-53）式，得到模拟低通滤波器到数字带通滤波器的变换关系（5-60） 在滤波器设计过程中，数字滤波器的中心频率和带宽或者中心频率和通带边界频率一般在设计时是给定的，可以由（5-58）（5-59）式求得D,E,利用（5-60）式变换，把模拟低通滤波器变换为数字带通系统函数（5-61）。
模拟低通滤波器变换为数字带通滤波器 数字带通滤波器与模拟低通滤波器的频率之间的关系为：（5-62）变换关系曲线为。
模拟低通滤波器变换为数字带阻滤波器 由模拟低通滤波器变换为模拟带阻滤波器的变换公式为（5-63）变换方法： 先由模拟低通原型滤波器变换为模拟带阻其中为模拟低通滤波器的通带截止频率，模拟带阻滤波器的阻带宽度为，将代入低通到带阻的变换关系式，即得到模拟带阻滤波器的系统函数。
模拟低通滤波器变换为数字带阻滤波器 再由双线性变换法变换为数字带阻滤波器，即把（5-64）代入式（5-63）中，就把模拟带阻系统函数变成了数字带阻系统函数。将上述运算中模拟滤波器的频带变换（5-63）与数字化（5-64）合并为一步运算就可以直接得到模拟低通原型滤波器与数字带阻滤波器的变换关系，经过变换整理得：（5-65）。
模拟低通滤波器变换为数字带阻滤波器 考虑到模拟带阻滤波器与数字带阻滤波器是阻带中心频率对应的映射关系，设数字滤波器的阻带中心频率为，则有 根据双线性变换，模拟带阻滤波器与数字带阻滤波器频率之间的变换关系可以得到数字滤波器的各频率之间的关系为：（5-66）（5-67）因而。
模拟低通滤波器变换为数字带阻滤波器（5-68） 设，同样可以得出：（5-69） 设式（5-65）中，则利用式（5-66）（5-67）和标准三角函数恒等式，得。
模拟低通滤波器变换为数字带阻滤波器 将D1，E1带入到（5-65）式，得到模拟低通滤波器到数字带阻滤波器的变换关系为：（5-70） 在数字带阻滤波器设计过程中，数字滤波器的阻带中心频率和阻带带宽或者中心频率和通带上下截止频率一般在设计时是给定的，可以由（5-68）（5-69）式求D1，E1,利用（5-70）式变换，把模拟低通滤波器变换为数字带阻系统函数（5-71）。
模拟低通滤波器变换为数字带阻滤波器 数字带阻滤波器与模拟低通滤波器的频率之间的关系为：（5-72）数字带阻滤波器与模拟低通滤波器的频率之间的关系曲线。
数字域频带变换法设计IIR数字滤波器 本节主要讲解以下四种： 数字低通与数字低通的变换 2数字低通与数字高通的变换 3数字低通转换为数字带通 4数字低通转换为数字带阻。
IIR滤波器的MATLAB实现以Butterworth滤波器为例介绍IIR滤波器的MATLAB实现。1）Butterworth滤波器阶数选择2）模拟低通原型滤波器的产生3)零极点表达式与系统函数间的转换4)低通滤波器向低通滤波器的转换。
图5.19a滤波器幅频特性曲线图5.19b滤波前后信号对比。
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