04 第2章 时域离散信号与系统频域分析基础.pptx

第1页：第2章时域离散信号与系统频域分析基础

第2章时域离散信号与系统频域分析基础 引言 序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换性质 离散信号与系统分析。

第2页：本章教学目的与要求

• 【本章教学目的与要求】 掌握序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换之间的关系。
• 理解离散傅里叶变换的概念。
• 掌握离散傅里叶变换的性质。
• 了解零极点分布与系统的因果性、稳定的关系。
• 能够应用MATLAB实现系统的频域分析和时域分析。

第3页：本章知识结构

本章知识结构。

第4页：2.1引言：频域分析的必要性

• 引言时域离散信号中混有杂波或噪声，如图2.1所示一噪声信号。
• 在时间域研究滤除杂波或噪声非常困难，甚至是不可能。
• 但把时域信号变换到频域，分析信号的频谱结构，如图2.2。
• 根据信号的频谱结构来设计满足通带要求的滤波器滤除噪声或杂波，就比较容易。
• 案例时域信号频谱分析在信号噪声滤除中的应用。

第5页：z变换与拉普拉斯、傅里叶变换关系

z变换与拉普拉斯、傅里叶变换关系

序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 时域离散信号的Z变换及其收敛域 z变换的定义及其收敛域 z变换的收敛域与序列之间的关系 z反变换 序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。

第6页：z变换的定义及其收敛域

z变换的定义及其收敛域

时域离散信号的z变换及其收敛域 z变换的定义及其收敛域定义时域离散序列x(n)的z变换为（2-1）式中，为复变量，它所在的平面称为平面。由定义式（2-1）可以看出，Z变换实际上就是复变量的幂级数，只有当该幂级数收敛时，变换才有意义，即变换存在的条件可以用下式表示。

第7页：收敛域的环状表示

• 时域离散信号的z变换及其收敛域式（2-2）成立时所有的取值，称为的收敛域。
• 收敛域一般用环状域表示，即。
• 如图2.3所示。
• 序列的z变换在收敛域内存在，因此对信号进行频域分析时，收敛域是不可缺少的部分。

第8页：例2-1 序列的z变换

例2-1 序列的z变换

时域离散信号的z变换及其收敛域解：由序列变换的定义式（2-1），得使收敛，要求，即，解得，这样求得的变换例2-1已知序列,求其变换，并确定其收敛域。

第9页：z变换收敛域与序列的关系

• z变换的收敛域与序列之间的关系时域离散信号的z变换及其收敛域一般,变换是一个有理函数，其分子和分母都是复变量的多项式，分子多项式的根称为变换的零点，分母多项式的根称为变换的极点。
• 按照z变换存在的条件，在极点处序列的变换不存在，因此收敛域中没有极点存在，即收敛域总是以极点为界。
• 下面按照序列的特点来分别介绍不同序列的变换的收敛域。

第10页：有限长序列的收敛域

• 时域离散信号的z变换及其收敛域如果序列从到的序列值不全为零，其他区间的序列值为零，这种序列为有限长序列。
• 其变换为：（2-3）式（2-3）是复变量的有限项幂级数的和，除去特殊点外的整个平面是收敛，即收敛域为。
• 在特殊点处是否收敛取决于的取值，若则收敛域为。
• 若，则收敛域为。
• 若,则收敛域。
• 变换的收敛域（1）有限长序列。

第11页：右边序列的收敛域

• 时域离散信号的z变换及其收敛域如果序列在时，序列值不全为零，而在其他区间为零，该序列为右边序列。
• 其变换为:（2-4）式中。
• 上式右边第一项对应的是有限长序列的Z变换，其收敛区间为，第二项为因果序列的变换，收敛域为，同时使两个序列的变换存在，则收敛域为。
• （2）右边序列变换的收敛域。

第12页：左边序列的收敛域

• 时域离散信号的z变换及其收敛域如果序列在时，序列值不全为零，而在其他区间为零，该序列为左边序列。
• 其变换为：（2-5）式中。
• 上式右边第一项为左边序列，对应该序列的变换为复变量的正幂级数的形式，其收敛域为，第二项的收敛域为，使两部分同时收敛的的收敛域为。
• （3）左边序列变换的收敛域。

