页数：27页文件大小：918.4 KB来源： 信号与系统ppt课件
本课件系统归纳傅里叶变换的十组性质：线性、奇偶虚实性、对称性、尺度变换、时移与频移特性、卷积定理、时域与频域的微分积分性质以及相关定理。每条性质均给出表达式并配合证明或例题，配套例题涵盖取样函数频谱、三脉冲信号频谱与积分求值等典型题型。
§3.5 傅里叶变换的性质
一、线性性质
若 f1(t) ←→ F1(jω)，f2(t) ←→ F2(jω)，则 [a f1(t) + b f2(t)] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω)]。
例：（解答见本页推导）
二、奇偶虚实性
若 f(t) ←→ F(jω) = |F(jω)|ejφ(ω) = R(ω) + jX(ω)，则有
证明：设f(t)是实函数，显然……由于……所以……
本页为公式推导，源文件以图片形式给出，建议对照原课件图片查看完整推导。
三、对称性
若 f(t) ←→ F(jω)，则有 F(jt) ←→ 2πf(–ω)。
证明：（1）式中 t → ω，ω → t；（2）式中 ω → –ω 即得。
例1 求取样函数的频谱函数。
解：由矩形脉冲信号的傅里叶变换……显然，对于……利用对称性得……幅度为1的矩形脉冲信号有……
例2 求函数的频谱函数。
解：由于……，当……时有……，由对称性得……，又由线性性质得……
四、尺度变换特性
若 f(t) ←→ F(jω)，则 f(at) ←→ (1/|a|)F(jω/a)，其中a为非零实常数。当 a = –1 时，有 f(–t) ←→ F(–jω)。
证明：F[f(a t)] = ……，若 a > 0，F[f(a t)] = ……
若 a < 0，F[f(a t)] = ……，所以 f(at) ←→ ……
例 求函数的频谱函数。
解：由于……，由对称性得……，又由尺度变换特性得……
五、时移特性
若 f(t) ←→ F(jω)，则 f(t – t0) ←→ F(jω)e–jωt0，其中t0为实常数。
证明：F[f(t–t0)] = ……
例 求如图所示三脉冲信号的频谱。
解：令 f1(t) 表示矩形单脉冲信号，其频谱函数为……因为……由时移特性知的频谱函数为……其频谱函数……
频谱图：本页图示三脉冲信号的频谱。
六、频移性质
若 f(t) ←→ F(jω)，则 ejω0tf(t) ←→ F[j(ω – ω0)]，其中ω0为实常数。
证明：F[ejω0tf(t)] = ……
七、卷积性质
证明（时域卷积，频域卷积可类似推导）：根据卷积积分的定义，其傅里叶变换为……由时移特性得……由此得……
例 求函数的频谱函数。
解：由于矩形脉冲信号与其频谱的对应关系为……可知……由对称性得……由线性性质得……
由频域卷积定理得……
本页为公式推导，源文件以图片形式给出。
本页为频域卷积定理相关的公式推导，源文件未提取到文字、以图片形式给出，建议对照原课件图片补充。
八、时域的微分和积分
若 f(t) ←→ F(jω)，则 f(n)(t) ←→ (jω)nF(jω)，f(–1)(t) ←→ F(jω)/(jω) + πF(0)δ(ω)。
证明：f(n)(t) = δ(n)(t) * f(t) ←→ (jω)nF(jω)；f(–1)(t) = ε(t) * f(t) ←→ ……
例 求……的频谱函数。
解：由于……由对称性得……由线性性质得……由时域微分性质得……由线性性质得……
九、频域的微分和积分
若 f(t) ←→ F(jω)，则 (–jt)nf(t) ←→ F(n)(jω)。
频域微分定理和频域积分定理可用频域卷积定理证明，方法与时域类似。
例 求积分。
解：由于……故根据傅里叶反变换定义式得……当……时有……因此根据傅里叶反变换定义式得……
为比较某信号与另一延时的信号之间的相似程度，需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别、通信同步信号的识别等领域。相关函数也称相关积分，它与卷积的运算方法类似。
十、相关定理
实函数 f1(t) 和 f2(t) 之间的互相关函数定义为……可见，互相关函数是两信号之间时间差的函数。
根据互相关函数的定义，不难看出互相关函数和卷积积分的关系为……；如果 f1(t) 与 f2(t) 是同一信号，即 f1(t) = f2(t) = f(t)，这时无需区分，用R(τ)表示，称为自相关函数，易知……可见，实函数的自相关函数是偶函数。
若 f1(t) ←→ F1(jω)，f2(t) ←→ F2(jω)，f(t) ←→ F(jω)，则有相关定理……
证明：……
相关定理（续）：显然，当……有……故……同理可得……
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