15 第十五章 离散时间信号的变换.pptx

第1页：第15章 离散时间信号的变换

第15章离散时间信号的变换∞X(z)=Z[x(n)]=x(n)z−nn=0x(n)=Z−1[X(z)]z=es15.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换(ZT)为复变函数X(z)的逆Z变换(IZT)为∞z-n代表了时延，而z-1代表了单位时延。Z[x(n)]ΔX(z)=x(n)z−nn=0∞n=−∞−nBBx(n)zx(ΔX(z)=Z[n)]

双边ZT

s平面与z平面之间的对应关系，只要令s=σ+jω，即可得到z=eσejω

第2页：s平面与z平面的对应关系

1Z变换的定义表15-1s平面与z平面的对应关系z平面z=eσejω,|z|=eσ,arg(z)=ωs平面s=σ+jω单位圆(|z|=e0=1)虚轴(σ=0)圆(|z|=eσ0)平行于虚轴的直线(σ=σ0)单位圆内区域(|z|=eσ<1)左半开平面(σ<0)单位圆外区域(|z|=eσ>1)右半开平面(σ>0)圆环eσ1<z<eσ2平行于虚轴的两条直线围成的区域(σ1<σ<σ2)

第3页：ZT收敛域与例15-1

2ZT收敛域(ROC)1(n≥0)0,(n<0)x(n)=an,=x(n)z=X(z)=∞n−n∞n=−∞−nn=0111z1−az−1z−aaz−1<1az=<1或z>a1az−1给定序列x(n)，使Z变换中的求和级数收敛的z的集合。例15-1：利用等比级数的求和方法其中收敛域为

第4页：例15-1 左边序列的收敛域

2(n≥0)−a,(n<0)x(n)=0,n()()()()022nnazaz∞−1−nn−n−1n=−∞n=−∞n=−∞a−1z<1∞−1=−az=1−=1−=1−1=z1−a−1zz−aX(z)=xnzn=015.2ZT收敛域(ROC)例15-1：同理，序列其中收敛域为a−1z<1或z<a2

第5页：级数收敛的判别方法

3∞n=−∞x(n)z−n∞n=−∞x(n)z−n<∞∞收敛=1，不一定=ρ>1,发散<1,n→∞anliman+1nn→∞<1,收敛limna=ρ>1,发散=1，不一定描述一个序列的ZT时，必须包括两个部分：(1)表达式；(2)收敛域。由级数理论收敛的充要条件是它绝对可积，即在正项级数中，比值法和根值法可用于判别其收敛性：对于求和ann=0或15.2ZT收敛域(ROC)

第6页：有限长序列的ROC

n24下面分情形讨论序列的ROC的特点(1)有限长序列的ROCX(z)=x(n)z−nn=n1收敛域至少是0<|z|<∞。1)当n1<0，n2>0时，收敛域为0<|z|<∞2)当n1<0，n2≤0时，收敛域为0≤|z|<∞3)当n1≥0，n2>0时，收敛域为0<|z|≤∞15.2ZT收敛域(ROC)

第7页：右边序列的ROC

∞x1limnx(n)z−n<1，即z>limnx(n)ΔRn→∞n→∞Rx<z≤∞1Rx<z<∞1则该级数收敛。考虑∞点处的收敛情形，1)当n≥0时，ROC为12)当n1<0时，ROC为(2)右边序列的ROCX(z)=x(n)z−nn=n115.2ZT收敛域(ROC)

第8页：左边序列的ROC

∞n2n=−∞n=−n2X(z)=x(n)z−n=x(−n)zn1x2ΔRlimnx(−n)n→∞limnx(−n)zn<1，即z<n→∞x22x0≤z<R形，则该级数收敛。考虑0点处的收敛情1)当n2>0时，ROC为0<z<R2)当n2≤0时，ROC为15.2ZT收敛域(ROC)6(3)左边序列的ROC

第9页：双边序列的ROC

则ROC为−1+x(n)z−nn=−∞∞∞X(z)=x(n)z−n=x(n)z−nn=−∞n=0nxx(n)n→∞RΔlim1RΔn→∞limnx(−n)1x212x存在，且Rx>RRx<z<Rx12否则，ROC为空集，它表示相应的双边序列不存在ZT。总之，若双边序列的收敛域存在，其形状是复平面上圆环形状。15.2ZT收敛域(ROC)(4)双边序列的ROC7

