10 §2.3.3 卷积积分的性质.pptx

第1页：卷积积分的性质

§2.4 卷积积分的性质

卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。

• 卷积代数运算
• 与冲激函数或阶跃函数的卷积
• 微分积分性质
• 卷积的时移特性

第2页：卷积代数运算

一、卷积代数运算

• 1．交换律
• 2．分配律：对应系统并联运算
• 3．结合律：对应系统级联运算

第3页：与冲激函数或阶跃函数的卷积

二、与冲激函数或阶跃函数的卷积

• 1. f(t) * δ(t) = δ(t) * f(t) = f(t)；f(t) * δ(t–t₀) = f(t–t₀)
• 2. f(t) * δ′(t) = f′(t)；f(t) * δ⁽ⁿ⁾(t) = f⁽ⁿ⁾(t)
• 3. f(t) * ε(t)；ε(t) * ε(t) = tε(t)

第4页：卷积的微积分性质

三、卷积的微积分性质

• 1. 卷积的导数可由任一因子的导数求出：δ⁽ⁿ⁾(t) * [f₁(t) * f₂(t)] = f₁⁽ⁿ⁾(t) * f₂(t)
• 2. 卷积的积分：ε(t) * [f₁(t) * f₂(t)] = f₁^(–1)(t) * f₂(t)
• 3. 在 f₁(–∞) = 0 或 f₂^(–1)(∞) = 0 的前提下，f₁(t) * f₂(t) = f₁′(t) * f₂^(–1)(t)

第5页：卷积的时移特性与求解方法归纳

四、卷积的时移特性

若 f(t) = f₁(t) * f₂(t)，则 f₁(t–t₁) * f₂(t–t₂) = f₁(t–t₁–t₂) * f₂(t) = f₁(t) * f₂(t–t₁–t₂) = f(t–t₁–t₂)。

求卷积是本章的重点与难点，求解方法可归纳为：（1）利用定义式直接积分，对指数函数、多项式函数等比较有效；（2）图解法，特别适用于求某时刻点上的卷积值；（3）利用性质，比较灵活。三者常常结合起来使用。

第6页：相关函数

五、相关函数

相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别、通信同步信号的识别等领域。相关是一种与卷积类似的运算，与卷积不同的是没有一个函数的反转。

• 相关函数的定义
• 相关与卷积的关系
• 相关函数的图解

第7页：相关函数的定义

1. 定义

实能量有限函数f₁(t)和f₂(t)的互相关函数是表示两个不同函数相似性参数，可证明 R₁₂(τ) = R₂₁(–τ)。

若 f₁(t) = f₂(t) = f(t)，则得自相关函数，显然 R(–τ) = R(τ)，为偶函数。

第8页：相关与卷积的关系

2. 相关与卷积的关系

R₁₂(t) = f₁(t) * f₂(–t)，R₂₁(t) = f₁(–t) * f₂(t)。

可见，若f₁(t)和f₂(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。

第9页：相关函数的图解

3. 相关函数的图解

本页图示相关函数的图解过程（0 < t₁ < 2）。