第1页：第6章 FIR数字滤波器设计
第6章FIR数字滤波器的设计与MATLAB实现引言线性相位滤波器的特点窗函数法设计FIR数字滤波器频率采样法设计FIR滤波器利用等纹波最佳逼近法设计FIR滤波器。
第2页：本章教学目的与要求
- 【本章教学目的与要求】 掌握线性相位滤波器的特点及其零点位置的分布特点。
- 学会应用窗函数法设计线性相位FIR滤波器。
- 学会应用频率抽样法设计线性相位FIR滤波器。
- 了解等波纹最佳逼近法设计线性相位FIR滤波器的方法。
- 学会应用MATLAB软件设计线性相位FIR滤波器。
- 了解IIR滤波器与FIR滤波器的不同特点及两种滤波器的选用原则。
第3页：本章知识结构
【本章知识结构】。
第4页：6.1引言：IIR与FIR比较
- 引言【问题的引入】IIR数字滤波器优点：能借助模拟滤波器已有成果设计。
- 简单方便缺点：相位非线性，FIR数字滤波器优点：严格线性相位。
- 系统十分稳定（传输函数为全零点型）。
- 进行滤波时可采用FFT缺点：幅度特性较差。
第5页：滤波器滤除图像噪声案例
案例滤波器在滤除图像高频噪声，增强图像中的应用。含有噪声的图像 滤波器滤波后图像。
第6页：6.2线性相位滤波器的特点
线性相位滤波器的特点 线性相位条件 设FIR系统的单位采样响应为实序列（长度为N），则其Z变换为：显然为关于的N-1阶多项式，它在Z平面上有N-1个零点、在原点有N-1个重极点。若满足下面的“偶对称”或“奇对称”条件：则FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。
第7页：线性相位条件
- 对于长度为N的单位采样响应h(n)，其频率响应为 当h(n)为实数序列时，可将频率响应表示为式中，H（w）称为幅度函数，称为相位特性，称为幅频特性，称为相频特性。
- 对于长度为N的单位采样响应h(n)，其频率响应为 当h(n)为实数序列时，可将频率响应表示为式中，H（w）称为幅度函数，称为相位特性，称为幅频特性，称为相频特性。
- 线性相位是指系统的相位特性是频率的线性函数，即。
第8页：第一类线性相位滤波器
类线性相位滤波器。
第9页：线性相位的充要条件
知识拓展（FIR滤波器具有线性相位的充要条件） 把系统相位特性与频率的关系式代入频率响应表达式，得 等式左右两侧实部、虚部分别相等 两式相除，可得。
第10页：第一类线性相位条件推导
整理，得 即： 要使上式成立，必须满足得到第一类线性相位滤波器的条件。
第11页：第二类线性相位滤波器
第二类线性相位滤波器，可作与第一类线性相位同样的推导，得到第二类FIR滤波器是线性相位的充要条件。
第12页：6.2.2幅度函数特点（I型）
线性相位FIR滤波器幅度函数特点1第I种类型，h(n)偶对称，N为奇数。
第13页：I型幅度函数推导
- 其求和项全为实数则：显然：幅度函数是标量函数，可正可负。
- 相位函数是的线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相位特性。
- 线性相位FIR滤波器幅度函数特点。
第14页：对称项合并（N为奇数）
线性相位FIR滤波器幅度函数特点的各项相对于对称的项相等。
第15页：I型滤波器适用特性
线性相位FIR滤波器幅度函数特点将相等项合并，因N为奇数，余中间项令，则：改换记法其中。
第16页：II型滤波器（N为偶数）
- 线性相位FIR滤波器幅度函数特点∴该类滤波器适合于设计任何关于为偶对称特性频率的滤波器。
- ∵对皆为偶对称，所以幅度函数对也是偶对称。
- 2第II种类型：h(n)偶对称，N取偶数与情形1推导相同∵N为偶数，∴余项令，得。
第17页：II型滤波器的限制
FIR数字滤波器幅度函数的特点改换记法其中因此这种情况不适合做在处不等于零的滤波器，如高通滤波器、带阻滤波器。特点：当时，，故，即在z =-1为零点，且由于对呈奇对称，因而对也呈奇对称。
第18页：III型滤波器（N为奇数）
FIR数字滤波器幅度函数的特点3第III种类型，h(n)奇对称，N为奇数。
第19页：III型相位特性
FIR数字滤波器幅度函数的特点显然：相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有的截距。则：幅度特性相位特性。
第20页：III型的零点特性
