14 第14章 虚位移原理.pptx

第1页：虚位移原理引言

在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化得出刚体的平衡条件。在这一章里，将介绍普遍适用于研究任意质点系平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件，该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，将它与达朗伯原理相结合，就可得到解答动力学问题的动力学普遍方程。

第2页：第14章目录

• §14-1 约束及其分类
• §14-2 自由度广义坐标
• §14-3 虚位移和虚功
• §14-4 理想约束
• §14-5 虚位移原理

第3页：约束与约束方程

约束

限制质点或质点系运动的各种条件称为约束；将约束的限制条件以数学方程表示，则称为约束方程。

例如：平面单摆、曲柄连杆机构。

第4页：几何约束与运动约束

• 1、几何约束：限制质点或质点系在空间几何位置的条件，如平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件。
• 运动约束：当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时的约束条件，例如车轮沿直线轨道作纯滚动时。

第5页：定常约束与非定常约束

• 2、定常约束和非定常约束：约束条件不随时间改变的为定常约束；当约束条件与时间有关并随时间变化时称为非定常约束。
• 例如：重物 M 由一条穿过固定圆环的细绳系住，初始摆长 l0，以匀速 v 拉动绳子，约束方程 x²+y²=(l0–vt)² 中显含时间 t。

第6页：完整约束与非完整约束

• 3、完整约束：约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者虽有导数但可以经过积分运算化为有限形式。
• 非完整约束：约束方程中含坐标对时间的导数且不能积分消除，一般只能以微分形式表达。

第7页：单面约束与双面约束

• 4、单面约束和双面约束：在两个相对方向上同时限制运动的称为双面约束，只能限制单一方向运动的称为单面约束。例如刚杆 x²+y²=l²（双面），绳 x²+y²≤l²（单面）。
• 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束；非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。车轮沿直线轨道纯滚动是微分方程但可积分，仍为完整约束。

第8页：约束方程的一般形式

双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式由 s 个约束数目与 n 个质点个数确定。

第9页：自由度

自由度

确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系自由度的数目，简称自由度；对一个非自由质点系，受 s 个完整约束时有 3n–s 个独立坐标，自由度为 k=3n–s。

例如曲柄连杆机构中，确定其位置的四个坐标 xA、yA、xB、yB 须满足三个约束方程，因此有一个自由度。

第10页：广义坐标

一般地，受到 s 个约束、由 n 个质点组成的质点系，其自由度为 k=3n–s，通常 n 与 s 很大而 k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的 k 个相互独立的参数要比用 3n 个直角坐标和 s 个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数称为广义坐标，其选择不是唯一的，可取线位移也可取角位移。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。

第11页：曲柄连杆机构的广义坐标

例如曲柄连杆机构中，可取曲柄 OA 的转角 φ 为广义坐标；广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。

第12页：双锤摆的广义坐标

例如双锤摆：设只在铅直平面内摆动，有两个自由度，取广义坐标 φ、ψ。

第13页：广义坐标的一般表示

一般地，设有由 n 个质点组成的质点系，具有 k 个自由度，取 q1、q2、…、qk 为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径都可表为广义坐标的函数。

第14页：虚位移

虚位移

在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系在该瞬时的虚位移；虚位移可以是线位移，也可以是角位移，通常用变分符号 δ 表示。

第15页：虚位移与实位移的区别

• 实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。
• 实位移具有确定的方向，可能是微小值也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同方向。
• 实位移在一定时间内发生；虚位移只是纯几何概念，完全与时间无关。
• 在定常约束下微小实位移必然是虚位移之一；在非定常约束下微小实位移不再是虚位移之一。

第16页：虚位移关系的几何法

质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系，确定这些关系通常有两种方法：(一) 几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。

第17页：虚位移关系的解析法

(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，广义坐标分别有变分，各质点的虚位移在直角坐标上的投影可以表示为广义坐标变分的表达式。

第18页：例题1 机构虚位移分析（几何法）

[例1] 分析图示机构在图示位置时点 C、A 与 B 的虚位移（已知 OC=BC=a，OA=l）。解：此为一个自由度系统，取 OA 杆与 x 轴夹角 φ 为广义坐标。1、几何法。

第19页：例题1 解析法求解

2、解析法：将 C、A、B 点的坐标表示成广义坐标 φ 的函数，再对广义坐标 φ 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影。

