09 第9章 质点动力学基本方程.pptx

第1页：动力学引言 研究对象与力学模型

研究对象

研究物体的机械运动与作用力之间的关系。

质点

具有一定质量而不考虑其形状大小的物体，例如研究卫星轨道时的卫星、作平动时的刚体。

质点系

由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统；刚体是特殊的质点系（不变质点系）。

第2页：质点系分类与动力学基本问题

• 自由质点系：各质点的运动不受约束限制；非自由质点系：质点的运动受到约束限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型，包括刚体、弹性体、流体。
• 动力学分类：质点动力学、质点系动力学，质点动力学是质点系动力学的基础。
• 基本问题：第一类已知运动求作用力；第二类已知受力求运动；综合性问题已知部分力与部分运动求其余。例如已知主动力求运动，再由运动求约束反力。

第3页：第9章目录

• §9-1 质点运动微分方程
• §9-2 质点动力学两类问题

第4页：质点运动微分方程的矢量与直角坐标形式

§9-1 质点运动微分方程：将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。1、矢量形式；2、直角坐标形式（三个分量方程）。

第5页：自然形式与其他坐标形式

3、自然形式：沿切线与主法线方向列写。除以上三种基本形式外，还可有极坐标形式、柱坐标形式等。应用质点运动微分方程可以求解质点动力学的两类问题。

第6页：第一类问题与解题步骤

第一类问题

已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）。

解题步骤

①正确选择研究对象；②正确进行受力分析、画受力图（应在一般位置上分析）；③正确进行运动分析；④选择并列出适当形式的质点运动微分方程；⑤求解未知量。

第7页：例题1 起重机突然刹车

[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为 G 的重物，沿水平横梁作匀速运动，重物中心至悬挂点距离为 L；突然刹车，重物因惯性绕悬挂点 O 向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①选重物（抽象为质点）为研究对象；②受力分析如图所示；③运动分析：沿以 O 为圆心、L 为半径的圆弧摆动。

第8页：例题1 解答与拉力分析

④列出自然形式的质点运动微分方程；⑤求解未知量。[注] ①减小绳子拉力的途径：减小跑车速度或增加绳子长度。②拉力 Tmax 由两部分组成：一部分等于物体重量称为静拉力，一部分由加速度引起称为附加动拉力，全部拉力称为动拉力。

第9页：第二类问题与解题步骤

第二类问题

已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）。已知作用力可能是常力，也可能是时间、位置、速度或几种变量组合的函数。

解题步骤

①正确选择研究对象；②受力分析并判断力的性质，对变力建立力的表达式；③运动分析，并确定运动初始条件。

第10页：第二类问题的求解要点

④选择并列出适当的质点运动微分方程：如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量。⑤求解未知量：应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动初始条件求出质点的运动；如力是位置的函数，需进行变量置换。

第11页：例题2 填充机抛射

[例2] 煤矿用填充机进行填充，为保证充填材料抛到距离为 S=5 米、高 H=1.5 米的顶板 A 处，求：(1) 充填材料需有多大的初速度 v0？(2) 初速与水平的夹角 α0？解：属于已知力为常量的第二类问题，选择填充材料 M 为研究对象，M 作斜抛运动，列直角坐标形式的运动微分方程并积分。

第12页：例题2 解答

代入最高点 A 处的值，并将到达 A 点时 t、x=S、y=H 代入运动方程，即得发射初速度大小与初发射角。

第13页：例题3 第二宇宙速度

[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。取火箭（质点）为研究对象，建立坐标如图示，火箭在任意位置 x 处受地球引力 F 的作用，由此求任意位置时的速度。

第14页：例题3 第二宇宙速度结论

可见 v 随着 x 的增加而减小：若在某一位置 x=R+H 时速度减小到零，火箭将回落；若速度足够大，无论 x 多大火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返时的最小初速度即为第二宇宙速度。