第13页：双边序列的收敛域

时域离散信号的z变换及其收敛域（4）双边序列的Z变换的收敛域如果序列在区间内有非零值，则该序列为双边序列，它的变换为（2-6）式中右边第一项为左边序列，收敛域，右边第二项为右边序列，收敛域为。如果满足，则使得该双边序列的变换存在的收敛域为。

第14页：例2-2 有限长序列的z变换

例2-2 有限长序列的z变换

时域离散信号的z变换及其收敛域例2-2序列,求其变换及其收敛域解：序列是一个点数为点的有限长序列，且，是因果序列，收敛域。按照变换的定义，得式中既是序列的变换的零点又是其极点，抵消后处仍然收敛，所以，收敛域为。

第15页：例2-3 左边序列的z变换

例2-3 左边序列的z变换

时域离散信号的Z变换及其收敛域解：序列为左边序列，按照变换的定义式，得如果存在，则有，即。在收敛域中，序列的变换为例2-3序列,求其变换及其收敛域。

第16页：例2-4 双边序列的z变换

例2-4 双边序列的z变换

时域离散信号的Z变换及其收敛域解：序列为双边序列，按照变换的定义式，得例2-4序列,求其变换及其收敛域。

第17页：三类序列收敛域对比

• 时域离散信号的Z变换及其收敛域对比以上三个序列，分别为右边序列、左边序列和双边序列，它们的变换的收敛域都与其极点存在某种关系。
• 对比可以得出右边序列变换的收敛域为取极点的模值最大的区域，如例2-4中取。
• 而左边序列的变换的收敛域取其极点的模值最小的区域，如例2-3中取，例2-4中取。
• 同一个，即零极点分布相同，但收敛域不同，则对应的序列不同，可用图2.4来加以说明。

第18页：零极点分布与收敛域

时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域。

第19页：z反变换的定义与方法

• 时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域 Z反变换已知序列的变换及其收敛域，求原序列，称为求反变换。
• 反变换可以用下式表示（2-7）式中，为收敛域内围绕原点的一条逆时针闭合围线，直接计算围线积分比较麻烦。
• 求反变换可以应用以下几种方法。
• 部分分式展开法 留数计算法 长除法。

第20页：部分分式展开法

时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域（1）部分分式展开法，就是将变换的有理分式展开成简单的部分分式的和的形式，利用常见序列的变换与原序列的对应关系，求取原序列。一般是复数的有理分式，可将分解为部分分式的和的形式（2-8）则（2-9）应用部分分式求反变换时，必须是分解得到的各项部分分式能够比较容易的从变换中识别出来，并注意其收敛域。

第21页：部分分式的一般形式

时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域如果可以表示成有理分式（2-10）则可以展开成以下的部分分式（2-11）其中，为的一个阶重极点，为的单阶极点（），是的整式部分的系数。

第22页：部分分式系数的求法

时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域根据留数定理，系数由下式求得（2-12）系数由下式求得（2-13）展开式各项的系数确定后，根据收敛域的不同，分别求（2-11）式右边各项的反变换，得到各个序列相加即可求得原序列。

第23页：例2-5 部分分式法求反变换

时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域解：由得所以有由的收敛域得到其反变换为例2-5已知，用部分分式法求其反变换。

第24页：留数计算法

• 时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域（2）留数计算法，就是用收敛域内包围原点的逆时针围线内或外的极点处的留数来计算围线积分,这是一种求取反变换的有效的分析方法。
• 对于有理变换，式（2-7）的围线积分可以通过围线所包围的极点处的留数来计算。
• 设函数在围线上连续，在以内有个极点，而在以外有个极点，均为有限值，则有（2-14a）（2-14b）。

第25页：例2-6 留数法求反变换

• 时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域应用（2-14b）式的条件是在处具有二阶或二阶以上的零点，即的分母多项式的阶次数比分子多项式的阶次数高二阶或二阶以上，无穷远处的留数为零。
• 解：为收敛域内的闭合围线，如图2.5所示。
• 例2-6已知，求其反变换。

第26页：留数法极点分布讨论

时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域现在看极点在围线内部的分布情况及极点阶数，以确定式（2-14a）1)当时，有4个极点，，则有2)当时，有3个极点，，则有3)当时，有2个极点，，则有所以有。

