03 §1.3 阶跃函数和冲激函数.pptx

第1页：§1.3 阶跃函数和冲激函数

§1.3 基本连续时间信号及其时域特性——阶跃函数和冲激函数

函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。阶跃函数、冲激函数是两个典型的奇异函数，另有阶跃序列和单位样值序列。

第2页：单位阶跃函数定义

一、单位阶跃函数

下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数：选定一个函数序列γn(t)如图所示。

1. 定义

第3页：延迟单位阶跃信号

2. 延迟单位阶跃信号

本页图示延迟单位阶跃信号ε(t-t0)的波形，说明阶跃跳变时刻沿时间轴右移t0。

第4页：阶跃函数的性质

3. 阶跃函数的性质

• （1）可以方便地表示某些信号，如 f(t) = 2ε(t) - 3ε(t-1) + ε(t-2)。
• （2）用阶跃函数表示信号的作用区间。
• （3）积分：阶跃函数的积分关系。

第5页：单位冲激函数

二、单位冲激函数

单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短一种物理量的理想化模型。本节讨论：

• 狄拉克(Dirac)定义
• 函数序列定义δ(t)
• 冲激函数与阶跃函数关系
• 冲激函数的性质

第6页：狄拉克(Dirac)定义

1. 狄拉克(Dirac)定义

• 函数值只在t = 0时不为零。
• 积分面积为1。
• t = 0时为无界函数。

第7页：函数序列定义δ(t)

2. 函数序列定义δ(t)

对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)：高度无穷大、宽度无穷小、面积为1的对称窄脉冲。

第8页：δ(t)与ε(t)的关系

3. δ(t)与ε(t)的关系

由函数序列求导并在n→∞取极限可知：阶跃函数求导得到冲激函数，冲激函数积分得到阶跃函数。

第9页：间断点求导示例

引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。

f(t) = 2ε(t+1) - 2ε(t-1)，求导得 f′(t) = 2δ(t+1) - 2δ(t-1)。

第10页：冲激函数的性质

三、冲激函数的性质

• 取样性
• 冲激偶
• 尺度变换
• 复合函数形式的冲激函数

第11页：取样性（筛选性）

1. 取样性（筛选性）

对于平移情况：如果f(t)在t = 0处连续且处处有界，则冲激函数与f(t)相乘的积分等于f(0)，并给出证明与举例。

第12页：冲激偶

2. 冲激偶

本页图示冲激偶的波形，说明其由冲激函数求导得到，τ↓表示脉宽趋于零的极限过程。

第13页：冲激偶的性质

冲激偶的性质

• ① 冲激偶的定义及其平移（含证明）
• ② 第二条性质的证明
• ③ 应用举例

第14页：δ(t)的尺度变换

3. 对δ(t)的尺度变换

推论：

• （1）δ(2t) = 0.5δ(t)
• （2）当a = –1时，δ(–t) = δ(t)，即δ(t)为偶函数；冲激偶为奇函数。

第15页：尺度变换作图举例

举例：已知f(t)，画出g(t)和g(2t)。先求导得g(t)，再压缩得g(2t)。

第16页：复合函数形式的冲激函数

4. 复合函数形式的冲激函数

实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数，并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti (i = 1，2，…，n)。

例：f(t) = t²–4，有 ε(t²–4) = 1 – ε(t+2) + ε(t–2)。

第17页：复合冲激的一般结论

一般地，δ[f(t)]是位于各ti处、强度为1/|f′(ti)|的n个冲激函数构成的冲激函数序列。

注意：如果f(t) = 0有重根，δ[f(t)]无意义。

第18页：冲激函数性质总结

冲激函数的性质总结

• （1）取样性
• （2）奇偶性
• （3）比例性
• （4）微积分性质
• （5）冲激偶

第19页：单位样值序列δ(k)

四、序列δ(k)和ε(k)：这两个序列是普通序列。

1. 单位（样值）序列δ(k)

• 取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
• f(k)δ(k–k0) = f(k0)δ(k–k0)

并给出相应算例。

第20页：单位阶跃序列ε(k)

2. 单位阶跃序列ε(k)

ε(k)与δ(k)的关系：

• δ(k) = ε(k) – ε(k–1)
• 或 ε(k) = δ(k) + δ(k–1) + …

并给出定义式与图示。