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本课件为第五章虚功原理与结构位移计算：先由刚体体系的虚力原理导出位移计算公式，再给出单位荷载法的一般公式与适用范围，随后分别讨论荷载与温度作用下的位移计算、图乘法的应用条件与处理方法，最后给出四个互等定理。
第5章 虚功原理与结构位移计算：讨论应用虚力原理求刚体体系的位移、位移计算的一般公式（单位荷载法）、荷载与温度作用下的位移计算、图乘法以及互等定理。
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移——一、推导位移计算一般公式的基本思路：
基本思路是“化整为零和积零为整”。推导位移计算公式的两种途径：由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导（局部到整体）。
二、结构位移计算概述
静定结构各点产生位移时，结构内部是否也同时产生应变？
三、虚力原理：虚设力系状态，由平衡条件求反力，建立虚功方程求位移。
四、支座位移时静定结构的位移计算：求（1）C点的竖向位移；（2）杆CD的转角。
求解步骤：
§5-2 结构位移计算的一般公式——单位荷载法
设静定结构中某个微段出现局部变形（由于制造误差或其他原因造成的拉伸、剪切、弯曲变形），微段两端相邻截面出现相对位移，而结构其它部分没有变形、仍旧是刚体。
虚力法／单位荷载法：求何施加单位力，虚力方程解位移。
例1：悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角dθ，试求A点在i－i方向的位移。
例2：悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪切位移dη，试求A点在i－i方向的位移。
由虚功方程分别求得相应位移。
例3：悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移dλ，试求A点在i－i方向的位移。
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移Δ，即是三者的叠加。
二、局部变形时的位移计算公式——基本思路：在刚性杆中取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移，包括轴向、剪切与弯曲三种变形。
（2）微段两端相对位移：设微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚力原理求位移。
（3）应用刚体虚力原理求位移 dΔ，即前例的结论。
三、结构位移计算的一般公式
单位荷载法适用范围与特点：
口诀：“求何施加单位力，虚力方程解位移。”
位移计算公式也是变形体虚力原理的一种表达式。
变形体虚力原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和W_i，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和W_e，即 W_e = W_i。
四、位移计算的一般步骤：
作功的两方面因素：荷载、位移。与力有关的因素称为广义荷载F，与位移有关的因素称为广义位移Δ，二者的乘积是虚功，即 W = FΔ。
§5-3 荷载作用下的位移计算（研究对象：静定结构、线性弹性材料）。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。
二、各类结构的位移计算公式：
§5-4 荷载作用下的位移计算举例（积分法）：以下各例用积分法求静定结构在荷载作用下的位移。
例1：试计算悬臂梁A点的竖向位移。
1）列出两种状态的内力方程：实际变形状态（q作用）与虚设力系状态（P=1），分AC段、CB段写出。
2）将上面各式代入位移公式分段积分计算：AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零，只需对CB段积分。
CB段：设为矩形截面，取截面形状系数 k = 1.2，代入上式得剪切变形与弯曲变形引起的位移值。
3）讨论：比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比由材料力学公式给出，设矩形截面的宽度为b、高度为h，代入上式可知剪切变形的影响随 h/l 增大而增大，一般情况下可以忽略。
例2：计算屋架顶点的竖向位移。屋架跨度分为 0.25l 四段，各杆在实际荷载下的轴力与虚设状态（P=1）下的轴力分别标注（如 1、1.5、－4.74、－4.42、－0.95、4.5、－1.58 等）。
承接例2：本页列出材料（钢筋砼、钢）、杆件（AD、DC、DE…）、截面面积A与弹性模量E等参数，用于按 Δ = Σ N·N̄·l /EA 计算顶点位移。
例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。