第10页：ROC的两点补充说明

需要指出的是：1)从上述收敛域的求法看，求得的是级数收敛的充分而非必要条件，因此实际收敛域可能会更大；2)实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，且收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。815.2ZT收敛域(ROC)

第11页：ROC与零极点的关系

(5)ZT的ROC及其零极点结论1：一般地讲，序列的ZT在其ROC内是解析的，因此ROC内不应包含任何极点，且ROC是连通的。结论2：序列ZT的ROC是以极点为边界的。结论3：右边序列ZT的ROC，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域(不包括圆周)。结论4：左边序列ZT的ROC，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域(不包括圆周)。结论5：双边序列ZT的ROC，是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括两个圆周)。915.2ZT收敛域(ROC)

第12页：例15-2 极点与ROC题面

例15-2：某序列的ZT有3个极点，p1=0.5，p2=1和p3=2，指出其可能的ROC。解：15.2ZT收敛域(ROC)

第13页：例15-2 四种可能的ROC

例15-2：某序列的ZT有3个极点，p1=0.5，p2=1和p3=2，指出其可能的ROC。解：根据上述结论，该ZT的ROC有4种可能：1)以0.5为半径的圆内部区域，对应左边序列，ROC为|z|<0.5；2)以0.5和1分别为内圆和外圆半径的圆环区域，对应双边序列，ROC为0.5<|z|<1；3)以1和2分别为内圆和外圆半径的圆环区域，对应双边序列，ROC为1<|z|<2；4)以2为半径的圆外面的区域，对应右边序列，ROC为|z|>2。15.2ZT收敛域(ROC)

第14页：Z变换的线性性

3Z变换的性质(1)线性性ZT的线性性可表示为()()21KKkkkk1axnaX(z)k=1k=1k=1=aZxn=maxR<z<minRk1≤k≤K1≤k≤KZKkkk若线性组合后发生某些零、极点相抵消的情况，则ROC可能扩大。例如序列anu(n)和anu(n-1)的ZT的ROC均为|z|>|a|，但两者的差anu(n)−anu(n-1)=δ(n)的ROC却是整个z平面。

第15页：时域平移性

[()]()ZB(R<z<R)(右移)12xn−m=zXz−mmB(R<z<R)(左移)12Z[]=zx(n+m)X(z)X(z)=Z[x(n)u(n)]=2∞n=0x(n)z−n(R<z<R)1215.3Z变换的性质(2)时域平移性1)双边ZT：设Z[x(n)]=X(z)，m∈N，则2)单边ZT：设Z[x(n)u(n)]=X(z)，m∈N，由于

第16页：单边ZT移位的附加项

3()()()mxrz∞m−1m−1−nm−rn=0r=0=zx(n)z−n−xnz=zXz−n=0∞∞∞Zx(n+m)u(n)=x(n+m)z−n=zmx(n+m)z−(n+m)=zmx(n')z−n'n=0n=0n'=m()12−1−m−rR<z<RZx(n−m)u(n)=zr=−mX(z)+x(r)z()()()()12−mR<z<RZxn−mun=zXz右移时则由于有部分有限长序列被移入求和范围，因而但对于因果序列，由于当n<0时x(n)=0，右移性与双边ZT的右移性形式相同：15.3Z变换的性质左移时有部分有限长序列被移出求和范围，因而

第17页：z域尺度变换性质

41<R2zaR<azZ[ax(n)]=Xn21Z[ax(]az)(<R)R<azn)=X(−n()21nX(−z)(R<z<R)Z[]=−1x(n)15.3Z变换的性质(3)z域尺度变换(或序列指数加权)性∞∞n=0n=0z−nz=XaaZanx(n)=anx(n)z−n=x(n)

第18页：z域微分性与初值定理

512dzZ[nx(n)]=−zdZ[x(n)](R<z<R)[()](ZnxnmR1<z<R2)dm[()]=−zZxndz∞n=0X(z)=Zx(n)=x(n)z−n=x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+·z→∞x(0)=limX(z)(5)初值定理15.3Z变换的性质(4)z域微分(或序列线性加权)性

第19页：终值定理与时域卷积定理

∞n=0x(n)z−nX(z)=Z[x(n)]=limx(n)=lim[(z−1)X(z)]n→∞z→1∞x(n)*y(n)=x(m)y(n−m)m−∞Z[x(n)*y(n)]=Z[x(n)]Z[y(n)]6终值定理只有在limx(n)存在时才能用，此时X(z)的极n→∞点必须在单位圆内(如果位于单位圆上则只能位于z=1，且是一阶极点)。(7)时域卷积定理15.3Z变换的性质(6)终值定理

