第1页：第四章 连续信号与系统的复频域分析
本页为《信号与系统》第四章封面，标示本章主题为连续信号与系统的复频域分析。
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第2页：第四章内容导读
- 连续信号与系统的复频域分析概述
- 4.1 拉普拉斯变换
- 4.2 典型信号的拉普拉斯变换
- 4.3 拉普拉斯变换的性质
- 4.4 拉普拉斯反变换
- 4.6 连续系统的复频域分析
- 4.7 系统函数
- 4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性
- 4.9 连续时间系统的稳定性
- 本章要点
- 作业
第3页：复频域分析方法概述
- 傅里叶变换分析法
- 在信号分析和处理方面十分有效，要求信号满足狄里赫勒条件，只能求零状态响应
- 拉普拉斯变换分析法
- 可看作广义的傅里叶变换，变换式简单，扩大变换范围，为分析系统响应提供规范方法
第4页：从傅里叶变换到拉普拉斯变换
- 信号不满足绝对可积条件时，人为地用一个实指数函数e^(-σt)去乘f(t)
- 称σ为衰减因子，e^(-σt)为收敛因子
- 解决的方法有引进广义函数与改用拉氏变换两种
第5页：双边拉普拉斯变换的导出
取f(t)e^(-σt)的傅里叶变换及其傅里叶反变换，即得双边拉普拉斯变换的表达式。
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第6页：双边拉普拉斯变换对
- 双边拉普拉斯正变换与反变换构成双边拉普拉斯变换对
- 拉氏变换扩大了信号的变换范围
- 变换域的内在联系：时域函数对应频域函数与复频域函数
第7页：单边拉普拉斯变换
- 考虑到实际信号都是有始信号，观察问题总有一个起点
- 此时拉普拉斯正变换的积分下限改写为0-
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第8页：积分下限取0-的目的
- 正变换的积分下限用0-的目的是把t=0时出现的冲激包含进去
- 这样利用拉氏变换求解微分方程时可直接引用已知的初始状态f(0-)
- 注意f(t)与f(t)ε(t)的单边拉氏正变换相同
第9页：单边拉氏变换的优点
- 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应或全响应
- 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中
- 时间变量t的取值范围为0到∞
- 任何可拉氏变换的信号其F(s)中一定没有冲激函数
第10页：单边拉氏变换的收敛域
- 通常把使f(t)e^(-σt)满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏变换的收敛域
- 满足上述条件的最低限度的σ值称为绝对收敛横坐标
- 有始有终的能量信号与功率信号的收敛横坐标不同
第11页：指数阶函数与收敛域的确定
- 按指数规律增长的信号如e^(αt)，其收敛横坐标为α
- 增长速度不超过指数函数的函数统称指数阶函数，均可用乘以e^(-σt)的方法压下去
- 凡指数阶函数都有拉氏变换
- 单边拉氏变换的收敛域是Re(s)>σ0的区域
第12页：变换域联系之一：傅里叶级数
- 傅里叶级数实际上是把周期信号分解为一系列等幅振荡的正弦分量之和
- 复振幅可以用复平面虚轴上的离散频谱表示
- 单元信号的角频率在虚轴上离散取值
第13页：变换域联系之二：傅里叶变换
- 傅里叶变换的频谱密度可以用复平面虚轴上的连续频谱表示
- 单元信号的角频率在虚轴上连续取值，复振幅为无穷小量
- 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正弦分量之和
第14页：变换域联系之三：拉普拉斯变换
- 拉普拉斯变换的象函数可以用s右半平面上的连续频谱表示
- 单元信号的复频率在s右半平面上连续取值
- 实际上是把非周期信号分解为无穷多变幅或等幅振荡的正弦分量之和
第15页：典型信号拉氏变换：指数与阶跃
- 由此可以导出一些常用函数的拉氏变换
- 指数信号e^(-αt)ε(t)
- 单位阶跃信号ε(t)
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第16页：典型信号拉氏变换：单边正弦与余弦
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第17页：典型信号拉氏变换：衰减增长正余弦
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第18页：典型信号拉氏变换：双曲正弦与余弦
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第19页：冲激函数的拉普拉斯变换
根据冲激函数作为广义函数的定义，可得单位冲激函数的拉普拉斯变换。
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第20页：t的正幂信号的拉普拉斯变换
- 由定义对上式进行分部积分
- 依次类推可得t^n的拉氏变换
- 特别是n=1时的结果
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第21页：拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
- 例如增长的指数信号
- 只有拉氏变换而无傅氏变换
- 例如衰减的指数信号
- 拉氏变换与傅氏变换都存在
- 例如单位阶跃信号
- 拉氏变换与傅氏变换都存在，但傅氏变换中含有冲激函数
第22页：拉普拉斯变换的性质
在实际应用中通常不是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取
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第23页：线性与时移性
- 拉氏变换性质之一
- 线性
- 性质之二
- 时移性