第27页：幂级数展开法（长除法）

• 时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域（3）幂级数展开法（长除法），由序列的变换的定义式(2-1)可以看到，序列的变换就是以为系数的的复变量的幂级数的和的形式，将变换的分子多项式与分母多项式进行长除，得到复变量的幂级数，该级数的系数就是原序列。
• 序列的变换定义为的幂级数，即因此只要在给定的收敛域内，把展开成幂级数，则级数的系数就是序列。
• 一般情况下是一个有理分式，分子分母都是的多项式，可以直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到。

第28页：长除法的幂级数排列规则

• 时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域因此在应用长除法求反变换时如果的收敛域为则必为因果序列，应将展开成的负幂级数的形式，为此的分母分子应按照的降幂（的升幂）排列。
• 如果的收敛域为，则必为左边序列，应将展开成的正幂级数的形式，为此的分母分子应按照的升幂（的降幂）排列。
• 知识拓展在MATLAB中，求解反变换可以通过函数实现，函数格式为函数中为分别为有理函数分子多项式和分母多项式的系数向量，参数为留数列向量，为极点列向量，为返回直接项系数。

第29页：例2-7 MATLAB求解反变换

时域离散信号的Ｚ变换及其收敛域应用实例例2-7已知应用MATLAB求解的反变换。编写程序如下：Program2-7num=[2 1/3 1]den=[1 17/3-2][r,p,k]=residuez(num,den)运行结果：r = 1.86840.6316p =-6.00000.3333k =-0.5000因此有：其收敛域为所以得到。

第30页：z变换与拉普拉斯变换的关系

序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系为了建立和理解连续信号的拉普拉斯变换与离散信号的变换之间的关系，先分析连续时间信号和理想采样信号的拉普拉斯变换之间的关系，通过理想采样信号的拉普拉斯变换把连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换与离散信号（序列）的变换联系起来。连续信号与理想采样信号的拉普拉斯变换分别为：（2-15a）(2-15b)由理想采样信号与连续信号的关系，得。

第31页：理想采样序列的z变换

序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系（2-16）理想采样序列的变换为：与式（2-16）对比看出，当时，理想采样序列的变换就等于其理想采样序列的拉普拉斯变换：（2-17）上式说明，由复变量平面向复变量平面的映射变换关系为：（2-18a）或(2-18b)。

第32页：s平面到z平面的映射关系

序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系下面讨论这一变换关系，复变量表示为而复变量用极坐标表示将它们代入到式（2-18a）中得到即有：(2-19a)(2-19b)可以看出，复变量的模与复变量的实部对应，的相角与复变量的虚部对应。

第33页：映射关系的模与相角

• 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系式（2-19a）讨论得（平面的虚轴），，即平面的虚轴映射为平面单位圆的圆周。
• 当，，即平面的左半平面映射成平面单位圆的内部。
• 当，有，即平面的右半平面映射为平面单位圆的外部。
• 式（2-19b）可得，当时，有。
• 因此，时，有，即平面上相位变化，围绕平面单位圆旋转一周。
• 这样，当再变化(一个采样频率)，则相应的变换，即围绕平面单位圆再旋转一周，或将整个平面又映射一次。

第34页：s平面到z平面的带状映射

• 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系故，平面上宽度为的水平带映射为整个平面，左半带映射成单位圆内部，右半带映射成单位圆外部，长度为的虚轴映射为单位圆的圆周。
• 由于平面可分成无限条宽的宽带，所以平面可以被映射成无限多个平面。
• 这些平面重叠在一起，因此这种映射不是简单的代数映射。
• 映射关系如图2.6所示。
• 图2.6Ｓ平面到Ｚ平面的代数映射。

第35页：拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

• 有平面到平面的映射关系，以理想采样信号的拉普拉斯变换为纽带，找到连续信号的拉普拉斯变换与理想采样信号的变换之间的关系。
• 将1.5节中的式（1-33）重写如下：将上式代入到式（2-17）式，即得到与间的关系（2-20）傅里叶变换是拉普拉斯变换在复平面虚轴上的特例，即时连续信号的拉普拉斯变换就转变为傅里叶变换。
• （2-21）式（2-21）说明：理想采样序列在单位圆上的z变换，等于其理想采样信号的傅里叶变换，是连续信号频谱的周期延拓。
• 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。