结论：剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计，但对于深梁，剪切变形引起的位移不可忽略。
例4：求图示等截面梁B端转角。
习题：5-8，9，10。
§5-5 图乘法（Graphic Multiplication Method）
由 ∫ M_i·M_k /EI ds 化为 (1/EI)·A·y_0，其中 y_0 = x_0·tanα。
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位置：
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：
例：求梁B点转角位移；例：求梁B点竖向线位移。
例：求图示梁中点的挠度；例：求图示梁C点的挠度。
按 A·y_0/EI 计算，简支梁跨中集中力作用下跨中挠度为 Pl³/48EI。
⑦ 非标准图形乘直线形——a）直线形乘直线形：
通用公式 S = (l/6)(2ac + 2bd + ad + bc)，各种直线形乘直线形都可以用该公式处理；竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。
算例：S = 9/6×（2×6×2 + 2×4×3 + 6×3 + 4×2）= 111。
算例（续）：
b）非标准抛物线乘直线形：例——预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。
承接上页：折减抗弯刚度 0.85EI = 3.6465×10⁴ N·m²，q = 625 N/m，尺寸 2.2m、0.8m。
本页给出M_P图的分块 A₁、A₂、A₃ 及其形心处对应的竖标 y₁、y₂、y₃。
M_P图分为 ql²/2、ql²/8 等标准块，y₁ = 2l/3、y₂ = l/3、y₃ = 2l/3；
Δ = (1/0.85EI)(A₁y₁ + A₂y₂ + A₃y₃)，另含轴力项 Σ N·N̄·l /EA。
例题：求AB两点的相对水平位移。结构跨度6m、3m、3m，承受6 kN集中力与2 kN/m均布荷载，EI = 常数。
本页给出按图乘法列出的位移计算式与结果。
练习：4 kN、4 kN·m、2 kN/m、12 kN·m，跨度4m、4m，求 θ_B；另有简支梁求B点竖向位移。
例题：梁AB分为两段，刚度分别为 2EI 与 EI，承受均布荷载q，求B点的竖向位移。
按分段图乘并叠加，得 Δ_B = ql⁴/EI × 相应系数（图中给出 y_0 的取法）。
例：试求等截面简支梁C截面的转角。M_P 图含 ql²/8、ql²/25 等分块，虚设 m = 1。
由图乘得 θ_C = 33ql³/(100EI)。
§5-6 温度作用时的位移计算：
该公式仅适用于静定结构。
例：求图示刚架C点的竖向位移，各杆截面为矩形（尺寸a、a、h）。
代入公式计算，得到C点竖向位移（结果含 α·a 与 α·a²/h 两项）。
习题：5-17，19，24，29，30。
应用条件：1）线弹性，应力与应变成正比；2）变形是微小的，即线性变形体系。
一、功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功W₁₂等于状态②的外力在状态①的位移上作的功W₂₁，即 W₁₂ = W₂₁。
二、位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P₁所引起的与荷载P₂相应的位移影响系数δ₂₁等于由荷载P₂所引起的与荷载P₁相应的位移影响系数δ₁₂；或者说，由单位荷载P₁=1所引起的与荷载P₂相应的位移δ₂₁等于由单位荷载P₂=1所引起的与荷载P₁相应的位移δ₁₂。
注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移；2）δ₁₂与δ₂₁不仅数值相等，量纲也相同。
三、反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c₁所引起的与位移c₂相应的反力影响系数r₂₁等于由位移c₂所引起的与位移c₁相应的反力影响系数r₁₂。
注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力；2）反力互等定理仅用于超静定结构。
四、位移反力互等定理：由单位位移Δ₁ = 1所引起的与荷载P₂相应的位移，等于由单位荷载P₂ = 1所引起的与位移Δ₁相应的反力，但符号相反。
例：已知图①结构的弯矩图，求同一结构②由于支座A的转动引起C点的挠度。
另一例：图示同一结构的两种状态，Δ = θ_A + θ_B。
已知图a梁支座C上升0.02m引起的 Δ_D = 0.03m/16，试绘图b的M图。
由 W_ab = 0 = W_ba = P·Δ_D + R_C·Δ_C，得 R_C = －3P/32。
§5-10 小结
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