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第24页：
第25页：例4-3-2 锯齿波的拉氏变换
例题4-3-2：求图示锯齿波f(t)的拉氏变换。解：根据时移性求解。
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第26页：单边周期信号的拉氏变换
- 利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换
- 设f1(t)表示第一个周期的函数，则周期信号的拉氏变换等于F1(s)乘以相应因子
- 周期函数可以是广义的，例如台阶函数
第27页：例4-3-3 半波正弦的拉氏变换
例题4-3-3：求半波正弦函数的拉氏变换。
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第28页：例4-3-4 比例性解法一
例题4-3-4解法一：先应用时移性，再应用比例性，求得结果。
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第29页：例4-3-4 比例性解法二
解法二：先应用比例性，再应用时移性，结果与解法一相同。
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第30页：频移性
- 拉氏变换性质之四：频移性
- 与傅氏变换比较，这里s0可以是实数，也可以是虚数或复数
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第31页：时域微分性质
拉氏变换性质之五：时域微分，主要用于研究具有初始条件的微分方程
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第32页：时域微分性质的推论
同理可得二阶导数的变换式，依此类推可得n阶导数的变换式
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第33页：例4-3-6 初始值对导数变换的影响
例题4-3-6：由于f(0-)不同，所求导数的拉氏变换不同。
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第34页：时域积分性质
- 拉氏变换性质之六：时域积分
- 若积分下限由-∞开始则有相应的变化
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第35页：例4-3-7 时域积分性质的应用
例题4-3-7：应用时域积分性质求解。
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第36页：初值定理
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第37页：初值定理的注意事项
注意：如果不加以分析而直接套用公式，将会得到错误的结果
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第38页：例：由F(s)求初值
例题：已知F(s)，试求初值。实际上：如果不加以分析而直接套用公式，将会得到错误的结果。
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第39页：终值定理
- 拉氏变换性质之八
- 终值定理
- 证明
- 根据时域微分性质，两边取s趋于零的极限
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第40页：终值定理的条件与例
- 条件是F(s)的极点都在s平面的左半平面，若在虚轴上有极点则只能在原点处有单极点，否则会得到错误结果
- 例题：已知F(s)，试求f(t)的终值
第41页：复频域微分性质
拉氏变换性质之九：复频域微分
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第42页：复频域积分性质
拉氏变换性质之十：复频域积分。
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第43页：其它性质与常用性质表
- 其它性质：时域卷积定理
- 复频域卷积定理
- 拉氏变换无对称性
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第44页：基本公式汇总
基本公式：复频域积分性质
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第45页：例：求下列函数的拉氏变换
例题：求下列函数的拉氏变换。
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第46页：拉氏变换常用公式
有下列公式可供本组例题使用。
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第47页：
第48页：例：求函数f(t)的拉氏变换（解法一）
- 例题：求图示函数f(t)的拉氏变换
- 解法一：按定义式求积分
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第49页：例：求函数f(t)的拉氏变换（解法二三）
- 解法二：利用线性和时移定理
- 解法三：利用时域微分性质
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第50页：例：求下列函数的单边拉氏变换
例题：求下列函数的单边拉氏变换。
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第51页：简单的拉普拉斯反变换
- 简单的拉普拉斯反变换：直接应用典型信号的拉氏变换对及拉氏变换的性质得到
- 例1
- 例2
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第52页：反变换例3与例4
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第53页：部分分式展开法
