第1页：第五章 离散信号与系统的时域分析
本页为《信号与系统》第五章封面，标示本章主题为离散信号与系统的时域分析。
本页结论以公式或波形给出，源文件未提取到公式文本，详见原课件图示。
第2页：第五章内容导读
- 离散信号与系统的分析方法概述
- 5.1 离散时间信号
- 5.2 离散系统的数学模型和模拟
- 5.3 离散时间系统的零输入响应
- 5.4 离散系统的零状态响应
- 本章要点
- 作业
第3页：离散信号与系统分析方法概述
- 离散时间系统是传输和处理离散时间信号的系统，如数字计算机、数字通信系统、数字控制系统
- 其数学模型是差分方程，分析方法有时域、频域、Z域分析法
- 离散信号与系统的时域分析：整个分析过程都在离散时间域内进行
第4页：离散时间信号的概念
- 模拟信号
- 时间与幅度取值都连续
- 量化信号
- 时间连续、幅度不连续
- 离散信号
- 时间不连续、幅度连续
- 数字信号
- 时间与幅度取值都不连续
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第5页：离散信号的几点说明
- 离散信号只在离散的时刻上有定义
- 离散信号可以看作在满足奈奎斯特抽样率的条件下对连续信号进行理想抽样的结果
- 离散信号在数学上可以表示为数值的序列
- 序列不一定是时间的函数
第6页：离散信号的表示方法
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第7页：序列的分类
- 双边序列：序列f(k)对所有的整数k都存在确定的非零值
- 有始序列（右边序列）
- 有终序列（左边序列）
- 有限序列
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第8页：序列的相加与相乘
- 序列相加
- 两个序列同序号的数值逐项对应相加
- 序列相乘
- 两个序列同序号的数值逐项对应相乘
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第9页：
第10页：序列的移位与折迭
- 序列移位
- f(k)右移m位成f(k-m)，左移m位成f(k+m)
- 序列折迭
- f(-k)
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第11页：序列的差分
- 序列差分对应于连续信号的微分
- 一阶前向差分
- 二阶前向差分
- 一阶后向差分
- 二阶后向差分
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第12页：序列的求和（累加）
序列的求和（累加）对应于连续信号的积分。
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第13页：单位函数及其性质
- 常用的离散信号之一：单位函数
- 筛选特性
- 加权特性
- 应用此性质可以把任意离散信号f(k)表示为一系列延时单位函数的加权和
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第14页：单位阶跃序列
常用的离散信号之二：单位阶跃序列
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第15页：斜变序列与正弦序列
- 常用的离散信号之三：斜变序列
- 之四：正弦序列
- 正弦序列不一定是周期序列
- 当2π/Ω0为正整数时为周期序列且周期为N
- 当2π/Ω0为有理数时为周期序列
- 当2π/Ω0为无理数时为非周期序列
第16页：指数序列
- 常用的离散信号之五：指数序列
- 若A和β均为实数则为实指数序列
- 若A=1则为虚指数序列，其实部和虚部都是正弦序列
- 当Ω0/2π为有理数时虚指序列才是周期序列
第17页：一般形式的复指数序列
若A和β均为复数，则为一般形式的复指数序列，其实部和虚部均为变幅的正弦序列。
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第18页：Z序列
- 常用的离散信号之六：Z序列
- 取z为极坐标形式后与复指数序列相比只是A=1的情形
- Z序列和复指数序列只是表示形式不同，并无本质差别
第19页：离散系统的差分方程模型
- 线性时移不变离散系统的数学模型为常系数线性差分方程
- 各序列的序号自k以递增方式给出，称前向（或左移序）差分方程
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第20页：后向差分方程
- 另一种形式：各序列的序号自k以递减方式给出，称后向（或右移序）差分方程
- 差分方程的阶数是输出序列最高序号与最低序号之差
- 前向与后向差分方程可以相互转换
- 求解n阶差分方程需要n个独立的初始条件
第21页：例：质点行程的差分方程
例题：一质点沿水平作直线运动，它在某一秒内所走的距离等于前一秒内所走距离的2倍，试列出描述该质点行程的方程。
本页为例题，源文件未提取到公式与推导过程，完整求解见原课件图示。
第22页：例：银行存款的差分方程
例题：每月存入银行A元，设月息已知，试确定第k次存款后应有的存款额y(k)的方程。
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第23页：例：梯形网络的差分方程
- 例题：梯形网络如图，试列写节点电压v(k)的差分方程
- 第k个节点的KCL方程整理即得
- 注意离散自变量k并不表示时间，而是代表网络中的节点序号
第24页：差分方程与微分方程的关系
- 设时间间隔T足够小，当t=kT时微分方程可以近似为差分方程
- 数字计算机正是根据这一原理将微分方程近似为差分方程再进行计算
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第25页：离散系统的运算单元
- 离散时间系统的模拟：加法器和标量乘法器的功能和符号与连续系统相同
- 延时器与积分器相对应
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第26页：二阶系统的模拟
二阶系统的模拟图。