第36页：离散时间傅里叶变换的定义

• 时域离散信号的傅里叶变换不同于模拟信号的傅里叶变换，时域离散信号的自变量n只能取离散值，即只能取整数，不能进行积分运算。
• 频域频谱函数是数字频率的连续函数，以为周期。
• 虽然两者有不同的地方，但在信号处理中它们所起到的作用和许多性质是一样的。
• 序列的傅里叶变换定义为（2-22）DTFT表示离散时间傅里叶变换。
• 2.3离散时间傅里叶变换注意：是累加运算，而非连续时间系统的积分运算。

第37页：傅里叶变换对

• 式（2-23）和（2-24）组成一对傅里叶变换对离散时间傅里叶变换由于序列是时域离散的，频谱函数一定是周期的。
• 从式（2-23）可以看出，是的以为周期的正交周期性函数，也是以为周期的周期函数。
• 又由于是非周期的，则频谱函数一定是以为自变量的连续频谱函数。
• 连续周期函数可以展开成傅里叶级数，所以展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数就是序列。
• 傅里叶反变换的定义为（2-24）。

第38页：例2-8 矩形序列的傅里叶变换

离散时间傅里叶变换解：由公式（2-22）可得其中例2-8已知矩形序列序列,求的傅里叶变换。

第39页：5点矩形序列的傅里叶变换

离散时间傅里叶变换下图2.7画出了与的图形。图2.7 5点矩形序列的傅里叶变换。

第40页：离散傅里叶变换的背景知识

• 背景知识：离散傅里叶变换是是把信号或系统从时域变化到频域，进一步分析信号的频谱特性或系统的频率响应。
• 但离散傅里叶变换运算比较复杂，不够直观，学生理解起来有困难。
• MATLAB软件功能强大，可以为学生提供直观的数字信号处理的图形可视化手段，生动地揭示算法设计及实现流程。
• 作为信号的频谱分析，可以通过MATLAB仿真实现。
• 以下是离散信号傅里叶变换的函数文件，对信号进行频谱分析可以直接调用。
• 离散时间傅里叶变换。

第41页：傅里叶变换的MATLAB函数

• function[X,magX,argX]=FourTran(x,n,N)%定义函数，实现傅里叶变换if nargin<3N=600endk=-N:Nw=(pi/N)*kX=x*(exp(-j).^(n'*w))。
• %计算序列的傅里叶变换magX=abs(X)。
• argX=angle(X)。
• subplot(2,1,1)plot(w/pi,magX)。
• %绘制蝠频特性xlabel('频率/{\pi}')。
• ylabel('|X(e^{j\omega})|')。
• title('蝠频特性')。
• grid on。
• subplot(2,1,2)plot(w/pi,argX)。
• %绘制相频特性xlabel('频率/{\pi}')。
• ylabel('弧度/{\pi}')。
• title('相频特性')grid on例2-8题频谱图就是调用上述函数实现的。
• 离散时间傅里叶变换。

第42页：2.4离散时间傅里叶变换性质

离散时间傅里叶变换性质序列的傅里叶变换是序列在单位圆上的变换（序列的变换在单位圆上收敛），因而可以表示成（2-25）（2-26）所以序列的傅里叶变换的性质可以由序列的变换的主要性质得出，归纳如下：设的DTFT分别，`为任意常数，则有后面的性质。

第43页：傅里叶变换的周期性与移位

• 离散时间傅里叶变换性质1.傅里叶变换的周期性时域离散信号的傅里叶变换以为周期，即下式成立(2-27)因此在对信号进行频域分析时，分析一个周期就可以了。
• 2.序列的移位（2-28）时域的移位对应于频域的相位调制。
• 3.时域卷积定理（2-29）4.频域卷积定理（2-30）注意与Z变换性质对比。

第44页：频域卷积定理的证明

离散时间傅里叶变换性质频域卷积定理的证明。

第45页：共轭对称与共轭反对称序列

共轭对称与共轭反对称序列

离散时间傅里叶变换性质5.傅里叶变换的对称性（1）共轭对称序列与共轭反对称序列对于复数序列表示成，分别为序列的实部和虚部。定义满足下式性质的为共轭对称序列（2-32）共轭反对称序列（2-33）如果序列为实数序列，则有即变成了偶对称序列，为奇对称序列。