- FIR数字滤波器幅度函数的特点上式表明，当时，，相当于在z=1和z =-1有两个零点，并且由于对呈奇对称，因而对也呈奇对称。
- ∴这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。
- 推导方法与前面类似，可得：∵对为奇对称，∴。
第21页：IV型滤波器（N为偶数）
- FIR数字滤波器幅度函数的特点4第III种类型，h(n)奇对称，N为偶数∴这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。
- 上式表明：当时，，相当于在z=1处有一个零点。
- 并且由于对呈奇对称、对呈偶对称，因而也对呈奇对称、对呈偶对称。
第22页：四类线性相位滤波器对比表
FIR数字滤波器幅度函数的特点下表给出了上述4种类型的线性相位滤波器的相位响应、时域幅度响应和频域幅度响应的示意图。
第23页：四类滤波器的适用类型
- 知识拓展 I型滤波器适合于设计低通、高通、带通和带阻滤波器。
- II型适合于设计低通、带通滤波器。
- III型适合于设计带通滤波器。
- IV型适合于设计高通、带通滤波器。
- 但在实际应用中，低通、高通、带通和带阻滤波器的设计一般选择I,II两种类型， III,IV两种线性相位FIR滤波器常在微分器和希尔伯特变换器中使用。
第24页：6.2.3零点分布特点
- 线性相位FIR滤波器的零点特性6.2.3线性FIR数字滤波器零点分布特点偶对称取“＋”奇对称取“－”设是的零点，∵则也是的零点。
- 当为实数时，为实系数的多项式，此时应是共轭成对的，则也是零点。
- ∴对于一个实线性相位FIR滤波器，其零点相对于单位圆镜像共轭成对。
第25页：线性相位FIR零点分布图
线性相位FIR数字滤波器零点分布。
第26页：6.3窗函数法设计FIR
- 窗函数法设计FIR滤波器 设滤波器要求的理想频响特性为,则FIR滤波器的设计问题就在于：寻求某一系统函数，使该系统频响特性逼近。
- 若要求FIR滤波器具有线性相位特性，则必须满足上节所述的奇对称或偶对称条件。
- 线性相位FIR滤波器的常用设计方法窗函数法、频率采样法、等波纹最佳逼近法 窗函数法设计的基本思想是设计一个有限长滤波器频率响应来逼近理想滤波器的频率响应。
第27页：理想低通单位采样响应
设计方法 以低通线性相位滤波器为例,一般选择选择为线性理想低通滤波器∴理想低通滤波器单位采样响应为： 一般先给定理想滤波器的频率响应，设计一个FIR滤波器的频率响应来逼近。
第28页：矩形窗截断
- 设计方法要得到有限长的，最简单的方法是用一长为的矩形窗截断。
- 按照线性相位滤波器的要求，必须偶对称，如下图。
- 对称中心必须等于滤波器的延时常数是中心点在a的偶对称无限长非因果序列。
第29页：理想幅频特性与矩形窗
理想矩形幅频特性和矩形窗函数序列幅度函数。
第30页：频域卷积分析
设计方法下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应设矩形窗的频率响应为为矩形窗的幅度响应。
第31页：主瓣与旁瓣
设计方法主瓣旁瓣旁瓣。
第32页：矩形窗对幅度特性的影响
设计方法将理想低通滤波器的频率响应表示为：若用代表所设计的低通滤波器的幅度函数，则:可见：设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积（过程如下图所示）。
第33页：加窗对频率响应的影响
设计方法矩形窗对理想低通滤波幅度特性的影响。
第34页：过渡带与肩峰
- 设计方法加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了以下两点影响：①使理想频率特性不连续点ω=ωc处，形成了一个过渡带，过渡带的宽度等于矩形窗的频率响应WR(ω)的主瓣宽度△ω= 4π/N②在截止频率ωc的两边ω=ωc±2π/N处（即过渡带的两边），H(ω)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的快慢，则取决于WR(ω)波动的快慢。
- 若增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为：随着x加大，函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。