第20页：虚功

力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功，记为 δW。

第21页：理想约束

理想约束

如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束反力的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束；质点系受有理想约束的条件由相应虚功和为零表示。

第22页：理想约束的典型例子

• 1、光滑支承面
• 2、光滑铰链
• 3、无重刚杆
• 4、不可伸长的柔索
• 5、刚体在粗糙面上的纯滚动

第23页：虚位移原理

虚位移原理

具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。

第24页：必要性证明

证明：(1) 必要性：质点系处于平衡时，选取任一质点 Mi 也平衡，对质点 Mi 的任一虚位移虚功为零；由于是理想约束，对整个质点系求和即得虚功和为零。

第25页：充分性证明

(2) 充分性：若虚功和为零而质点系不平衡，则至少有第 i 个质点不平衡，将沿该方向产生的实位移取为虚位移，则对质点系有虚功和大于零，与题设条件矛盾，故虚功和为零时质点系必处于平衡。

第26页：虚位移原理的应用

• 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；
• 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；
• 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；
• 4、求平衡构架内二力杆的内力。

第27页：例题1 椭圆规机构的平衡关系

例1 图示椭圆规机构，连杆 AB 长 l，杆重和滑道摩擦不计，铰链光滑，求在图示位置平衡时主动力大小 P 和 Q 之间的关系。解：研究整个机构，系统的所有约束都是完整、定常、理想的。

第28页：例题1 几何法求解

1、几何法：使 A 发生虚位移、B 发生相应虚位移，由虚位移原理得虚功方程，由虚位移的任意性即得 P 与 Q 的关系。

第29页：例题1 解析法求解

2、解析法：由于系统为单自由度，可取 φ 为广义坐标，由虚功方程对任意变分成立即得 P 与 Q 的关系。

第30页：例题2 双杆平衡位置

例2 均质杆 OA 及 AB 在 A 点用铰连接，并在 O 点用铰支承，两杆各长 2a 和 2b、各重 P1 及 P2，设在 B 点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角 φ 及 ψ。解：这是一个具有两个自由度的系统，取角 φ 及 ψ 为广义坐标，现用两种方法求解。

第31页：例题2 解法一

解法一：应用虚位移原理，代入 (a) 式即得虚功方程。

第32页：例题2 解法一结论

由于两个广义坐标的变分彼此独立，所以两式分别成立，由此解得 φ 及 ψ。

第33页：例题2 解法二（一）

解法二：先使 φ 保持不变而使 ψ 获得变分，得到系统的一组虚位移，代入虚功方程求解。

第34页：例题2 解法二（二）

再使 ψ 保持不变而使 φ 获得变分，得到系统的另一组虚位移，代入上式后即得另一关系式。

第35页：例题3 多跨静定梁支座反力

例3 多跨静定梁，求支座 B 处反力。解：将支座 B 除去，代入相应的约束反力后用虚位移原理求解。

第36页：例题3 求解过程

本页源文件未提取到正文文字，仅有图示，内容为多跨静定梁解除支座 B 后的虚位移图与求解过程，建议对照原课件图片补充本页要点说明。

第37页：例题4 滑套机构的力偶矩

例4 滑套 D 套在光滑直杆 AB 上，并带动杆 CD 在铅直滑道上滑动，已知 θ=0° 时弹簧等于原长，弹簧刚度系数为 5kN/m，求在任意位置（θ 角）平衡时加在 AB 杆上的力偶矩 M。解：这是一个已知系统平衡、求作用于系统上主动力之间关系的问题；将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故可以用虚位移原理求解。

第38页：例题4 虚功方程

选择 AB 杆、CD 杆和滑套 D 的系统为研究对象，由虚位移原理得虚功方程，据此求解力偶矩 M。

第39页：应用步骤 选取研究对象

• 以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。
• 若系统存在非理想约束（如弹簧力、摩擦力等），可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统。
• 若要求解约束反力，需解除相应的约束、代之以约束反力并计入主动力；应逐步解除约束，每次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。

第40页：应用步骤 受力分析与求解

• 2、正确进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和待求的约束反力。
• 3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。
• 4、应用虚位移原理建立方程。
• 5、解虚功方程求出未知数。