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本课件进入频域分析，先给出z变换定义与四类序列的收敛域，再讲解留数法、幂级数法与部分分式法求z反变换，梳理主要性质定理，最后给出系统函数与频率响应的几何确定法。
第3章z变换及离散系统的频域分析：本章课件封面，标注课程名称、任课教师与授课班级信息。
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本章学习要点
引言1信号与系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。对于连续时间信号与系统而言，为了在频域进行分析，常用的分析方法有拉普拉斯变换和傅里叶变换。而在离散时间信号与系统中，常用的频域分析方法是z变换和序列傅里叶变换。
本章我们将学习z变换和序列的傅里叶变换，以及利用z变换来分析离散时间信号与系统的频域特性。
的定义式中z为一复变量。由于n取值范围是(–∞,+∞)，故称为双边z变换。如果n的取值范围是(0,+∞)，则称为单边z变换：3.1
的收敛域对于任意给定序列x(n)，使其z变换收敛的z平面上所有z值的集合称为z变换的收敛域。收敛域一般用环状域来表示，其中取值可为零，取值可为无穷大，如图所示。序列x(n)的z变换绝对收敛的条件是绝对可和，即
讨论几类序列的收敛域1.有限长序列其z变换为可以看出，X(z)的收敛域与n1和n2有关，此时X(z)是有限项级数，因此只要级数每项有界，则有限项之和也有界。设序列x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值有关外，整个z平面都收敛，即有限长序列的收敛域至少为0<|z|<∞。
下面分四种情况来考虑其收敛域。1)当n1<0且n2>0时可见，其中第一项除在z=∞情况外都收敛，第二项除在z=0情况外都收敛，此时收敛域为0<|z|<∞。2)当n1<0且n2<0时除了在z=∞处都收敛，此时收敛域为0≤|z|<∞。
)当n1>0且n2>0时除了在z=0处都收敛，此时收敛域为0<|z|≤∞。4)当n1=n2=0时序列x(n)=δ(n)时，X(z)=1。收敛域为全z平面，即0≤|z|≤∞。
例3.1序列如图3.8所示，求其z变换及收敛域。
解这是一个有限序列，其z变换为其收敛域为0<|z|≤∞，即除原点之外的整个z平面，如图3.9所示。图3.8序列图3.9序列的收敛域
12.右边序列右边序列是指在n≥n1时，序列值不全为零，而在n<n1时序列值为零的序列。当n1<0时，其z变换为第一项为有限长序列，其收敛域为；第二项为z的负幂级数，其收敛域为,即以为半径的圆外，其中。只有两项都收敛时，该z变换才收敛。
一般而言，右边序列的收敛域为。
当时，此时的右边序列就是因果序列，其收敛域为。
例3.2求序列的z变换及收敛域。
解这是一个右边序列，其z变换为只有当时，即，该序列才收敛。此时只有当收敛域为，即半径的圆外部分。收敛域为
13.左边序列左边序列是指在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2时，序列值为零的序列。当n2>0时，其z变换为式(3.7)中，第二项为有限长序列，其收敛域；第一项为z的正幂级数，其收敛域为,即以为半径的圆内。只有两项都收敛时，该z变换才收敛。
一般而言，左边序列的收敛域为。当时，其收敛域为。式(3.7)中，第二项为有限长序列，其收敛域为,即以。当。
例3.3求序列的z变换及收敛域。
解这是一个左边序列，其z变换为显然，只有当时，即，该序列才收敛。
因此其收敛域为，即半径的圆内部分图3.11收敛域
4.双边序列双边序列是指n为任意值，x(n)均不为零的序列。可看作为一个左边序列和一个右边序列之和，其z变换为只有当时，双边序列z变换才存在，其收敛域为，即为一环状域。若，则无公共收敛域，不存在。
例3.4已知双边序列，b为实数，求X(z)。
解这是一个双边序列，其z变换为
(1)若，则存在公共收敛域(2)若，则不存在公共收敛域，X(z)不存在。
本页源文件仅保留章节页眉「z变换」，未提取到正文文字，页面以图示为主。建议对照原课件图片补充本页要点说明。
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序列x(n)的z变换及z反变换表达为其中c是在X(z)的收敛域内一条绕原点的逆时针闭合单围线。求z反变换的方法通常有留数法、幂级数法和部分分式法三种。