第46页：序列的对称分量分解

序列的对称分量分解

离散时间傅里叶变换性质任一序列总能够表示成一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列的和的形式，即在这里令（2-34）（2-35）由式（2-34）（2-35）容易得到满足（2-32）（2-33）所给出的共轭对称序列和共轭反对称序列的定义式。

第47页：傅里叶变换的对称分量分解

离散时间傅里叶变换性质同样一个复数序列的傅里叶变换也可分解为共轭对称分量和共轭反对称分量的和的形式（2-36）式中，（2-37）（2-38）是共轭对称的，满足，是共轭反对称的，满足。与序列情况一样，如果傅里叶变换是实函数，且满足共轭对称，则称其为频率的偶函数，即如果是实函数，且满足共轭反对称关系，则称之为频率的奇函数，即。

第48页：序列实部的傅里叶变换

• 离散时间傅里叶变换性质（2）序列傅里叶变换的对称性质由序列的变换及序列的傅里叶变换的定义，可以得到以下几个序列傅里叶变换的对称性质。
• 性质1序列实部的傅里叶变换（2-39）证明：由傅里叶变换的定义得即该性质得证。
• 只要把握了规律,可充分利用本性质大大减少我们在公式记忆方面的“量”。

第49页：傅里叶变换的对称性质

离散时间傅里叶变换性质性质2序列的虚部乘j后的傅里叶变换（2-40）性质3序列共轭对称和共轭反对称分量的傅里叶变换（2-41）（2-42）性质4如果序列是实数序列，则其傅里叶变换满足共轭对称性，即（2-43）由此得出，实数序列的傅里叶变换的实部是频率的偶对称函数，而虚部是的奇函数，即（2-44a）（2-44b）。

第50页：帕塞瓦定理

离散时间傅里叶变换性质6帕塞瓦（Parseval）定理如果则当，则有（2-45）式（2-45）说明:信号时域的总能量等于频域的总能量，离散时间傅里叶变换前后信号能量不变（守恒）。

第51页：2.5离散信号与系统分析

2.5离散信号与系统分析

离散信号与系统分析傅里叶变换与变换都是对信号和系统进行分析的数学工具，变换是系统分析域为复频域的一种变换，信号和系统的频域分析是指信号和系统的傅里叶变换。系统的系统函数与频率特性 系统因果性与稳定性分析 零极点图辅助分析系统的频率特性 系统的输出响应。

第52页：系统函数与频率特性

• 离散信号与系统分析 系统的系统函数与频率特性一个系统的时域特性用单位采样响应来表示，如果对其进行变换，得到（2-46）称为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。
• 如果对取傅里叶变换得到（2-47）称为系统的频率特性，它表征系统的频率响应特性。
• 对比系统函数与频率特性，可以看出，若的收敛域包含单位圆，则频率特性与系统函数之间的关系为（2-48）即系统的频率特性等于系统的单位采样响应在单位圆上的变换。

第53页：线性系统对复指数序列的响应

• 离散信号与系统分析为了研究离散线性系统对输入信号频谱的处理作用，我们来研究线性系统对复指数或正弦信号的稳态响应，也就是研究系统的频域表示。
• 设系统的输入为单一频率的复指数序列，即,线性移不变系统的单位采样响应为，得到其稳态输出为可以表示成（2-49）上式说明对于一因果稳定线性系统，输入为一定频率一定幅值的复指数序列,系统输出同频复指数序列，但信号的幅度和相位由系统的频率特性加权，即系统频率特性对输入序列而言，具有改变幅度和相位的作用，但输入与输出序列同频。
• 如果输入信号是一般信号，则由傅里叶变换的时域卷积定理，得到输出信号的频谱函数（2-50）。

第54页：系统因果性与稳定性分析

离散信号与系统分析 系统因果性与稳定性分析一个线性移不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述，即(2-51)如果系统的初始状态为零，直接对式（2-51）取变换，得（2-52）把式（2-52）分子分母分别进行因式分解，得到(2-53)式中，是的零点，是的极点，它们分别由差分方程的系数决定，也可以说除了常数之外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。

