07 第六章 离散信号与系统的变换域分析.pptx

第1页：第六章 离散信号与系统的变换域分析

本页为《信号与系统》第六章封面，标示本章主题为离散信号与系统的变换域分析。

本页结论以公式或波形给出，源文件未提取到公式文本，详见原课件图示。

第2页：第六章内容导读

• 离散信号与系统的变换域分析概述
• 6.1 Z变换
• 6.2 Z反变换
• 6.3 Z变换的性质
• 6.5 离散系统的Z域分析
• 6.6 离散系统函数与系统特性
• 6.7 离散信号与系统的频域分析
• 本章要点
• 作业

第3页：离散系统变换域分析概述

• 时域分析与连续信号与系统有许多相似之处
• 连续信号与系统有傅里叶变换分析、拉普拉斯变换分析
• 离散信号与系统有离散时间傅里叶变换分析、Z变换分析
• 本章主要讨论Z变换分析

第4页：Z变换的定义

Z变换可以从拉普拉斯变换引入，这里先直接给出Z变换的定义。

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第5页：Z变换与拉氏变换的关系

• 对连续函数f(t)以均匀间隔T进行理想抽样，由此得到Z变换与拉氏变换的对应关系
• 分别给出双边Z变换与单边Z变换

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第6页：Z变换的收敛域

• 单边Z变换的收敛域为圆心在原点、半径为a的圆外区域
• 收敛条件比较简单，一般情况下不再加注其收敛域

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第8页：常见序列的单边Z变换

• 常见序列的单边Z变换
• 对比可得常用序列的Z变换表

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第9页：常用序列的Z变换表

对比，得常用序列的Z变换表。

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第10页：幂级数展开法求Z反变换

• Z反变换方法之一：幂级数展开法，利用长除法
• 此法求f(k)的前几个值很方便，缺点是不容易得到f(k)的解析式（闭式解）

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第11页：部分分式展开法求Z反变换

Z反变换方法之二：部分分式展开法。

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第12页：遮挡法求待定系数

用遮挡法求部分分式展开中的待定系数。

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第13页：遮挡法与待定系数法

遮挡法：取z=-1代入求得部分系数，其余用待定系数法确定。

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第14页：非有理分式的幂级数展开

当F(z)不是有理分式的形式时，可直接根据级数理论展开成幂级数

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第16页：例：求Z变换式的反变换

• 例题：试求下列Z变换式的反变换
• 解法一：幂级数展开法
• 解法二：部分分式展开法

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第19页：Z变换的线性与移序性

Z变换性质之一

线性

性质之二

移序（移位）性，其中左移序性质相当于拉氏变换中的微分性质

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第20页：右移序性质

• 右移序性质相当于拉氏变换中的积分性质
• Z变换的移序性质能将关于f(k)的差分方程转化为关于F(z)的代数方程，使离散系统分析大为简化

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第23页：单边周期序列的Z变换

单边周期序列的Z变换可由第一个周期的变换乘以相应因子得到。

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第24页：比例性（尺度变换）

Z变换性质之三：比例性（尺度变换），也称为序列的指数加权性质，表明时域中乘以指数序列a^k，相当于Z域中变量z除以a

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第25页：Z域微分性质

Z变换性质之四：Z域微分，也称为序列的线性加权性质，表明时域中乘以k，对应于Z域中对Z变换取导数并乘以-z

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第27页：时域卷积定理

Z变换性质之五：时域卷积定理。

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第28页：序列求和性质

Z变换性质之六：序列求和。

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第30页：初值定理

Z变换性质之七：初值定理（也可以用长除法计算）。

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第31页：终值定理及其条件

Z变换性质之八

终值定理

条件

f(k)的终值存在意味着F(z)除了在z=1处允许有一个一阶极点外，其余极点必须在单位圆内部

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第32页：S平面与Z平面的映射关系

S平面与Z平面的映射关系：s左半平面映射到z平面单位圆内，虚轴映射到单位圆。

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第34页：Z域积分与常用性质表

• Z变换性质之九：Z域积分
• 常用Z变换的性质汇总于表中

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第40页：例：求有限长序列的Z变换

例题：求图示有限长序列的Z变换。

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第41页：例：求下列各序列的Z变换

例题：求下列各序列的Z变换。

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第45页：离散系统的Z域分析方法

• 离散系统的Z域分析：时域分析法用卷积和
• 变换域分析法利用Z变换的移序性质将差分方程变成代数方程
• Z变换分析法可以分别求解零输入响应和零状态响应，也可以直接求解全响应

