页数：19页文件大小：466.2 KB来源： 信号与系统ppt课件
本课件讲解周期信号的傅里叶级数：先给出三角形式展开式与直流、基波、各次谐波的含义并以周期方波为例展开，再讨论偶函数、奇函数、奇谐与偶谐四类波形对称性对谐波成分的影响，随后由三角形式推出指数形式与复傅里叶系数，最后用平均功率说明帕斯瓦尔定理。
§3.2 周期信号的傅里叶级数
由3.1节可知，周期信号在区间可以展开成在完备正交函数空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么周期信号所展开成的无穷级数就分别称为「三角形式的傅里叶级数」或「指数形式的傅里叶级数」，统称为傅里叶级数。
一、三角形式的傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率Ω = 2π/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数。系数an、bn称为傅里叶系数，可见an是n的偶函数，bn是n的奇函数。
式中 A0 = a0，上式表明周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量；A1cos(Ωt+φ1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同；A2cos(2Ωt+φ2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nΩt+φn)称为n次谐波。
可见：An是n的偶函数，φn是n的奇函数，an = Ancosφn，bn = –Ansinφn。将上式同频率项合并，可写为另一种形式。
例：将图示周期方波信号展开为傅里叶级数。
解：由图可知，该周期信号的周期为T，角频率为Ω = 2π/T。
本页为方波信号傅里叶系数求解的公式推导，源文件以图片形式给出，建议对照原课件图片查看。
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由此可得，该周期方波的傅里叶级数展开式为……，可知它只含一、三、五、…奇次谐波分量。
二、波形的对称性与谐波特性
例：将图(a)所示周期信号展开为三角形式的傅里叶级数。
解：由图(a)可以看出为偶谐函数，因此它的傅里叶级数中只包含直流分量与偶次谐波分量。并且从图(a)易观察发现，若将沿纵坐标轴向下平移（即从中去掉直流分量）后，便成为图(b)中的信号，很显然它是奇函数，其傅里叶级数中只包含正弦分量。综合以上分析可知，该信号的傅里叶级数中只含有直流分量和偶次正弦分量。
本页承接上例给出各项傅里叶系数的计算过程，源文件公式以图片形式给出，建议对照原课件图片查看。
故三角形式的傅里叶级数展开式为……
本页含完整展开式，源文件部分公式以图片形式给出，建议对照原课件图片查看。
三、指数形式的傅里叶级数
若周期信号（周期为T，角频率Ω）满足狄里赫利条件，则它也可以展开成指数形式的傅里叶级数。指数形式的傅里叶级数可由三角形式的傅里叶级数推出，根据欧拉公式……
将上式中第三项用–n代换，并考虑到an、bn的奇偶性，则上式可写为……如将上式中的项写成（其中…），则上式可写为……令复数量Fn，称其为复傅里叶系数，简称为傅里叶系数，则可得傅里叶级数的指数形式为……
令复数量……，上式中傅里叶系数为……
本页含傅里叶系数表达式，源文件部分公式以图片形式给出。
傅里叶系数之间关系
四、周期信号的平均功率
周期信号一般是功率信号，其平均功率定义为它在1Ω电阻上消耗的平均功率。将三角形式的傅里叶级数展开式代入上式，展开式中具有余弦项和正弦形式的项在一个周期内的积分都等于零；同频项当n ≠ m时其积分为零，当n = m时其积分值为……
这表明，周期信号的平均功率等于其所分解出的直流分量功率与各次谐波功率之和。这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。因此，根据各种形式的傅里叶系数之间的关系，上式又可改写为……
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