第55页：系统稳定性的收敛域条件

• 离散信号与系统分析系统的因果性指系统的可实现性，如果一个系统可实现，它的的单位抽样响应一定是因果序列，因果序列变换的收敛域为，即因果序列变换所有极点均集中在以为半径的圆以内。
• 如果系统稳定，则要求系统的单位采样响应是绝对可和的，即，按照Z变换的定义知Z变换存在的条件是以（或）为变量的级数是收敛的，则有。
• 因此得到结论：系统稳定时系统函数收敛域一定包含单位圆，换句话说就是系统函数的极点不能位于单位圆的圆周上。
• 也就是说系统是因果稳定系统时，系统的全部极点要位于单位圆以内。

第56页：双线性变换的引入

• 离散信号与系统分析当离散系统阶次较高时，通过直接求解差分方程或系统函数的极点来分析系统的因果稳定性往往是不方便的，所以人们希望有间接的判定方法可供应用。
• 连续系统的稳定性分析可以通过分析系统函数的特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性，也就是判断系统特征方程的根是否在平面的左侧，而在离散系统中需要判断系统的极点（也就是特征方程的根）是否都在平面的单位圆以内。
• 因此连续系统的判定稳定的ROUTH判据不能直接套用，需要将域变换到域，使平面上的单位圆，映射成平面上的左半平面，这种新的变换称为双线性变换。
• 令（2-54）则有（2-55）。

第57页：双线性变换的映射关系

• 对比式（2-54）（2-55）复变量与互为线性变换，故称为双线性变换。
• 令变量代入式（2-54）得显然由于上式分母始终为正，因此等价于，表明平面的虚轴对应于平面的单位圆圆周。
• 等价于，表明平面的左平面对应于平面单位圆以内的区域。
• 等价于，表明平面得右平面对应于平面单位圆以外的区域。
• 平面与平面的对应关系如图2.8所示。
• 离散信号与系统分析。

第58页：w平面与z平面的对应关系

离散信号与系统分析图2.8平面与平面的对应关系离散系统稳定的充要条件是系统函数的极点严格位于平面单位圆以内，经过双线性变换后的所有极点位于平面的左侧。

第59页：ROUTH数表的构造

离散信号与系统分析如果经双线性变换后得到函数的分母等于零的多项式（特征多项式）为（5-56）构造ROUTH数表，共有行：若求得的ROUTH数表中第一列的取值全部大于零，则该系统稳定。

第60页：ROUTH判据的背景

• 离散信号与系统分析背景资料：ROUTH判据是1877年劳斯提出的基于系统特征方程的系数来判断系统特征方程的根的位置，从而判断系统的稳定性，是一种间接判断系统特征方程的根是否严格位于复平面左半平面的方法。
• 这种方法适用于连续线性定常系统的稳定性分析，减少了高阶系统求根运算的工作量。
• 例2-9已知一系统的系统函数为试应用ROUTH判据判断该离散系统稳定时K的极限值。

第61页：例2-9 ROUTH判据求K值

离散信号与系统分析解：由系统函数得特征多项式令，代入上式得化简整理，得域方程列ROUTH数表由ROUTH数表第一列系数，为保证系统稳定，必须使和,即。

第62页：例2-10 系统因果性与稳定性

• 离散时间傅里叶变换例2-10已知一线性移不变系统的差分方程试分析系统的因果性和稳定性。
• 解：对差分方程两端同时取变换，得整理化简，得到系统函数系统有两个极点。
• 根据极点的分布，系统的因果性和稳定性讨论如下。

第63页：收敛域与因果稳定性的关系

离散时间傅里叶变换1）当时，系统的收敛域既不包括单位圆圆周也不包含，因此系统既不稳定也非因果。将系统函数进行部分分式分解得取反变换得到由单位采样响应也同样证明系统是非因果不稳定系统。