3.2.1留数法若X(z)是z的有理函数，利用留数定理来计算围线积分。其中X(z)zn-1须在围线上连续，在围线以内有K个极点zk，而在围线以外有M个极点zm。则有或注意在公式(3.12)中，必须满足X(z)zn-1的分母多项式z的阶次要比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。
(3.12)(3.11)
zk是X(z)zn-1的极点，其对应的留数计算方法是：(1)zk是X(z)zn-1的单阶极点(2)zk是X(z)zn-1的l阶极点
例3.5，设收敛域，试用留数法求x(n)。
解由收敛域可知x(n)是一个右边序列。式中，围线c是半径大于2的围线，如图3.13所示。图3.13例3.5的围线
从X(z)zn-1的表达式可以看出，当时，有两个一阶极点和，当时有两个一阶极点和及n阶极点。当时，
当时，可用式(3.12)求留数，其留数为零。
所以或
3.2.2幂级数法把X(z)按z-1展成幂级数，即，其级数的系数就是序列x(n)。常用方法有按幂级数公式展开法和长除法。
3.2.3部分分式法部分分式法是将X(z)表达式展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的z反变换，最后把各z反变换相加即可得到。即则
例3.11若已知，设收敛域，试用部分分式法求x(n)。
解由X(z)的表达式可以看出，存在和两个单阶极点。
所以查表3-1，可得到
．线性若则有2．序列的移位若则有
．序列的翻褶若则有4.乘以指数序列若则有
35.序列乘以若则有6.复序列的共轭若则有
37.初值定理若x(n)为因果序列，则有8.终值定理如果x(n)为因果序列，且X(z)的极点在单位圆以内(单位圆上最多在处有一阶极点，即允许在单位圆上有一个极点)，则有
39.序列的卷积(时域卷积定理)若，则即收敛域等于两个收敛域的重叠部分。如果Y(z) =X(z)H(z)存在零极点相消情况时，收敛域会扩大。10．z域复卷积定理若，则，其中v是平面上的公共收敛域内绕原点逆时针一周的封闭围线。
311.帕斯维尔定理若，，且，则其中闭合积分围线c在公共收敛域内。
几点说明：(1)若为实序列，有；(2)当围线取单位圆时，由于，即，有(3)若，则会有，这表明信号在时域中的能量与频域中的能量是相同的。
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与拉普拉斯变换的关系设为连续信号，为其理想采样信号，则的拉普拉斯变换为即而序列的z变换为
可以看出，当时，序列x(n)的z变换就等于理想采样信号的拉普拉斯变换。即又由于所以式(3.31)说明，在时域采样信号的拉式变换是连续时间信号拉氏变换在s平面上沿虚轴的周期延拓。
结合式(3.28)和式(3.31)可知连续时间信号的拉普拉氏变换与离散时间信号x(n)的z变换之间的关系为
和傅里叶变换的关系由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例,因而映射到z平面上为单位圆。
因此也就是说，采样序列在单位圆上的z变换，就等于理想采样信号的傅里叶变换。式(3.30)也可写成即采样序列的频谱是连续信号频谱以为周期的周期延拓。
序列的傅里叶变换定义为常用表示序列的傅里叶变换。序列的傅里叶反变换定义为常用表示序列的傅里叶反变换。
序列的傅里叶变换是具有周期性的。可以看出，是以为周期的周期性函数。
因此在绘制图形时，一般只需在或区间上标注即可。
序列傅里叶变换的性质
系统函数线性移不变系统，可用单位脉冲响应h(n)来表示，即等式两边取z变换，有Y(z) =X(z)H(z)即H(z)称为线性移不变系统的系统函数。
系统函数和差分方程一个N阶线性移不变系统，其常系数差分方程表示的一般形式为两边取变换，有系统函数H(z)的分子、分母多项式中的系数与差分方程中的系数是一致的。
还可以表示为其中，cm为H(z)的零点，dk为H(z)的极点，K为比例常数。从表达式可以看出，系统函数也可由系统的零、极点来确定。
例3.17差分方程，且，，，求。
解对已知的差分方程两边取变换，有代入已知条件，得到因此取z反变换，得到