- 常见的拉氏变换式是s的多项式之比
- 如果N(s)的阶次高于D(s)的阶次，可用长除法将F(s)化成多项式与真分式之和
- 多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数
- 所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换
第54页：实根无重根的部分分式展开
- 当D(s)=0的根都是实根且无重根时，可将F(s)展开为若干一次分式之和
- 用遮挡法求各待定系数
- 例5
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第55页：有复根无重根的部分分式展开
- 当D(s)=0的根有复根且无重根时，可用配方法或部分分式展开法
- 右边第二项仍用前述方法展开为部分分式，再利用对应项系数相等的方法求得系数
第56页：例6：三种求系数的方法
例6：用遮挡法、配方法、对应项系数相等法求解。
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第57页：有重根时的部分分式展开
- 当D(s)=0的根有重根时，展开式中出现多重分式项
- 各系数可以通过对应项系数相等或公式法得到
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第58页：重根分式的拉氏反变换
依此类推，重根所对应的分式的拉氏反变换可通过频域微分性质得到。
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第59页：例7：含重根的反变换
例7：用遮挡法求得部分系数，再用对应项系数相等法求得其余系数。
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第60页：例：拉普拉斯反变换练习
例题：求下列函数的拉氏反变换。源文件未提取到该题的具体表达式与求解过程，建议对照原课件图片补充。
第61页：例8：利用时移性质求反变换
例题8：求下列函数的拉氏反变换。解：根据时移性质求解。
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第62页：反变换的配方法与长除法
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第63页：例9：拉普拉斯反变换
例题9：求下列函数的拉氏反变换。
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第64页：例10：拉普拉斯反变换
例题10：求所给函数的拉氏反变换。源文件未提取到该题的具体表达式与求解过程，建议对照原课件图片补充。
第65页：例11：拉普拉斯反变换
例题11：求所给函数的拉氏反变换。源文件未提取到该题的具体表达式与求解过程，建议对照原课件图片补充。
第66页：例：拉普拉斯反变换补充题
补充例题：求所给函数的拉氏反变换。源文件未提取到该题的具体表达式与求解过程，建议对照原课件图片补充。
第67页：连续系统的复频域分析法
- 拉普拉斯变换分析法把时域中的微分方程变换为s域中的代数方程
- 由于变换时引入了初始状态，能分别求解零输入响应和零状态响应或直接求全响应
- 不仅可以分析稳定系统，也可以分析不稳定系统
- 也可直接从电路求解
第68页：微分方程的复频域分析法
- 以二阶常系数线性微分方程为例，设激励为有始信号
- 对微分方程两边取拉氏变换，利用时域微分性质整理成代数方程
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第69页：
第70页：例4-6-1 复频域求解系统响应
例题4-6-1：系统的微分方程已知，对微分方程取拉氏变换求得响应。
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第71页：
第72页：电阻元件的复频域模型
- 已知电路时可根据复频域电路模型直接列写求解响应的代数方程
- 电路元件的复频域模型之一：电阻元件
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第73页：电容元件的复频域模型
电路元件的复频域模型之二：电容元件，其模型中包含反映初始电压的内电源。
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第74页：电感元件的复频域模型
- 电路元件的复频域模型之三：电感元件
- 注意内电源的方向
- 串联模型中元件上的电压为复频阻抗上的电压与内电压源的电压之和
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第75页：用复频域模型求解响应的步骤
- 电路中的每个元件都用其复频域模型代替，初始状态转换为相应的内电源
- 信号源及各变量用其拉氏变换式代替
- 画出电路的复频域模型
- 应用电路分析的各种方法和定理求解响应的变换式
- 反变换得响应的时域表达式
第76页：例：由复频域模型求响应
例题：画出复频域模型如图所示，由KVL列方程求得响应。
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第77页：零状态响应零输入响应与全响应
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第78页：例：列节点方程求响应
例题：电路的复频域电路模型如图所示，列节点方程求解。
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第79页：代入数据整理方程
代入数据整理得响应的变换式。
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第80页：系统函数与零状态响应
系统函数与零状态响应：零状态下响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比定义为系统函数。
