25 §4.3 拉普拉斯逆变换.pptx

第1页：§4.3 拉普拉斯逆变换

§4.3 拉普拉斯逆变换

直接利用定义式求反变换——复变函数积分，比较困难。通常的方法：

• （1）查表
• （2）利用性质
• （3）部分分式展开——结合

若象函数F(s)是s的有理分式，可写为……若 m ≥ n（假分式），可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。

第2页：多项式部分的逆变换

由于 L^–1[1] = δ(t)，L^–1[sⁿ] = δ⁽ⁿ⁾(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。

第3页：一、零、极点的概念

一、零、极点的概念

若F(s)是s的实系数有理真分式（m < n），则可写为……，分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。

第4页：二、拉氏逆变换的过程

二、拉氏逆变换的过程

1. 求F(s)的极点
2. 将F(s)展开为部分分式
3. 查变换表求出原函数f(t)

第5页：部分分式展开：单阶实数极点

部分分式展开

1. 第一种情况：单阶实数极点。此时 F(s) 可展开为……，系数 K_i 由……求得。

第6页：假分式情况下作长除法

假分式情况：作长除法

本页为假分式作长除法的例题演算，源文件公式以图片形式给出。

第7页：第二种情况：极点为共轭复数

第二种情况：极点为共轭复数

共轭极点出现在……，此时可按单阶极点方式展开为两项共轭的部分分式。

第8页：求原函数f(t)的表达式

由共轭极点的部分分式求原函数，可写为 f(t) = 2|K₁|e^–αtcos(βt + θ)ε(t)。

第9页：共轭极点的另一种求值方法

另一种方法：F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求得，可将F(s)配方后直接查表。

第10页：第三种情况：有重根存在

第三种情况：有重根存在

当F(s)含有r重极点时，部分分式展开式中应包含……各项，本页提出如何求 K₂ 的问题。

第11页：重根系数的求法

K₂的求法：对 (s – s₁)^rF(s) 求导后在 s = s₁ 处取值，即得 K₂。

第12页：重根情形的逆变换

逆变换：含重根极点时，原函数中含 t e^s₁t、t²e^s₁t 等乘以指数项的各项。

第13页：一般重根情况下的系数求法

一般情况：求 K₁₁，方法同第一种情况；求其他系数，要用下式 ……

第14页：拉氏逆变换求解举例

举例：本页为拉普拉斯逆变换的综合例题演算，源文件公式以图片形式给出，建议对照原课件图片查看。

第15页：拉氏逆变换求解（续）

本页承接上页例题给出逆变换的最后结果，源文件未提取到文字、以图片形式给出，建议对照原课件图片补充。