14 第3章 傅里叶变换与系统的频域分析 §3.1 信号在正交函数集中的分解.pptx

第1页：第3章傅里叶变换与系统的频域分析

第3章 傅里叶变换与系统的频域分析

在连续时间系统的时域分析中，讨论了以冲激函数为基本信号，将任意输入信号分解为一系列冲激函数的叠加，从而系统的零状态响应等于输入信号与系统冲激响应的卷积积分。本章主要讨论连续傅里叶变换和连续系统的频域分析。

将以正弦函数或虚指数函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。系统分析使用的独立变量是频率（角频率），故称为频域分析（或傅里叶分析）。

第2页：§3.1 信号在正交函数集中的分解

§3.1 信号在正交函数集中的分解

• 正交函数集
• 信号的正交分解

第3页：正交函数集

一、正交函数集

1. 信号正交定义：在(t₁，t₂)区间的φ₁(t)和φ₂(t)满足两函数的内积为0，则称φ₁(t)和φ₂(t)在区间(t₁，t₂)内正交。

2. 正交函数集：若n个函数φ₁(t)，φ₂(t)，…，φ_n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t₁，t₂)内满足正交条件，则称此函数集为在区间(t₁，t₂)的正交函数集。

第4页：完备正交函数集

3. 完备正交函数集

如果在正交函数集{φ₁(t)，φ₂(t)，…，φ_n(t)}之外，不存在函数φ(t)（≠0）满足正交条件，则称此函数集为完备正交函数集。

三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n = 1, 2, …}与虚指数函数集{e^jnΩt，n = 0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t₀，t₀+T)（T = 2π/Ω）上的完备正交函数集。

第5页：信号的正交分解

二、信号的正交分解

设有n个函数φ₁(t)，φ₂(t)，…，φ_n(t)在区间(t₁，t₂)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为

f(t) ≈ C₁φ₁ + C₂φ₂ + … + C_nφ_n

如何选择各系数C_i使f(t)与近似函数之间误差在区间(t₁，t₂)内为最小？通常使误差的方均值（称为均方误差）最小。

第6页：分解系数的求解推导

为使均方误差最小，展开上式中的被积函数并求导。上式中只有两项不为0，写为……所以系数

本页为公式推导，源文件以图片形式给出，建议对照原课件图片查看完整推导过程。

第7页：帕斯瓦尔公式

代入得最小均方误差（推导过程见教材）。在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n → ∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。

此时有上式称为帕斯瓦尔(Parseval)公式，表明：在区间(t₁, t₂)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量之和，即函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。