23 第4章 连续时间系统的复频域分析 §4.1 拉普拉斯变换.pptx

第1页：第4章 连续系统的s域分析

第4章 连续系统的s域分析

频域分析以虚指数信号 e^jωt 为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化，物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如 e^2tε(t)；（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。

在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率 s = σ + jω，以复指数函数 e^st 为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。

第2页：§4.1 拉普拉斯变换

§4.1 拉普拉斯变换

• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
• 收敛域
• （单边）拉普拉斯变换
• 常见函数的拉普拉斯变换
• 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系

第3页：从傅里叶变换到拉普拉斯变换

一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子 e^–σt（σ为实常数）乘信号f(t)，适当选取σ的值，使乘积信号 f(t)e^–σt 当 t → ∞ 时信号幅度趋近于0，从而使 f(t)e^–σt 的傅里叶变换存在。

相应的傅里叶逆变换为……令 s = σ + jω，dω = ds/j，有……

第4页：双边拉普拉斯变换对

定义：F_b(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为F_b(s)的双边拉氏逆变换（或原函数），记为双边拉普拉斯变换对。

第5页：二、收敛域

二、收敛域

只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为F_b(s)的收敛域。下面举例说明F_b(s)收敛域的问题。

第6页：例1 因果信号的拉氏变换

例1 因果信号 f₁(t) = e^αtε(t)，求拉氏变换。

解：……可见，对于因果信号，仅当 Re[s] = σ > α 时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示（图中标示收敛边界）。

第7页：例2 反因果信号的拉氏变换

例2 反因果信号 f₂(t) = e^βtε(–t)，求拉氏变换。

解：……可见，对于反因果信号，仅当 Re[s] = σ < β 时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。

第8页：例3 双边信号的拉氏变换

例3 双边信号 f(t) = f₁(t) + f₂(t)，求其拉普拉斯变换。

解：其双边拉普拉斯变换 F_b(s) = F_b1(s) + F_b2(s)，仅当 β > α 时，其收敛域为 α < Re[s] < β 的一个带状区域，如图所示。

第9页：例4 象函数相同但收敛域不同

例4 求下列信号的双边拉普拉斯变换。

• f₁(t) = e^–3tε(t) + e^–2tε(t)，Re[s] = σ > –2
• f₂(t) = –e^–3tε(–t) – e^–2tε(–t)，Re[s] = σ < –3
• f₃(t) = e^–3tε(t) – e^–2tε(–t)，–3 < σ < –2

可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。

第10页：单边拉氏变换

通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t < 0 时，f(t) = 0。从而拉氏变换式写为……称为单边拉氏变换，简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s] > α，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。

第11页：单边拉氏变换的记号

三、单边拉氏变换

简记为 F(s) = L[f(t)]，f(t) = L^–1[F(s)]，或 f(t) ←→ F(s)。

第12页：常见函数的拉普拉斯变换

四、常见函数的拉普拉斯变换

• 1. δ(t) ←→ 1，σ > –∞
• 2. ε(t) 或 1 ←→ 1/s，σ > 0
• 3. 指数函数 e^–s₀t ←→ ……，σ > –Re[s₀]；cosω₀t = (e^jω₀t + e^–jω₀t)/2 ←→ ……；sinω₀t = (e^jω₀t – e^–jω₀t)/2j ←→ ……

第13页：周期信号的拉普拉斯变换

4. 周期信号

f_T(t) ←→ ……，特例：δ_T(t) ←→ 1/(1 – e^–sT)。

第14页：单边拉氏变换与傅里叶变换的关系（一）

五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系

要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标σ₀的值可分为以下三种情况：

（1）σ₀ < 0，即F(s)的收敛域包含 jω 轴，则f(t)的傅里叶变换存在，并且 F(jω) = F(s)|_s=jω。如 f(t) = e^–2tε(t) ←→ F(s) = 1/(s+2)，σ > –2；则 F(jω) = 1/(jω+2)。

第15页：单边拉氏变换与傅里叶变换的关系（二）

（2）σ₀ = 0，即F(s)的收敛边界为 jω 轴，如 f(t) = ε(t) ←→ F(s) = 1/s，对应 F(jω) = πδ(ω) + 1/(jω)。

（3）σ₀ > 0，F(jω)不存在。例 f(t) = e^2tε(t) ←→ F(s) = 1/(s–2)，σ > 2；其傅里叶变换不存在。