32 §6.2 连续系统状态方程的建立.pptx

第1页：§6.2 由电路图直接建立状态方程

§6.2 连续系统状态方程的建立

一、由电路图直接建立状态方程

首先选择状态变量。通常选电容电压和电感电流为状态变量。必须保证所选状态变量为独立的电容电压和独立的电感电流。

本页另给出四种非独立电路结构的图示说明。

第2页：状态方程的建立思路

状态方程的建立：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。为使方程中含有状态变量 u_C 的一阶导数，可对接有该电容的独立结点列写 KCL 电流方程；为使方程中含有状态变量 i_L 的一阶导数，可对含有该电感的独立回路列写 KVL 电压方程。对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消去其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。

第3页：由电路图列写状态方程和输出方程的步骤

由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：

1. （1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
2. （2）对接有所选电容的独立结点列出 KCL 电流方程，对含有所选电感的独立回路列写 KVL 电压方程；
3. （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的 KCL、KVL 方程将它们消去，然后整理给出标准的状态方程形式；
4. （4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。

第4页：例 以uR1和iR2为输出列状态方程

例：电路如图，以电阻 R₁ 上的电压 u_R1 和电阻 R₂ 上的电流 i_R2 为输出，列写电路的状态方程和输出方程。

解：选状态变量 x₁(t) = i_L(t)，x₂(t) = u_C(t)，有 L i_L(t) + R₁x₁(t) + x₂(t) = u_S1(t)，C u_C(t) + i_R2(t) = x₁(t)；消去 i_R2(t)，列右网孔 KVL 方程：R₂i_R2(t) + u_S2(t) – x₂(t) = 0，代入整理得状态方程；输出方程：u_R1(t) = R₁x₁(t)。

第5页：二、由输入-输出方程建立状态方程

二、由输入-输出方程建立状态方程

这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述（输入-输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图等），如何写出其状态方程及输出方程。具体方法：

1. （1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图；
2. （2）选一阶子系统（积分器）的输出作为状态变量；
3. （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；
4. （4）在系统的输出端列输出方程。

第6页：例1 方法一：直接形式的信号流图

例1：某系统的微分方程为 y″(t) + 3y′(t) + 2y(t) = 2f′(t) + 8f(t)，试求该系统的状态方程和输出方程。

解：由微分方程不难写出其系统函数。方法一：画出直接形式的信号流图，设状态变量 x₁(t)、x₂(t)，由后一个积分器与前一个积分器分别列出关系，系统输出端有 y(t) = 8x₁ + 2x₂。

第7页：例1 方法二：串联形式的信号流图

方法二：画出串联形式的信号流图，设状态变量 x₁(t)、x₂(t)，设中间变量 y₁(t)，列出状态方程，系统输出端有 y(t) = 2x₂。

第8页：例1 方法三：并联形式的信号流图

方法三：画出并联形式的信号流图，设状态变量 x₁(t)、x₂(t)，列出状态方程，系统输出端有 y(t) = 6x₁ – 4x₂。

可见 H(s) 相同的系统，状态变量的选择并不唯一。

第9页：例2 由系统框图列状态方程

例2：某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。

解：对三个一阶系统分别列方程，其中 y₂ = f – x₃；输出方程：y₁(t) = x₂，y₂(t) = –x₃ + f。

第10页：例3解法一：求导消元

三、由状态方程列输入-输出方程

例3：已知某系统的动态方程如下，列出描述 y(t) 与 f(t) 之间的微分方程。

解法一：由输出方程得 y(t) = x₁(t)，y′(t) = x₁′(t) = –4x₁(t) + x₂(t) + f(t)，y″(t) = –4x₁′(t) + x₂′(t) + f′(t) = 13x₁(t) – 4x₂(t) – 3f(t) + f′(t)；与 y″ + a y′ + b y 比较系数得 a = 4，b = 3，故 y″ + 4y′ + 3y = f′(t) + f(t)。

第11页：例3 解法二 取拉氏变换

解法二：对方程取拉氏变换，零状态。

本页为拉氏变换解法的过程推导，源文件部分公式以图片形式给出。

第12页：例3 结果

y″ + 4y′ + 3y = f′(t) + f(t)

与解法一所得结果一致。