13 §2.6 卷积和.pptx

第1页：序列卷积和

§2.6 序列卷积和

• 卷积和
• 卷积和图解法
• 不进位乘法求卷积
• 卷积和的性质

第2页：序列的时域分解

一、卷积和

1. 序列的时域分解：任意序列f(k)可表示为

f(k) = … + f(-1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1) + f(2)δ(k-2) + … + f(i)δ(k–i) + …

第3页：任意序列作用下的零状态响应

2. 任意序列作用下的零状态响应 y_zs(k)

根据h(k)的定义：δ(k) → h(k)；由时不变性：δ(k-i) → h(k-i)；由齐次性：f(i)δ(k-i) → f(i)h(k-i)；由叠加性得 y_zs(k)，即卷积和。

第4页：卷积和的定义

3. 卷积和的定义

已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f₁(k)和f₂(k)，则定义和 f(k) = Σf₁(i)f₂(k–i) 为f₁(k)与f₂(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k) = f₁(k) * f₂(k)。

注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k为参变量，结果仍为k的函数。

第5页：卷积和的图解法

二、卷积的图解法

卷积过程可分解为四步：

• （1）换元：k换为i，得f₁(i)，f₂(i)
• （2）反转平移：由f₂(i)反转→f₂(–i)，右移k→f₂(k–i)
• （3）乘积：f₁(i)f₂(k–i)
• （4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和

注意：k为参变量。

第6页：不进位乘法求卷积

三、不进位乘法求卷积

f(k)等于所有两序列序号之和为k的那些样本乘积之和。如k = 2时

f(2) = … + f₁(-1)f₂(3) + f₁(0)f₂(2) + f₁(1)f₂(1) + f₁(2)f₂(0) + …

第7页：不进位乘法示例

不进位乘法

例：f₁(k) = {0，f₁(1)，f₁(2)，f₁(3)，0}，f₂(k) = {0，f₂(0)，f₂(1)，0}。

排成乘法逐项相乘后按位相加，得

f(k) = { 0，f₁(1)f₂(0)，f₁(1)f₂(1) + f₁(2)f₂(0)，f₁(2)f₂(1) + f₁(3)f₂(0)，f₁(3)f₂(1)，0 }

第8页：不进位乘法的适用范围

不进位乘法适用有限长序列卷积

本页举例说明有限长序列卷积时使用不进位乘法的写法，并讨论 y_zs(k)的元素个数。

第9页：卷积和的性质

四、卷积和的性质

• 1. 满足乘法的三律：（1）交换律，（2）分配律，（3）结合律
• 2. f(k) * δ(k) = f(k)，f(k) * δ(k–k₀) = f(k–k₀)
• 3. f(k) * ε(k)
• 4. f₁(k–k₁) * f₂(k–k₂) = f₁(k–k₁–k₂) * f₂(k)
• 5. ∇[f₁(k) * f₂(k)] = ∇f₁(k) * f₂(k) = f₁(k) * ∇f₂(k)