页数：16页文件大小：416.8 KB来源： 信号与系统ppt课件
本课件归纳单边拉普拉斯变换的十组性质：线性、尺度变换、时移、复频移、时域微分与积分、卷积定理、s域微分积分以及初值定理与终值定理。每组性质均给出表达式与证明思路，并配以延时信号、因果信号求导、由框图列方程等典型例题。
§4.2 拉普拉斯变换的性质
一、线性性质
若 f1(t) ←→ F1(s)，Re[s] > σ1，f2(t) ←→ F2(s)，Re[s] > σ2，则 a1f1(t) + a2f2(t) ←→ a1F1(s) + a2F2(s)，Re[s] > max(σ1, σ2)。
例1：f(t) = δ(t) + ε(t) ←→ 1 + 1/s，σ > 0。
二、尺度变换
若 f(t) ←→ F(s)，Re[s] > σ0，且有实数 a > 0，则 f(at) ←→ (1/a)F(s/a)。
证明：……
三、时移特性
若 f(t) ←→ F(s)，Re[s] > σ0，且有实常数 t0 > 0，则 f(t – t0)ε(t – t0) ←→ e–s t0F(s)，Re[s] > σ0。
与尺度变换相结合：f(at – t0)ε(at – t0) ←→ ……
例1：求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t) = ε(t) – ε(t–1)，f2(t) = ε(t+1) – ε(t–1)，F1(s) = ……，F2(s) = F1(s) + F1(–s) = ……
例2：已知 f1(t) ←→ F1(s)，求 f2(t) ←→ F2(s)。
解：f2(t) = f1(0.5t) – f1[0.5(t–2)]，f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)，f1[0.5(t–2)] ←→ 2F1(2s)e–2s，f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 – e–2s)。
例3：求 f(t) = e–2(t–1)ε(t) ←→ F(s) = ……
四、复频移（s域平移）特性
若 f(t) ←→ F(s)，Re[s] > σ0，且有复常数 sa = σa + jωa，则 f(t)esat ←→ F(s – sa)，Re[s] > σ0 + σa。
例1：已知因果信号f(t)的象函数F(s) = ……，求 e–tf(3t–2) 的象函数。解：e–tf(3t–2) ←→ ……
例2：f(t) = cos(2t – π/4) ←→ F(s) = ? 解：cos(2t – π/4) = cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin(π/4)。
五、时域的微分特性（微分定理）
若 f(t) ←→ F(s)，Re[s] > σ0，则 f′(t) ←→ sF(s) – f(0–)。
推广：f(n)(t) ←→ snF(s) – sn–1f(0–) – … – f(n–1)(0–)。
证明：……
举例：若f(t)为因果信号，则 f(n)(t) ←→ snF(s)。
六、时域积分特性（积分定理）
若 f(t) ←→ F(s)，Re[s] > σ0，则 ∫–∞t f(τ)dτ ←→ F(s)/s + f(–1)(0–)/s。
证明：①…… ②……
例1：t2ε(t) ←→ ?
本页为积分定理应用例题，源文件部分公式以图片形式给出。
例2：已知因果信号f(t)如图，求F(s)。
解：对f(t)求导得f′(t)，如图。由于f(t)为因果信号，故 f(0–) = 0。
f′(t) = ε(t) – ε(t–2) – 2δ(t–2) ←→ F1(s)
结论：若f(t)为因果信号，已知 f(n)(t) ←→ Fn(s)，则 f(t) ←→ Fn(s)/sn。
七、卷积定理
时域卷积定理：若因果函数 f1(t) ←→ F1(s)，Re[s] > σ1，f2(t) ←→ F2(s)，Re[s] > σ2，则 f1(t) * f2(t) ←→ F1(s)F2(s)。
复频域（s域）卷积定理：……
八、s域微分和积分
若 f(t) ←→ F(s)，Re[s] > σ0，则 (–t)nf(t) ←→ dnF(s)/dsn，f(t)/t ←→ ∫s∞ F(η)dη。
例1：t2e–2tε(t) ←→ ? 由 e–2tε(t) ←→ 1/(s+2)，得 t2e–2tε(t) ←→ ……
例2：…… 例3：……
本页为s域微分与积分性质的应用例题，源文件公式以图片形式给出。
九、初值定理和终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求 f(0+) 和 f(∞)，而不必求出原函数f(t)。
举例：例1：…… 例2：……
本页为初值定理与终值定理的应用例题，源文件公式以图片形式给出。
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