- 这个相对比例由sinx/x决定,即由矩形窗函数的形状决定。
第35页：矩形窗的肩峰相对值
- 设计方法因而，当长度N增加时，只会减小过渡带宽(4π/N )，而不会改变肩峰的相对值。
- 在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，4π/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是8.95%，这就是吉布斯(Gibbs)效应。
- 由于窗谱肩峰的存在，影响到H(ω)通带的平坦和阻带的衰减，使阻带最小衰减只有21dB左右，因此在实际中，矩形窗很少采用。
- 为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用其他类型的窗函数，对进行加窗处理。
第36页：6.3.2矩形窗
窗函数 矩形窗（Rectangle window）其频率响应为。
第37页：三角形窗（Bartlett）
三角形窗(Bartlett Window)其频率响应为：主瓣宽度为。
第38页：汉宁窗（Hanning）
其频率响应和幅度响应分别为：是三项矩形窗的幅度响应的移位加权和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽度比矩形窗的主瓣加宽了一倍，为 汉宁(Hanning window)窗，又称升余弦窗。
第39页：汉明窗（Hamming）
其幅度响应为：同汉宁窗的主瓣宽度相同，但旁瓣幅度更小，结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内。汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗。
第40页：布莱克曼窗（Blackman）
其窗函数中包含有余弦的二次谐波分量，幅度响应为：通过加入余弦的二次谐波分量，可进一步降低旁瓣，但其主瓣宽度变为 布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗。
第41页：五种窗函数包络曲线
下图为N=31时，矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼这5种窗口函数的包络曲线窗函数。
第42页：五种窗函数幅度响应
窗函数下图为N=311时矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼5种窗口函数的幅度响应。
第43页：凯塞尔窗（Kaiser）
窗函数 凯塞尔(Kaiser)窗I0(·)是第一类修正零阶贝塞尔函数一般取15~25项就可满足精度要求。β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，β越大,过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。
第44页：窗函数基本参数比较
窗函数 零阶贝塞尔曲线 凯塞尔窗函数曲线窗函数基本参数比较。
第45页：6.3.3窗函数法设计步骤
- 窗函数法设计FIR滤波器的步骤 求理想滤波器的单位采样响应 由过渡带带宽及阻带最小衰减的要求，选定窗函数，估计窗口长度N。
- 求得所设计的FIR滤波器的单位采样响应h(n)。
- 求FIR滤波器的系统函数 首先是给定所要求的频率响应函数。
第46页：例题：理想滤波器频率特性
例题（2）求得：解:(1)设理想线性相位滤波器的频率特性为由阻带截止频率与通带截止频率近似求得，即一线性相位高通滤波器设计指标为：通带截止频率通带衰减，阻带截止频率阻带最小衰减。试应用窗函数设计法设计该滤波器。
第47页：例题：汉宁窗选择与加窗
例题（4）加窗处理得（3）已知阻带最小衰减，查表6-2知汉宁窗与海明窗均满足要求，我们选择汉宁窗。所设计滤波器的过渡带带宽为，加汉宁窗处理后滤波器过渡带宽度为解之得：对于高通线性相位FIR滤波器，选择N为奇数，取N=25,得到窗函数的表达式。
第48页：线性相位FIR带通设计例题
- 例题一线性相位FIR带通滤波器设计指标为：阻带下截止频率阻带上截止频率阻带最小衰减。
- 通带下截止频率,通带上截止频率通带最大衰减应用MATLAB编程实现该滤波器。
- 带通FIR滤波器的频率响应及其单位采样响应。