第20页：单位冲激序列的ZT

70,(n≠0)δ(n)=1，(n=0)=δ(0)=1∞Z[δ(n)]=δ(n)z−nn=−∞ROC为0≤|z|≤∞。Z变换1.单位冲激序列δ(n)

第21页：单位阶跃序列的ZT

u(n)=1，(n≥0)0,(n<0))8∞∞z(Z[u(n)]=unzz−1<11()=z=−1=z>1n=01−zz−1−nn=−∞−nZ变换2.单位阶跃序列u(n)

第22页：矩形脉冲序列的ZT

G(n)=N1，(0≤n<N)0,(n<0或n≥N)Z[GN(n)]=z9(0<z≤∞)−n=1−z−N1−z−1N−1n=0Z变换3.矩形脉冲序列GN(n)

第23页：单位斜变序列的ZT

∞n=0nz−nZ[nu(n)]=2(z>1)z−1)zZ[nu(n)]=(12dzZ[nx(n)]=−zdZ[x(n)](R<z<R)Z变换4.单位斜变序列nu(n)（用微分定理）Zu(n)=z(z>1)10z−1

第24页：单边指数序列的ZT

[()]Zaun11n(z>a)z−a∞n−n==az=n=0az−1<1zZ变换5.单边指数序列anu(n)

第25页：例15-3 双边指数序列的ZT

12zbzz(b)u(n)nn(a<z<b)(z−a)(z−b)=+=z−bz−az−bz−a=z−a=anz−nanz−n22zz−a+b+1−+1−(n)[](z>a,例15-3：求序列x(n)=anu(n)−bnu(−n−1)的ZT(b>a>0)。解：由定义X(z)=Z[x(n)]=x(n)z−n=[anu(n)−bnu(−n−1)]z−n∞∞n=−∞n=−∞z−1z−1−b−1>b−1)z−1z−1n=0+1−b−n(z−1)−n∞n=−∞n=0=Z[au]+1−Z−1∞−bnz−n=∞=n=0z←z−1Z变换

第26页：例15-3 零点与极点分布

上面所求的ZT有两个零点z1,2=0，(a+b)/2和两个极点p1,2=a，b，在z平面上如图所示。Z变换

第27页：常用序列的ZT对照表

115.5逆Z变换δ(n)1zu(n)(z>1)z−1nan−1u(n)(z>a)z(z−a)2zanu(n)(z>a)z−a2n(n−1)n−2zau(n)(z>a)(z−a)

第28页：部分分式展开法

215.5逆Z变换KD(z)=X(z)=N(z)b+bz+…+bzRa0+a1z+…+aKz01Rzzm(z−a)m(z−a)m1.部分分式展开法z把X(z)分解为z−a等项的线性加权和的形式。

第29页：例15-4 假分式改写

3(z−1)(z+2)2,+4z2−4z32z2(z−1)(z+2)=1+(z−1)(z+2)2+4z2−4z3X(z)=(z−1)(z+2)2z2X1(z)=z+3z2−4D(z)z3(z−1)(z+2)2X1(z)=z=zΔN(z)(z+2)2zz−1z+2X1(z)=a+b+c例15-4求X(z)=(z>2)的IZT。解：X(z)是假分式，先改写成15.5逆Z变换

第30页：例15-4 待定系数求解

9=13z2+6zzz=1D'(1)a=N(1)=1=−92=dzz−1dz(z+2)z=−2z=−2dX1(z)b=dzz2=3=z−12z(z+2)zX1(z)z=−2z=−2c=1−1Σ+2Σz(z+2)29z−19z+23zzX(z)=1Σ(z+2)24zz−1z+2X1(z)=a+b+c15.5逆Z变换

第31页：例15-4 逆变换结果

1−1Σ+2Σz(z+2)29z−19z+23zzX(z)=1Σ−1Σ+2Σz(z+2)29z−19z+23zzX(z)=1+1Σ3599=δ(n)+1−1(−2)n+2n(−2)n−1u(n)x(n)=δ(n)+1u(n)−1(−2)nu(n)+2n(−2)n−1u(n)99315.5逆Z变换

