26 §4.4 复频域分析.pptx

第1页：§4.4 复频域分析：微分方程的变换解

§4.4 复频域分析

描述n阶系统的微分方程的一般形式为……，系统的初始状态为 y(0_–)、y⁽¹⁾(0_–)、…、y^(n–1)(0_–)。

思路：用拉普拉斯变换微分特性。若 f(t) 在 t = 0 时接入系统，则 f^(j)(t) ←→ s^jF(s)。

第2页：s域方程与全响应分解

对微分方程取拉氏变换后可得 s 域的代数方程，y(t)、y_zi(t)、y_zs(t) 分别由对应项求得。

第3页：例1 二阶系统的全响应

例1：描述某LTI系统的微分方程为 y″(t) + 5y′(t) + 6y(t) = 2f′(t) + 6f(t)，已知初始状态 y(0_–) = 1，y′(0_–) = –1，激励 f(t) = 5cos t ε(t)，求系统的全响应 y(t)。

解：方程取拉氏变换，并整理得 Y_zi(s)、Y_zs(s)。

第4页：全响应中的暂态与稳态分量

y(t) = 2e^–2tε(t) – e^–3tε(t)；其中 y_zi(t)、y_zs(t) 按产生原因划分，暂态分量 y_t(t) 与稳态分量 y_s(t) 按是否随时间衰减划分。若已知 y(0₊) = 1，y′(0₊) = 9，也可由此定系数。

第5页：二、系统函数H(s)

二、系统函数

系统函数 H(s) 定义为……，它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。

• y_zs(t) = h(t) * f(t)
• H(s) = L[h(t)]
• Y_zs(s) = L[h(t)]F(s)

第6页：例2 由零状态响应求冲激响应与微分方程

例2：已知当输入 f(t) = e^–tε(t) 时，某LTI因果系统的零状态响应 y_zs(t) = (3e^–t – 4e^–2t + e^–3t)ε(t)，求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。

解：h(t) = (4e^–2t – 2e^–3t)ε(t)，微分方程为 y″(t) + 5y′(t) + 6y(t) = 2f′(t) + 8f(t)。

第7页：三、系统的s域框图

三、系统的s域框图

时域框图基本单元与s域（零状态）框图基本单元对照：数乘器 a：Y(s) = aF(s)；积分器：Y(s) = s^–1F(s)；加法器：Y(s) = F₁(s) + F₂(s)。

第8页：例3 由s域框图列微分方程

例3：如图框图，列出其微分方程。

解：画出s域框图，设左边加法器输出为 X(s)，则 X(s) = F(s) – 3s^–1X(s) – 2s^–2X(s)，Y(s) = X(s) + 4s^–2X(s)，微分方程为 y″(t) + 3y′(t) + 2y(t) = f″(t) + 4f(t)。

第9页：四、用拉氏变换法分析电路的步骤

四、用拉氏变换法分析电路的步骤

1. 列s域方程（可从两方面入手）：列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；或直接按电路的s域模型建立代数方程。
2. 求解s域方程，得到时域解答。

第10页：五、电路的s域模型：电阻元件

五、电路的s域模型

对时域电路取拉氏变换。1、电阻元件的s域模型：u(t) = Ri(t) → U(s) = RI(s)。

第11页：电感元件的s域模型

2、电感元件的s域模型：U(s) = sLI_L(s) – Li_L(0_–)，串联形式中保留初始电流引起的附加电压源。

第12页：电容元件的s域模型

3、电容元件的s域模型：I(s) = sCU_C(s) – Cu_C(0_–)，并联形式中保留初始电压引起的附加电流源。

第13页：用s域模型求响应的步骤

4、KCL、KVL方程，求响应的步骤：

• 画 0_– 等效电路，求初始状态；
• 画 s 域等效模型；
• 列 s 域方程（代数方程）；
• 解 s 域方程，求出响应的拉氏变换 U(s) 或 I(s)；
• 拉氏反变换求 u(t) 或 i(t)。

第14页：例1 开关闭合后的电流求解

例1：如图电路，初始状态为0，t = 0 时开关S闭合，求电流 i(t)。

本页为s域电路例题的求解过程，源文件部分公式以图片形式给出。

第15页：例1 求解（续）

本页承接上页例题给出 s 域方程求解与反变换结果，源文件公式以图片形式给出，建议对照原课件图片查看。

第16页：例2 含初始储能电路的响应

例2：如图所示电路，已知 u_S(t) = ε(t) V，i_S(t) = δ(t)，起始状态 u_C(0_–) = 1 V，i_L(0_–) = 2 A，求电压 u(t)。

解：画出电路的s域模型，U_s(s) = 1/s，I_s(s) = 1，得 u(t) = e^–tε(t) – 3te^–tε(t) V。