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第81页：
第82页：
第83页：
第84页：系统函数的求法
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第85页：例：由微分方程求系统函数
- 例题：已知系统的微分方程，试求该系统的系统函数
- 解法一：在零状态条件下对微分方程两边取拉氏变换
- 解法二：先求得冲激响应再取拉氏变换
第86页：例：由电路求系统函数
例题：试求图示电路的系统函数。解：画出电路的零状态复频域模型，利用该模型求解。
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第87页：系统框图的基本联接方式
- 一个总系统由一些子系统按照一定的方式连接而成，当各子系统的系统函数已知时可通过框图化简求得总系统函数
- 基本联接方式：级联
- 并联
第88页：反馈联接
基本联接方式之三：反馈
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第89页：和点前移与和点后移
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第90页：分点前移与分点后移
- 其它化简规则：分点前移
- 分点后移
- 例4-7-3试用框图化简的方法求系统函数
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第91页：线性系统的复频域模拟
- 对微分方程取拉氏变换，设中间变量Q(s)使之满足方程
- 将时域模拟图中的积分器符号改为s^(-1)即可
- 例如二阶系统的复频域模拟图
第92页：例：由系统框图求网络函数和微分方程
例题：已知系统框图，试求网络函数和微分方程。解：设中间变量Q(s)如图所示，消去中间变量得系统函数，进而写出微分方程。
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第93页：系统函数的零点与极点
- 系统函数中使分子为零的zj称为零点，使分母为零的pk称为极点
- 系统函数的零、极点图是系统函数的另一种表示方法
- 零点用°表示，极点用×表示，重零点或重极点注以重数
- 实际系统的零极点一定是实数或成对出现的共轭复数
第94页：例：由零极点图写系统函数
例题：已知系统的零、极点图，并且该系统阶跃响应的终值为3，试写出系统函数的表达式。
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第95页：由零极点分布确定冲激响应模式
- 由系统函数零极点分布确定冲激响应模式：H(s)的所有极点都为单极点时的情形
- 极点在左半平面、虚轴与右半平面对应不同的响应模式
第96页：
第97页：n重极点时的冲激响应模式
若H(s)具有n重极点，则冲激响应的模式中将含有t^(n-1)因子。
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第98页：零点分布与假分式的影响
- H(s)零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应的模式没有影响
- 当H(s)为假分式时，应先化成多项式与真分式之和，多项式部分表示冲激响应中含有冲激函数及其各阶导数
第99页：由零极点分布确定全响应模式
- H(s)与系统的全响应模式之间的关系：H(s)的极点确定零状态响应中自然响应的模式
- X(s)的极点确定零状态响应中强制响应的模式
- 若H(s)的极点与X(s)的零点相同，自然响应会减少一项
- 若H(s)的零点与X(s)的极点相同，强制响应会减少一项
第100页：例：极点相同时的响应模式
例题：若H(s)与X(s)的极点相同，会增加一个新的分量，这两个相同极点所对应的分量是自然响应和强制响应合成的结果。
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第101页：零输入响应的模式
- 零输入响应的模式由系统特征方程的根确定
- 如果H(s)没有零极点相消，则特征方程的根就是H(s)的极点
- H(s)的零极点是否相消不影响零状态响应的模式
- 系统函数H(s)一般只用于研究系统的零状态响应
第102页：稳定系统各种响应之间的关系
- 全响应、零状态响应、零输入响应、强制响应、自然响应、稳态响应、瞬态响应之间的关系
- 在计算零状态响应时分子分母公因子可以相消，在计算零输入响应时分子分母公因子不能相消
第103页：由系统函数的极点判别稳定性
- 稳定系统：对于有界的激励产生有界的响应的系统
- 由系统函数的极点判别系统的稳定性
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第104页：系统稳定性的判别准则
- 稳定系统
- H(s)的所有极点均位于s左半平面
- 临界稳定系统
- H(s)在虚轴上（包括原点）有一阶极点，其余极点均在左半平面
- 不稳定系统
- H(s)有位于s右半平面的极点，或在虚轴上（包括原点）有二阶以上的极点
第105页：例4-9-2 反馈系统的稳定性
例题4-9-2：如图所示反馈系统，已知其子系统的系统函数，试问常数K满足什么条件时系统是稳定的。解：求出系统函数的极点，令其都在左半平面，解得K<2。
第106页：第四章本章要点
- 典型信号的拉普拉斯变换
- 拉普拉斯变换的性质
- 拉普拉斯反变换：直接应用变换对与性质、部分分式展开法（遮挡法、对应项系数相等法、配方法）
- 连续系统的复频域分析：从微分方程与电路复频域模型求解系统函数及全响应、系统框图化简与复频域模拟
- 系统函数的极点与冲激响应的模式
- 由系统函数的极点判别系统的稳定性
第107页：第四章作业
- 4.1、4.2
- 4-1(1)
- 4.3
- 4-2(a)，4-4⑵，4-5⑵，4-8⑶，4-9⑵⑶，4-10⑵⑷
- 4.4
- 4-11⑴⑶，4-12⑵⑹，4-13⑶
- 4.6
- 4-15⑵，4-17，4-33
- 4.7
- 4-22⑵，4-23，4-28，4-34，4-40
