29 §5.3 系统的稳定性和因果性.pptx

第1页：稳定系统的定义

§5.3 系统的稳定性和因果性

一、稳定系统的定义：一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出（Bound Input Bound Output——BIBO）稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励 |f(·)| ≤ M_f，其零状态响应 |y_zs(·)| ≤ M_y（M为有限常数），则称该系统稳定。

第2页：连续系统稳定的充分必要条件

连续系统稳定的充分必要条件

• 时域：……
• S域：若 H(s) 的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。对于因果系统，若 H(s) 的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。

第3页：二、罗斯-霍尔维兹准则：必要条件

二、连续因果系统稳定性判断准则——罗斯-霍尔维兹准则

对因果系统，只要判断 H(s) 的极点，即 A(s) = 0 的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。

1、必要条件——简单方法：实系数多项式 A(s) = a_nsⁿ + … + a₀ = 0 的所有根位于左半开平面的必要条件是：

• （1）所有系数都必须非 0，即不缺项；
• （2）系数的符号相同。

例1：A(s) = s³ + 4s² – 3s + 2，符号相异，不稳定；例2：A(s) = 3s³ + s² + 2，a₁ = 0，不稳定；例3：A(s) = 3s³ + s² + 2s + 8，需进一步判断，非充分条件。

第4页：2、罗斯列表

2、罗斯列表：将多项式 A(s) 的系数排列为如下阵列——罗斯阵列：第1行 a_n a_n–2 a_n–4 …；第2行 a_n–1 a_n–3 a_n–5 …；第3行 c_n–1 c_n–3 c_n–5 …，它由第1、2行按下列规则计算得到；第4行由2、3行同样方法得到，一直排到第 n+1 行。

罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则 A(s) = 0 所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。

第5页：举例 例1 四阶多项式的罗斯阵列

例1：A(s) = 2s⁴ + s³ + 12s² + 8s + 2，罗斯阵列：

2　12　2
1　8　　0
28.5　0
2

第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。

注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。

第6页：例2 由稳定性确定参数k的范围

例2：已知某因果系统函数，为使系统稳定，k 应满足什么条件？

解：列罗斯阵列 1　3　3；1　(1+k)；(8–k)/3　1+k；所以 –1 < k < 8 时系统稳定。

特例：对于二阶系统 A(s) = a₂s² + a₁s + a₀，若 a₂ > 0，不难得出，A(s) 为霍尔维兹多项式的条件为 a₁ > 0，a₀ > 0。

第7页：离散系统的朱里准则

离散系统的稳定性判断——朱里准则

第3行按下列规则计算……一直到第 2n–3 行，该行有3个元素。朱里准则指出：A(z) = 0 的所有根都在单位圆内的充分必要条件是：

• (1) A(1) > 0
• (2) (–1)ⁿA(–1) > 0
• (3) a_n > |a₀|，c_n–1 > |c₀|，d_n–2 > |d₀| …… r₂ > |r₀|

即，奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：对二阶系统 A(z) = a₂z² + a₁z + a₀，易得 A(1) > 0，A(–1) > 0，a₂ > |a₀|。