11 §2.4 LTI离散系统的响应.pptx

第1页：LTI离散系统的响应

§2.4 LTI离散系统的响应

第三章 离散系统的时域分析：注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。

• 差分与差分方程
• 差分方程的经典解
• 零输入响应和零状态响应

第2页：差分运算

一、差分与差分方程

设有序列f(k)，则…、f(k+2)、f(k+1)、…、f(k-1)、f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照微分运算定义离散信号的差分运算。

1. 差分运算：离散信号的变化率有两种表示形式。

第3页：差分的定义

定义差分

• （1）一阶前向差分定义：Δf(k) = f(k+1) – f(k)
• （2）一阶后向差分定义：∇f(k) = f(k) – f(k–1)，本书主要用后向差分，简称为差分
• （3）差分的线性性质：∇[a f₁(k) + b f₂(k)] = a∇f₁(k) + b∇f₂(k)
• （4）二阶差分定义：∇²f(k) = f(k) – 2f(k-1) + f(k-2)
• （5）m阶差分：∇^mf(k) = f(k) + b₁f(k-1) + … + b_mf(k-m)

第4页：差分方程

2. 差分方程

包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + a_n-1y(k-1) + … + a₀y(k-n) = b_mf(k) + … + b₀f(k-m)。

差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解，一般不易得到解析形式的（闭合）解。

第5页：差分方程的经典解

二、差分方程的经典解

1. 齐次解：与微分方程经典解类似，y(k) = y_h(k) + y_p(k)。

齐次方程 y(k) + a_n-1y(k-1) + … + a₀y(k-n) = 0；特征方程 λⁿ + a_n-1λ^n-1 + … + a₀ = 0，其根λ_i（i = 1，2，…，n）称为差分方程的特征根。

第6页：齐次解的两种情况

根据特征根，齐次解的两种情况

• 1. 特征根为单根时的齐次解形式
• 2. 有重根：特征根λ为r重根时的齐次解形式

第7页：特解

2. 特解 y_p(k)

特解的形式与激励的形式类似，由激励f(k)确定响应y(k)的特解y_p(k)后代入原方程定出系数。

第8页：零输入响应和零状态响应

三、零输入响应和零状态响应

• 1. 零输入响应：输入为零，差分方程为齐次，C由初始状态定（相当于0-的条件）
• 2. 零状态响应：初始状态为0，求解方法可用经典法（齐次解+特解）或卷积法

y(k) = y_zi(k) + y_zs(k)