第64页：收敛域包含单位圆的情形

• 离散时间傅里叶变换2）当时，系统收敛域包含单位圆，系统稳定。
• 但收敛域不包含，系统是非因果的。
• 求取系统单位抽样响应为可以看出是一个双边序列，系统非因果。
• 同时，是绝对可和，系统稳定。
• 3）当时，系统收敛域不包含单位圆的圆周，系统不稳定。
• 收敛域包含，系统是因果的。
• 求取系统单位抽样响应为可以看出是右边序列，系统因果。
• 但不是绝对可和的，系统不稳定。

第65页：零极点图辅助分析频率特性

离散时间傅里叶变换 零极点图辅助分析系统的频率特性一个阶系统的系统函数完全可以由它在平面上的零、极点确定，系统函数为（2-57）由于系统函数在平面单位圆上的取值就是系统的频率响应，因此，系统的频率响应也安全可以由系统函数的零、极点确定。

第66页：频率特性的幅度与相位

离散时间傅里叶变换用代入式（2-57）得到系统的频率特性（2-58）其中，频率特性的幅度为（2-59）相频特性为（2-60）。

第67页：零极点矢量的几何意义

• 离散时间傅里叶变换在平面上，以o表示零点，以×表示极点。
• 复变量（或）是由原点指向（或）的矢量来表示，表示零点指向单位圆上的矢量，而表示极点指向单位圆上的矢量。
• 由式（2-59）（2-60）很容易看出极点和零点位置对系统频率响应特性的影响。
• 从式（2-59）可看出，当在极点的附近时，矢量最短，因而频率特性的幅度就在这附近出现峰值，极点越靠近单位圆，这种峰值就会表现的越尖锐。
• 当极点在单位圆上时，极点所在位置的幅度特性就会出现无穷大，就相当于在该频率特性出现无损耗谐振。
• 当极点出现在单位圆上时，系统处于不稳定状态，在绝大多数情况下不会出现这样的结果。

第68页：零点位置对幅度特性的影响

• 而零点的位置对系统幅度特性的影响则正好相反，式（2-59）说明，当接近某个零点时，则幅度响应特性就越小，因而在零点附近，幅度响应将会出现谷点。
• 零点越接近单位圆圆周，谷点便越接近为零，当零点在单位圆上时，该零点所在频率上振幅特性为零。
• 零点无论在什么位置上对系统的稳定性均没有影响。
• 当频率由0变化到时，这些零极点矢量的终点沿单位圆的圆周方向逆时针旋转一周，从而可以估算出整个系统的频率响应特性。
• 频率特性分析图示如2.9所示。
• 离散时间傅里叶变换图2.9频率特性的几何图形解释。

第69页：例2-11 零极点图法分析幅频特性

• 离散时间傅里叶变换例2-11设一阶系统的差分方程为试应用系统的零极点图法定性分析系统的幅频特性。
• 解：由系统的差分方程得到系统的系统函数为可以得出，系统的零、极点分别为，零极点分布如图2.10（a）所示。
• 取单位圆上一点A，可以画出极点矢量和零点矢量。
• 分析该系统的幅频特性，即当选择的点A从开始，逆时针沿单位圆的圆周旋转一周，观察零点矢量和极点矢量长度的变化，就能定性的给出系统的幅频特性。

第70页：极点矢量与幅度最大值

• 离散时间傅里叶变换当时极点矢量最短（），所以幅度值最大（）。
• 当时，极点矢量最长，该系统幅频特性值最小。
• 幅度特性以对称，这样可以定性的画出系统的幅频特性，如图2.10（b）所示。
• （a）系统零极点图(b)系统幅频特性曲线图2.10系统的零极点法分析系统频率特性。

第71页：系统的输出响应

离散时间傅里叶变换 系统的输出响应一N阶线性系统的差分方程为（2-61a）即有(2-61b)式（2-61）反映了系统的I/O传递关系。如果输入为因果序列，系统的初始条件为，对式（2-61a）取变换得。

第72页：输出响应的零输入与零状态分量

• 离散时间傅里叶变换（2-62）式（2-62）中右边第一项与初始条件无关，只与输入有关，为系统的零状态响应。
• 而右边第二项只与系统的初始条件有关，与输入信号无关，为系统的零输入响应，所以输出为系统的全响应。
• 第2项仅与系统的初始状态有关，而与输入x(n)无关本式第1项，仅与输入x(n)有关而与系统初态无关。