第32页：留数法求逆Z变换

∞]∫mCz=pmX(z)zRES[zdz=n−1n−12πjx(n)=1X(z)[()]s6RESTzz=pz=p[T(z)(z−p)](s−)s−11!dz=1ds−1RES[T(z)]z=p={T(z)(z−p)}z=p2.留数法根据ZT的定义X(z)=x(n)z−nn=0特别地当s=1时，T(z)=X(z)zn−115.5逆Z变换

第33页：例15-6 留数法题面

−1−1(z>1)z(z−1)(z−0.5),+2z2+1z3Z[X(z)]=Z(z−1)(z−0.5)7T(z)=X(z)z+2z2+1)zn−2n−1=(z3例15-6求解：由于收敛域为|z|>1，所以x(n)为因果序列。记T(z)有两个一阶极点p1=1，p2=0.5，除此之外当n=0时，有一个二阶极点p3=0；当n=1时，有一个一阶极点p4=0。15.5逆Z变换

第34页：例15-6 极点留数计算

31=8z=p=1n−2z=p1z(z−0.5)z+2z2+1RES[T(z)]=)nzRESTz322=−13(0.5(z−1)z+2z+1[()]=z=p=0.5n−2z=p2()3811.5z=pz=0z=0z3+2z2+1d=RESTz(2−1)!dz(z−1)(z−0.5)==0.52=6(3z2+4z)(z2−1.5z+0.5)−(z3+2z2+1)(2z−1.5)(z−1)2(z−0.5)2另外，n=0时下面求T(z)在极点处的留数：15.5逆Z变换

第35页：例15-6 序列结果

[()]=29z=0z=p4=(z−1)(z−0.5)+2z2+1z3RESTzx(n)=+6=1,n=0+2=3.5,n=1=8−13Σ2−n,n≥28−13(0.5)n8−13(0.5)n8−13(0.5)n综合有15.5逆Z变换当n=1时

第36页：离散时间系统与分类

x(n)→y(n)1.离散时间系统及分类离散(时间)系统就是输入输出都是序列的系统。输入x(n)通常称为激励，输出y(n)称为响应。输入输出的对应关系可简记为系统的响应可以分为零状态响应(系统处于零状态时对应的响应)和零输入响应(没有激励时系统的响应)。离散时间系统x(n)10y(n)激励响应

第37页：线性与时不变系统

11KKkkkkkkcy(n)cx(n)→k=1k=1{x(n)→y(n),(1≤k≤K)}

线性离散时间系统

满足线性性(包括齐次性与叠加性)条件，即对任意一组常数ck(1≤k≤K)时

不变离散时间系统

在同样起始状态下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关，换句话说，若激励时移N，响应也时移相同的N。即对任意整数N，满足{x(n)→y(n)}{x(n−N)→y(n−N)}

第38页：LTI系统的差分方程描述

LTI离散时间系统的表示方法离散时间系统一般用差分方程来描述，其中有3种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数和相加。

第39页：常系数线性差分方程

011130by(n)=1[ax(n)+ax(n−1)−by(n−1)]KRR−rK−kbzaz=X(z)Σk=0r=0Y(z)Σrr=0kk=0常系数线性差分方程线性时不变离散系统的差分方程的一般形式是：aky(n−k)=brx(n−r)

第40页：传递函数与零极点

14Y(z)X(z)brzKkRaz−k−rk=0=r=0ΔH(z)K·R·k=1−1)H(z)=GΣr=1−1)(1−pzk(1−zzrh(n)y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=H(z)ΣX(z)逆系统——传递函数为1/H(z)的系统称为原系统的逆系统。单位冲激响应pk是H(z)的极点，zr是H(z)的零点，它们由方程的系数ak与br共同决定。

第41页：零极点分布与稳定性

传递函数零极点分布对

特性的影响定义1

只要输入有界输出必定有界的系统称为稳定系统

定义2

输出的变化不领先于输入的变化的系统称为因果系统。结论1：具有有理传递函数的离散线性时不变（LTI）系统是因果系统的充要条件是“其ROC是传递函数最外面极点之外的某个圆外部的区域；传递函数分子多项式z的阶次不大于分母多项式z的阶次”。结论2：具有有理传递函数的因果离散LTI系统是稳定系统的充要条件是“其传递函数的全部极点都在单位圆内，即其ROC至少为|z|≥1”