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第47页：后向差分方程的Z域求解

若为后向差分方程时，按序号递减形式取Z变换求解。

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第48页：Z域求解的三点说明

• 在常系数线性差分方程中，各项的序号同时增加或减少同样数目，方程所描述的关系不变
• 如果所需初始条件并不是已知的零输入初始条件，可以用递推的方法在齐次差分方程中求解
• 也可以根据初始条件改变差分方程的序号

第49页：零状态响应的求解

零状态响应的Z域求解：设初始状态为零，并设x(k)为零起始序列。

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第50页：二阶后向差分方程的离散系统函数

• 对于因果系统必然有y(-1)=0和y(-2)=0，以此代入原差分方程即得
• 二阶后向差分方程的离散系统函数与此相同

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第53页：全响应的三种求解思路

• 当已知零输入初始条件时，分别求解零输入响应和零状态响应后叠加
• 当已知全响应初始条件时，直接对差分方程取Z变换求解全响应
• 当已知全响应初始条件并需分出零输入与零状态响应时，先求零状态响应再相减

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第57页：由系统函数写差分方程

由求得的离散系统函数可反推出该系统的差分方程。

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第58页：H(z)的零点极点与时域响应

• 离散系统函数H(z)的零点、极点及其时域响应
• 连续时间系统特征根与自然响应模式、离散时间系统特征根与自然响应模式相对应

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第59页：一阶极点位置与自然响应模式

一阶极点的位置与自然响应模式的关系：极点位于单位圆内为衰减序列，位于单位圆上为等幅序列，位于单位圆外为增长序列。

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第60页：例：差分方程、系统函数与单位函数响应

• 例题：离散系统如图所示，(1)写出其差分方程
• (2)写出系统函数H(z)并画出零、极点图
• (3)计算单位函数响应h(k)

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第61页：离散系统函数与零状态响应

• 特别地，当激励为无时限复指数序列时，系统的零状态响应可由卷积和求得
• 零状态响应（也是全响应）仍为同频率的复指数序列，但被加权了H(z)
• 条件：z应位于H(z)的收敛域内

第62页：例：求单位函数响应与单位阶跃响应

例题：求图示离散系统的单位函数响应和单位阶跃响应。解：设辅助函数Q(z)如图所示，对加法器列方程求解

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第63页：单位阶跃响应的结果

由此得到该离散系统的单位阶跃响应。

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第64页：离散系统的稳定性

• 对于因果系统，其有界输入有界输出（BIBO）稳定的条件为极点在单位圆内
• H(z)的极点全部位于Z平面单位圆内部时系统BIBO稳定
• 极点位于单位圆上且为单极点时临界稳定
• 否则系统不稳定

第65页：例6-6-1 离散系统的稳定性判定

例题6-6-1：已知系统的差分方程，试判定系统的稳定性。解：求得离散系统函数，其极点均位于单位圆内，因此该系统是稳定的。

第66页：例：求系统稳定时a的取值范围

例题：试求a为何值时，图示离散系统是稳定的。解：对加法器列方程得系统函数，令极点在单位圆内求解。

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第67页：离散时间傅里叶变换（DTFT）

• 离散时间傅里叶变换用于分析离散时间信号的频谱与系统的频率特性
• F(Ω)是Ω的连续的周期函数，且周期为2π

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第68页：DTFT与Z变换及CTFT的关系

• 实质上，离散时间傅里叶变换是单位圆上的（双边）Z变换
• 它与连续时间傅里叶变换的定义非常相似，因此连续时间傅里叶变换的性质同样适用

第69页：离散时间系统的频率响应

• 对于稳定的离散系统，其频响特性H(e^jΩ)等于H(z)在z=e^jΩ处的取值，反映系统在正弦序列激励下稳态响应随频率变化的情况
• 正弦序列激励下稳态响应仍是同频率的正弦序列，只是多乘了一个H(e^jΩ)

第70页：例6-7-2 求系统的频响特性

例题6-7-2：已知系统的差分方程，试求该系统的频响特性。解：由差分方程得离散系统函数，据此作出系统模拟图、零极点图并写出频响特性

第71页：幅频特性与相频特性

• 幅频特性与相频特性：幅频曲线为偶对称，相频曲线为奇对称，一般均为连续函数
• 不同于连续系统，该曲线是周期函数，周期为2π
• 离散系统也有高通、低通之分

第72页：第六章本章要点

• 常用序列的Z变换
• Z反变换：幂级数展开法、部分分式展开法
• Z变换的性质
• 离散系统的Z域分析：零输入响应、离散系统函数、零状态响应、全响应
• 离散系统的稳定性

第73页：第六章作业

6.1-6.2

6-2⑴

6.3

6-4⑴⑸⑺⑻，6-6⑵⑶⑹，6-9⑴

6.5-6.7

6-11⑴，6-12⑴，6-14，6-18，6-24⑴⑶