14 第十四章 连续时间信号的傅里叶变换.pptx

第1页：第14章 连续时间信号的傅里叶变换

第14章连续时间信号的傅里叶变换——傅里叶级数(FS)设有一周期函数f(t)，周期为T1，满足狄义赫利条件：(1)同一个周期T1内间断点的个数有限；(2)同一个周期T1内极大值和极小值的数目有限；(3)同一个周期T1内信号绝对可积∫01t+Tt0f(t)dt<∞

第2页：三角形式的傅里叶级数

12∫010t0+T1tf(t)dtTa=1Ttn∫f(t)cosnωtdt,n∈Na=2t0+T1011Ttn∫f(t)sinnωtdt,n∈Nb=2t0+T1011∞f(t)=c0+cncos(nω1t+ψn)n=1∞f(t)=d0+dnsin(nω1t+θn)n=1c0=d0=a0c2=d2=a2+b2nnanψ=−arctanban，bn——傅里叶级数系数（奇偶函数情况）——傅里叶级数(FS)三角形式的傅里叶级数(FS)∞f(t)=a0+(ancosnω1t+bnsinnω1t)n=1nnnnnnnbaθ=arctan

第3页：三角形式傅里叶级数（重）

1∫010t0+T1tf(t)dtTa=1Ttn∫f(t)cosnωtdt,n∈Na=2t0+T1011Ttn∫f(t)sinnωtdt,n∈Nb=2t0+T1011∞f(t)=c0+cncos(nω1t+ψn)n=1∞f(t)=d0+dnsin(nω1t+θn)n=1c0=d0=a0c2=d2=a2+b2nnanψ=−arctanban，bn——傅里叶级数系数（奇偶函数情况）——傅里叶级数(FS)三角形式的傅里叶级数(FS)∞f(t)=a0+(ancosnω1t+bnsinnω1t)n=1nnnnnnnbaθ=arctan

第4页：复指数形式的傅里叶级数

∞n=−∞jnωtnFef(t)=1Ttn∫F=1t0+T10f(t)e−jnω1tdt,n∈Z1∫0100t0+T1tf(t)dtTF=a=12nF=an−jbn——傅里叶级数(FS)复指数形式的傅里叶级数Ttn∫f(t)cosnωtdt,n∈Na=2t0+T1011Ttn∫f(t)sinnωtdt,n∈Nb=2t0+T1011∞2f(t)=a0+(ancosnω1t+bnsinnω1t)n=1

第5页：例14-1 周期矩形脉冲

——傅里叶级数(FS)周期信号的傅里叶频谱例14-1脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E，周期T1，f0(t)=EGτ(t)。求其合并成余弦频率项的傅里叶系数和复指数形式的傅里叶系数。

第6页：例14-1 余弦形式系数

∞f(t)=a0+ancosnω1tn=1——傅里叶级数(FS)解：∫010t0+T1tf(t)dtTa=1Ttn∫f(t)cosnωtdt,n∈Na=2t0+T1011011ntTt0+T1b=2f(t)sinnωtdt=0,n∈N∫∞f(t)=a0+(ancosnω1t+bnsinnω1t)n=1∞f(t)=c0+cncos(nω1t+ψn)n=1c0=a0c2=a2+b2nnnn4nnabψ=−arctan

第7页：例14-1 系数积分计算

5——傅里叶级数(FS)∞f(t)=a0+ancosnω1tn=111101TTTT1/2a=1∫∫f(t)dt=1τ/2Edt=Eτ−τ/2−T/2SaSaTTTnπEτωnωτ=nω∫∫,n∈N=2EτSanπτ2EτnωτT2=2EΣEcosnωtdtf(t)cosnωtdt=2a=2121T1T112112sinnω1τ1τ2−τ2=2EΣsinnω1tT1nω1τ/2−τ/211−T/211T1/21或解：

第8页：例14-1 合并为余弦项

6——傅里叶级数(FS)bn=0001Tc=a=Eτ1nnTc=a=2EτSanπτT1nnaψ=−arctanbn=0∞f(t)=c0+cncos(nω1t+ψn)n=1

第9页：例14-1 复指数形式系数

7100TF=a=Eτ2Tnπτ=Sa,n≠011Ta−jbEτF=nnnTnF=EτSanπτ,n∈ZT11jφn=FneFn=Fnejarg(Fn)TFnn∈ZT=EτSanπτ,11ττττk∈Zk∈Znn(2k+2)T(2k+1)Tπ,0,φ=arg(F)=1,1≤n<2kT1≤n<(2k+1)T1,——傅里叶级数(FS)复指数形式的傅里叶级数系数为：

第10页：复指数系数的幅度与相位

8——傅里叶级数(FS)TFnn∈ZT=EτSanπτ,11ττττk∈Zk∈Znn(2k+2)T(2k+1)Tπ,0,φ=arg(F)=1,1≤n<2kT1≤n<(2k+1)T1,