因果稳定系统因果系统是单位脉冲响应为因果序列的系统。而因果序列的收敛域是，因此因果系统的收敛域是半径为的圆的外部(包含无穷)。系统稳定的充要条件是系统的单位脉冲响应h(n)满足绝对可和，即而系统函数H(z)的收敛域是满足的那些z值确定的区域。
也就是说，系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，则系统是稳定的，反之亦然。
综合上述两点，因果稳定系统是指其系统函数H(z)的收敛域为单位圆的外部，即这也说明系统函数的所有极点必须在单位圆内。
例3.18已知某系统单位脉冲响应，分析其因果性和稳定性。
解当n<0时，u(n)=0，有h(n)=anu(n)=0，因此系统具有因果性。又因为所以，当|a|<1时，有系统有界，具有稳定性。当|a|>1时，有系统发散，不具有稳定性。
例3.19已知某系统函数，分析其因果性和稳定性。
解根据系统函数可知，H(z)的极点为z1=0.5和z2=2。下面分三种情况讨论。(1)当收敛域，该系统是因果系统。由于其收敛域包含无穷但不包含单位圆，所以不是稳定系统。对应的单位脉冲响应，这是一个因果序列，同时又是发散的序列。
(2)当收敛域，该系统不是因果系统。由于其收敛域包含单位圆，所以是稳定系统。单位脉冲响应，这是一个非因果但收敛的双边序列。
(3)当收敛域，该系统不是因果系统。由于其收敛域不包含单位圆，所以也不是稳定系统。
系统频率响应的几何确定法将z=ejω代入上式，得到系统的频率响应为为将分析问题简单化，令N=M且K=1，则化简为
其中在z平面上，式是由零点指向单位圆上任意点的向量，用表示；而是由极点指向单位圆上任意点的向量，用表示，如图3.18所示。图3.18频率响应的几何确定法
则式(3.76)说明，系统频率响应的幅度是等于各零点到的长度之积除以各极点到的长度之积；而式(3.77)说明，系统频率响应的相角是等于各零点到的相角之和减去各极点到的相角之和。即系统的频率响应可由式(3.76)和(3.77)来确定。
当频率从零变化到，相当于各个向量沿着单位圆逆时针旋转一周。我们可由上两式来估算出系统频率响应的幅度特性和相角特性。如图3.19，表示具有一个零点和两个极点的系统的幅度响应。图3.19系统的幅度响应
下面我们来研究零极点位置对系统幅度响应的影响。(1)若某个极点在附近，则长度变短，系统模的幅度增大；极点越接近单位圆，系统模的幅度更大，其峰值越尖锐；极点正好在单位圆上，为零，系统模的幅度为无穷大，系统处于谐振状态；极点在单位圆外，则系统不稳定。
(2)若某个零点在附近，则长度变短，系统模的幅度减小；零点越接近单位圆，系统模的幅度更小，系统幅频响应接近谷值；零点正好在单位圆上，为零，系统模的幅度为零；零点在单位圆外，对系统的稳定性没有影响。
设某一系统由差分方程y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)描述。(1)求系统的系统函数H(z)，并画出零极点分布图。(2)限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。(3)限定系统是稳定的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。
(4)求出系统的频率响应并画出响应的幅频特性曲线。(5)设输入x(n)=δ(n)+δ(n-1)，且系统因果的条件下，求输出y(n)。
解(1)对差分方程两边求z变换可得所以其中，零点为，极点为，其零极点图如图3.20(a)所示。(2)若限定系统是因果的，则收敛域为当n<0时，h(n)=0当n≥0时，
综合以上结果得（3）若限定系统是稳定的，则收敛域包括单位圆，为当n≥0时，围线C内只有一个极点当n<0时，围线C内只有两个极点
综合以上结果，可得（4）系统的频率响应为其幅频响应曲线如图3.20(b)所示。
设输入x(n)=δ(n)+δ(n-1)，在系统因果的条件下对应的输出
Matlab程序den=[1-1-1];num=[0 1];subplot(211)zplane(num,den) %求系统函数的零、极点axis([-1 2-1 1])grid on[h,w]=freqz(num,den)subplot(212)plot(w,20*log(abs(h)))grid on下载地址：{{downurl}}
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