第73页：例2-12 系统输出响应求解

• 离散时间傅里叶变换例2-12已知系统的差分方程为输入信号，初始条件为。
• 求系统输出响应。
• 解：对给定的系统输入和系统差分方程取变换，得代入初始条件并整理，得取上式收敛域为，则有。

第74页：差分方程求解的背景知识

• 离散时间傅里叶变换背景知识：对离散线性系统的差分方程求解，分析系统的输出响应，手工计算量大，学生在学会简单差分方程运算的基础上，学会应用MATLAB实现差分方程的求解，从而对系统进行时域分析。
• 在MATLAB软件中可以直接调用函数filter和函数filtic来求解差分方程，调用filter和filtic函数求解差分方程的程序格式为：num=[b0,b1,…bm]。
• den=[a0,a1,…an]。
• %系统函数分子分母多项式系数向量yn=input(‘x(n)= ’)。
• %输入序列yc=[y(-1),y(-2),…y(-N)]。
• %给定系统初始条件xc=filtic(num,den,yc)。
• %计算等效初始条件序列y(n)=filter(num,den,xn,xc)。
• %求系统的输出响应信号。

第75页：求解输出响应的MATLAB程序

• 离散时间傅里叶变换%prog2-13求系统的输出响应clc。
• num=[1]。
• den=[6,-5,1]。
• %系统函数分子分母多项式系数n=0:63。
• xn=8*sin(n*pi/2)。
• %计算64点的输入序列yc=[-6,-16]。
• x0=[0]。
• %给定初始条件xc=filtic(num,den,yc,x0)%计算等效初始条件的输入序列xcyn=filter(num,den,xn,xc)%求解系统的输出响应y(n)stem(n,yn)。
• axis([0 65-1.2 1.2])%设定坐标范围title('系统全响应输出y(n)')。
• %添加图形名称xlabel(‘n’)。
• ylabel('y(n)')。
• 例2-13已知描述线性时不变系统的差分方程为输入序列为，初始条为和，应用MATLAB求系统的全响应。

第76页：例2-13 系统输出响应程序结果

离散时间傅里叶变换程序运行结果如图2.11所示。图2.11例2-13系统输出响应。

第77页：零状态响应与稳态响应

• 离散时间傅里叶变换如果系统处于零状态，则系统在输入信号作用下的输出响应可以表示为即输出响应则系统稳态响应为。
• 如果系统稳定，则输出响应是收敛的。
• 否则，系统输出是发散的，系统不稳定。
• 系统稳定，则系统的稳态响应取决于输入信号和系统的频率特性。
• 下面以系统的阶跃序列输入为例来分析系统的稳态响应输出，系统函数为，则系统输出为。

第78页：输出响应的部分分式分解

• 离散时间傅里叶变换将上式进行部分分式分解，得到（2-63）式中为系统的极点，分别为部分分式的分子。
• 如果系统稳定，系统的所有极点均位于单位圆以内，则对应的时间序列一定是收敛序列，当时，该序列会趋近于零。
• 按照域的终值定理可以求得稳态响应输出（2-64）。

第79页：稳态响应与暂态响应

离散时间傅里叶变换由上式可以看出：系统的稳态响应和输入信号及系统的频率特性有关，如果系统不稳定，系统的部分极点不在单位圆以内，则对应的时间序列是发散的，当时，该序列会趋近于无穷大。式（2-63）中，为系统的稳态响应，为系统的暂态响应。

第80页：系统稳定的背景说明

系统稳定的背景说明

离散时间傅里叶变换背景资料系统稳定是指系统在给定输入（或激励）作用下，输出响应由一个稳定状态达到另外一个稳定状态，则系统是稳定的。把系统的输出响应分解为稳态响应和暂态响应，稳态响应的形式与输入激励的形式相同，而暂态响应是系统的极点受到激励作用激发出来的动态分量，动态分量收敛，系统稳定。

第81页：例2-14 阶跃输入的系统输出

• 离散时间傅里叶变换例2-14已知系统函数为输入信号为单位阶跃信号，求系统的输出响应。
• 解：系统的输出响应将系统函数进行部分分式分解，得系统的稳态响应为。
• 例2-13也同时证实了，如果系统稳定，输入为单位阶跃序列，则系统的稳态响应。