第42页：例15-7 差分方程响应求解

例15-7一离散系统的差分方程为4.离散时间系统响应的ZT法求解y(n)−by(n−1)=x(n)施加的激励为x(n)=anu(n)，已知系统初始状态(起始值)为y(−1)=0，求响应y(n)Y(z)−bz−1Y(z)+zy(−1)=X(z)y(−1)=01−bz−1Y(z)=X(z)解：x(n)=anu(n)z−aX(z)=z(z>a)()bzYz=(z−a)(z−b)=(a−b)z−a−z−b1azz21)(an+1−bn+1)u(n)a−by(n)=(

第43页：离散时间傅里叶变换定义

Dn=−∞F[x(n)]=x(n)e−jnωΔX(ω)D3D∫X(ω)ejnωdωΔx(n)2π2πF−1[X(ω)]=1(ω)DDTFTx(n)XXD(ω)(DTFT)频谱(密度函数)，|XD(ω)|幅度(频)谱(函数)，相位(频)谱(函数)arg(XD(ω))结论：序列的DTFT频谱是周期的，周期为2πrad或1Hz。x(n)XD(ω)5.序列的傅里叶变换——离散时间傅里叶变换(DTFT)离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义∞

第44页：例15-8 矩形序列的DTFT

例15-8求矩形脉冲序列GN(n)的DTFT。解：∞N−14−jnω−jnωn=−∞n=0sin(Nω/2)sin(ω/2)1−e−jNω=1−e−jω==e−j(N−1)ω/2Δe−j(N−1)ω/2X(A)(ω)e−jNω/2(ejNω/2−e−jNω/2)e−jω/2(ejω/2−e−jω/2)DTFTGN(n)=GN(n)e=e上式中，e−j(N−1)ω/2对应着线性相位(是X(ω)的相位的一部分)，实函数X(A)(ω)=sin(Nω/2)/sin(ω/2)对应着其幅度谱。由于X(A)(ω)的取值有正有负，且其绝对值|X(A)(ω)|是X(ω)的幅度谱，故可理解为X(ω)的准幅度谱。

第45页：N=10时矩形序列的频谱图

下图画出了N=10时GN(n)和−4π~4π区间内的X(A)(ω)(注：X(ω)的周期是2π，而X(A)(ω)的周期却不一定是2π，但|X(A)(ω)|的周期肯定是2π)。

第46页：例15-9 周期矩形序列的逆DTFT

例15-9求图中的周期矩形脉冲序列H1(ejω)的逆DTFT。解：根据IDTFT的定义H(e)eccccc=Sa(ωn)πnπedω=edωh(n)=DTFT[H()]=∫ω−ωjωnπjωjωnjωsin(ωn)ω2π=12π∫−π111−116

第47页：DTFT与ZT的关系

z7x(n)zΔX(z)Z[x(n)]=∞n=−∞−n∞DF[x(n)]=x(n)e−jnωΔX(ω)n=−∞jωz=e6.序列的DTFT与ZT的关系以及DTFT的作用结论1：序列的DTFT是单位圆上的ZT；结论2：只有当序列的ZT的ROC包含单位圆时，该序列才存在DTFT。

第48页：离散系统的频率响应

结论1：当把频率为ω0的正弦序列施加到系统函数为H(z)的系统上时，系统的稳态响应是同频率的正弦序列，其幅度被扩大到倍，相位被叠加了x(n)=Asin(nω0+θ1)yss(n)=Bsin(nω0+θ2)AH(ejω0)=Rejφ0=Bej(θ2−θ1)08jωR=H(e)00jωφ=arg(H(e)7.离散系统的频率响应如果激励和稳态响应分别表示为

第49页：幅频响应与相频响应

结论2：如果离散系统的系统函数为H(z)，那么H(ejω)反映了系统对激励中各频率分量的幅度和相位影响，因此称H(ejω)为离散系统的频率响应，简称频响。显然H(ejω)是正弦序列包络频率ω0的连续函数。由于H(ejω)通常是复值函数，记H(ejω)=H(ejω)ejφ(ω)其中|H(ejω)|称为离散系统的幅频响应，而φ(ω)=arg(H(ejω))称为离散系统的相频响应。结论3：系统的幅频响应值越大的频率成分，越容易通过系统；幅频响应值越小的频率成分越容易被系统阻碍。结论4：系统的频率响应是其单位冲激响应h(n)的傅里叶变换。