第11页：周期矩形脉冲的频谱特点

——傅里叶级数(FS)矩形脉冲信号的傅里叶级数系数幅度和相位T1逐渐增大，谱线加密，幅度变小，趋于连续。幅度与T1乘积保持不变。

第12页：傅里叶变换的定义

——傅里叶变换(FT)∫∞−∞F(ω)=f(t)e−jωtdtTtn∫F=1t0+T10f(t)e−jnω1tdt,n∈Z1∫∞−∞F(ω)edωf(t)=jωt12π

IFT定义

10F(ω)=F(ω)ejφ(ω)|F(ω)|——幅度频谱密度函数，简称幅度谱。φ(ω)=arg(F(ω))——相位频谱密度函数，简称相位谱

第13页：单边指数信号的FT

∫∫∫∞∞∞−∞dt=eeedt=edt=f(t)F(ω)=−(a+jω)t−at−jωt−jωt1a+jω001a2+ω2F(ω)=11aa+ωφ(ω)=arg(F(ω))=arga−jω=−arctanω22——傅里叶变换(FT)二、典型非周期信号的傅里叶频谱(1)单边指数信号的FTf(t)=e−atu(t)(a>0)

第14页：单边指数信号的频谱

——傅里叶变换(FT)f(t)=e−atu(t)(a>0)1a2+ω2F(ω)=aa+ωφ(ω)=arg(F(ω))=arga−jω=−arctanω22二、典型非周期信号的傅里叶频谱(1)单边指数信号的FT12

第15页：冲激信号的FT

——傅里叶变换(FT)二、典型非周期信号的傅里叶频谱(2)冲激信号的FTedt=Ee=E13Eδ(t)F[Eδ(t)]=∞−∞∫−jωt−jω0均匀(频)谱或白色(频)谱。

第16页：矩形脉冲信号的FT

——傅里叶变换(FT)二、典型非周期信号的傅里叶频谱(3)矩形脉冲信号的FT脉冲宽度为τ、脉冲幅度为E的矩形脉冲信号f(t)=EGτ(t)ωτω∞−∞∫∫∫−τ2−τ/2τ/2τ/2−τ/2=EτΣSa2sinωtτ2=EΣEcosωtdtEedt=edt=f(t)F(ω)=−jωt−jωt14

第17页：正余弦信号的FT与频移特性

1()00Fejωtjω0t=F1Σe=2πδω−ω()()000Fej−ωt−jωt=F1Σe=2πδω+ω一、正余弦信号的FT频域平移(频移)特性()()jωt12π12π∞−1−∞δωedω=Fδω=∫F[1]=2πδ(ω)()()()()000Ffteftejωt∞∞−jω−ωt=f(t)ejω0te−jωtdt=dt=Fω−ω∫−∞∫−∞0000ω−ω)]=π[δ(ω+ω)+δ([ω]=−jωtjωte+e20tFFcos2jejω0t−e−jω0tF[sinω0t]=F=πjδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)

第18页：正余弦信号的傅里叶变换

F[sinω0t]=jπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]2jF[sinω0t]=π−δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)F[cosω0t]=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)一、正余弦信号的FT

第19页：一般周期信号的FT

二、一般周期信号的FT∞∞∞f(t)=f0(t−nT1)=f0(t)*δ(t−nT1)=f0(t)*δ(t−nT1)=f0(t)*ΔT1(t)n=−∞n=−∞n=−∞∞FΔT1(t)=ω1δ(ω−nω1)n=−∞∞∞F(ω)=F0(ω)Σω1δ(ω−nω1)=ω1F0(nω1)Σδ(ω−nω1)n=−∞n=−∞3

第20页：例14-2 周期矩形脉冲的FT

解：第一周期内信号是f0(t)=EGτ(t)，FT为∞例14-2：求周期矩形脉冲信号f(t)=EGτ(t−nT1)(T1>τ)的FT。n=−∞20F(ω)=EτSaωτ211TEτnωτF=San()()(4)11011112Sanωτω∞n=−∞=ωEτδω−nωδω−nω∞F(ω)=ωFnn=−∞周期矩形脉冲信号的FT为周期矩形脉冲信号的FS系数为

第21页：非周期与周期信号的频谱比较

非周期信号的FT与周期信号的FS/FT比较

第22页：抽样信号的傅里叶变换

由频域卷积定理，其FT为∞=f(t)δ(t−nTs)=f(t)ΣΔTs(t)n=−∞∞sn=−∞ssTF(ω)=1F(ω−nω

/Ts结论2

时域离散频域周期一、抽样信号的傅里叶变换首先研究抽样信号的傅里叶变换。∞∞fs(t)=f(nTs)δ(t−nTs)=f(t)δ(t−nTs)n=−∞n=−∞

第23页：抽样信号的频谱图

7

本页以公式或电路图为主，源文件未提取到完整公式结构，建议对照原课件图片查看。

第24页：时域抽样定理

二、时域

抽样定理抽样定理

要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，或者说要保证信号的抽样不会导致任何信息丢失，必须

满足下面两个条件

(1)信号必须是频带受限的，即其频谱所含频率成分受限于某一个有限值最高频率，设为ωc，信号没有超过频率ωc的频率成分。(2)采样频率ωs必须至少是信号最高频率的两倍，即ωs≥2ωc