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第27页：一般二阶系统与高阶系统的模拟
一般二阶系统的模拟
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第28页：例：由差分方程画模拟图
- 例题：已知系统的差分方程，试画出其模拟图
- 由差分方程画模拟图的方法很多
- 注意模拟图中激励必须是x(k)、响应必须是y(k)
- 不规范画法会多用延时器
第29页：例：由模拟图写差分方程
例题：某离散系统如图所示，试写出其差分方程。解：由模拟图对加法器列方程即得。
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第30页：求解离散系统响应的方法
- 求解离散系统响应的方法：迭代法，一般只能得到数值解
- 时域经典法，求齐次解与特解
- 求解齐次差分方程得零输入响应，利用卷积分析法求零状态响应
- Z变换分析法
第31页：迭代法
迭代法求解齐次差分方程可以相继算出各时刻的值，一般只能得到数值解而不易得到闭式解。
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第32页：经典法与特征方程
经典法求解齐次差分方程：代入指数形式解可得特征方程，其根称为特征根
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第33页：例：Fibonacci数列的差分方程
例题：某数列的首项为0、次项为1，第3项以后各项的数值等于其前两项数值之和，试建立差分方程并求解。
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第34页：特征方程有重根时的齐次解
当特征方程有重根时，设r1为m重根，齐次解中相应的m项具有特定的形式。
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第35页：特征方程有共轭复根时的齐次解
当特征方程有共轭复根时，齐次解可以写成实形式或复形式。
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第36页：例：求差分方程的齐次解
例题：求差分方程的齐次解。解：写出齐次方程与特征方程，求得特征根后代入初始条件确定系数。
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第37页：例5-3-3 零输入响应的初始条件
- 注意：确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态引起的初始条件
- 初始条件为n个任意时刻的响应值，故零输入响应的表达式不再加写后缀k>0
- 例题中y(2)、y(1)、y(0)和y(-1)与激励无关
第38页：例5-3-3 第三个零输入条件的确定
例题续：在差分方程中令k=0可见y(3)与激励有关，是初始储能和激励共同引起的，不能用来确定零输入响应的待定系数
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第39页：离散信号的分解与卷积和
- 设单位函数响应为h(k)，根据线性和时不变性可得零状态响应
- 用卷积符号记为卷积和或离散卷积
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第40页：卷积和的运算律与求和限
- 卷积和的代数运算与卷积积分相同，也服从交换律、分配律和结合律
- 确定求和限的一般公式由两序列各自的起始序号决定
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第41页：卷积和的图解法步骤
- 图解法步骤：换元
- 折叠h(-n)
- 移位h(k-n)
- 相乘x(n)h(k-n)
- 求和
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第42页：
第43页：不进位乘法（序列阵表格法）
- 计算卷积和的方法之二：不进位乘法，又称序列阵表格法
- 把两序列排成阵列后按对角线求和
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第44页：有限序列卷积和的特点
- 设x(k)和h(k)的非零项数分别为nx和nh，则卷积结果的非零项数为nx+nh-1
- 始终序号为两序列始终序号之和
- 两序列所有项之和的乘积等于卷积结果所有项之和，可用来检验计算结果
第45页：解析法求卷积和
计算卷积和的方法之三：解析法。
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第46页：单位函数响应的直接求解法
单位函数响应的求解方法之一：直接求解法。
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第47页：单位函数响应的间接求解法
单位函数响应的求解方法之二：间接求解法。
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第48页：
第49页：离散时间系统的全响应
例题：某离散时间系统由下列差分方程描述，先求零输入响应，再求零状态响应，叠加得全响应。
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第50页：
第51页：
第52页：第五章本章要点
- 离散信号的基本运算：相加、相乘、移位、折叠、差分、求和
- 常用的离散信号及其表示方法：单位函数的性质及其与单位阶跃序列的关系、Z序列
- 离散系统的差分方程与离散系统的模拟
- 离散系统的零输入响应：经典法求解齐次差分方程
- 离散系统的零状态响应（离散卷积）：图解法、不进位乘法、解析法，单位函数响应的直接法与间接法
- 离散系统的全响应
第53页：第五章作业
- 5.1-5.2
- 5-2⑶，5-3⑵⑸，5-6，5-7，5-8(b)，5-12⑶，5-23
- 5.3
- 5-14⑵
- 5.4
- 5-15⑴，5-17，5-18⑴，5-20⑶，5-24
