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本章建立流体动力学的基本方程。先分析实际流体中一点九个应力分量与变形速度的关系，导出纳维尔—斯托克斯方程；对理想流体则得到欧拉运动微分方程与兰姆运动微分方程，并由此积分出欧拉积分与伯努利积分，形成伯努利方程；随后把伯努利方程推广到粘性流体总流，介绍文丘里管、皮托管与孔板流量计的测量原理，最后建立动量方程与动量矩方程，并导出叶轮机械基本方程。
本章主要内容：
通过 A 点取一微元直六面体流体微团，应力分量第一个角标表示应力所在平面的法线方向，第二个角标表示应力本身方向。假定法向应力都沿所在平面的内法线方向，切向应力在经过 A 点的三个平面上的方向与坐标轴方向相反，在其他三个面上则相同。
当 dx、dy、dz 趋于零时，这九个应力分量描述了 A 点的应力状态：p_xx、p_yy、p_zz 为法向应力，τ_xy、τ_yx 等为切向应力。
由达朗伯原理，作用在矩形六面体上的各力对通过质心 M 且与 z 轴平行的轴的力矩之和为 0。分析要点：
对过质心 M 且与 z 轴平行的轴列力矩平衡方程，化简得 τ_xy = τ_yx；同理 τ_xz = τ_zx，τ_yz = τ_zy。
因此九个应力只有六个是独立的，在实际流体内一点只存在三个独立的切向应力。由牛顿内摩擦定律 τ = μ·du/dy = μ·dφ/dt，速度梯度等于流体微团的角度变形速度。
假定流体的粘度为各向同性，把牛顿内摩擦定律推广到三维流动：
其中 e_x、e_y、e_z 为垂直于各相应轴的平面中角变形速度的一半。
在粘性流体中，由于粘性的影响，三个垂直的法向应力并不相等：
在流场中取一平行六面体的流体微团，由牛顿第二定律 ΣF = ma，在 x 方向有：ΣF_x = m·du_x/dt。
受力包括三个方向的法向应力差、六个切应力差以及质量力 f_x ρ dxdydz。
化简得以应力形式表示的实际流体的运动微分方程：
九个应力和三个速度均为未知数，仅靠运动微分方程和连续性方程难以求解。
将法向应力和切向应力与变形速度的关系式代入运动微分方程，并利用不可压流体的连续性方程 ∂u/∂x + ∂υ/∂y + ∂w/∂z = 0，以 x 方向为例得：
f_x − (1/ρ)∂p/∂x + ν∇²u = Du/Dt
y、z 方向形式相同，这就是纳维尔—斯托克斯方程；矢量形式为 f − (1/ρ)∇p + ν∇²V = DV/Dt，其中 ∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²，ν = μ/ρ。
圆柱坐标系 (r, θ, z) 下的纳维尔—斯托克斯方程包括 r、θ、z 三个分量方程，其中含 υ_r、υ_θ、υ_z 三个速度分量及其对 r、θ、z 的偏导数。
配套的应力关系式为：p_rr = p − 2μ ∂υ_r/∂r，p_θθ = p − 2μ[(1/r)∂υ_θ/∂θ + υ_r/r]，p_zz = p − 2μ ∂υ_z/∂z；切应力 τ_rθ = μ[r∂(υ_θ/r)/∂r + (1/r)∂υ_r/∂θ]，τ_θz = μ(∂υ_θ/∂z + (1/r)∂υ_z/∂θ)，τ_zr = μ(∂υ_z/∂r + ∂υ_r/∂z)；连续性方程为 ∂υ_r/∂r + (1/r)∂υ_θ/∂θ + ∂υ_z/∂z + υ_r/r = 0。
用纳维尔—斯托克斯方程求解紊流运动问题时，必须对方程求时均值：u = ū + u′，υ = ῡ + υ′，w = w̄ + w′，p = p̄ + p′。
压强项和粘性项为线性项，可直接时均化；惯性项为非线性项，时均后出现惯性切应力项，即脉动切应力项（又称雷诺应力项），如 −ρu′²、−ρu′υ′ 等。经过时均运算后的 N-S 方程即为雷诺方程，配合连续性方程 ∂u/∂x + ∂υ/∂y + ∂w/∂z = 0 使用。
对于理想流体，粘性为 0，N-S 方程退化为理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）：
矢量形式为 f − (1/ρ)grad p = DV/Dt，适用于可压缩流体和不可压缩流体的运动。
全导数展开有：
当流体处于静止状态时，Du/Dt = Dυ/Dt = Dw/Dt = 0，欧拉运动微分方程即退化为欧拉平衡微分方程 f − (1/ρ)∇p = 0。
圆柱坐标系 (r, θ, z) 下的欧拉运动微分方程为：
欧拉运动微分方程适用于理想流体的任何运动，但该方程中只有表示平移运动的线速度 u、υ、w，而没有表示旋转运动的角速度 ω_x、ω_y、ω_z。
欧拉运动微分方程的另一形式是兰姆运动微分方程。将①式左边改写：
du/dt = ∂u/∂t + ∂(V²/2)/∂x + 2(wω_y − υω_z)
同理可得 dυ/dt = ∂υ/∂t + ∂(V²/2)/∂y + 2(uω_z − wω_x)，dw/dt = ∂w/∂t + ∂(V²/2)/∂z + 2(υω_x − uω_y)。
代入欧拉方程得兰姆运动微分方程：
与欧拉方程比较，兰姆方程由于含有 ω_x、ω_y、ω_z，更容易看出流动特性：若三者均为零则流动无旋，若有一项不为零则流动有旋。
由于欧拉方程是非线性方程，对它积分在数学上还存在困难，目前仅对几种特殊流动可以积分，最常见的是定常流动的伯努利积分与定常无旋流动的欧拉积分。两个积分的前提条件是：
压力函数满足 ∂p_F/∂x = (1/ρ)∂p/∂x 等关系，即 dp_F = dp/ρ(p)。
将 f_x = −∂π/∂x、∂p_F/∂x = (1/ρ)∂p/∂x 等代入兰姆运动微分方程，则变成：
一、欧拉积分。条件：定常无旋流（ω = 0），此时三式右端均为 0，即 ∂/∂x(π + p_F + V²/2) = 0，y、z 方向同理。
分别乘以微元线段 ds 的三个分量 dx、dy、dz 相加再积分，得欧拉积分式：π + p_F + V²/2 = 常数。
物理意义：对可压或不可压的理想流体，满足正压性、在有势的力作用下作定常无旋流动时，流场中任一点单位质量流体的位势能 π、压力势能 p_F 和动能之和为常数，且整个流场通用同一常数。
二、伯努利积分（有旋流动）。条件：沿流线（涡线）积分。
将兰姆运动微分方程两侧乘以流线上任一微元线段 ds 的三个分量 dx = u dt、dy = υ dt、dz = w dt，右端含角速度的项与 ds 点乘后为零。
对定常流动，流线与迹线重合，对迹线而言 d(π + p_F + V²/2) = 0。
伯努利积分式：π + p_F + V²/2 = 常数。
物理意义：对可压缩或不可压缩的理想流体，满足正压性、在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，沿同一流线上各点，单位质量流体的位势能 π、压力势能 p_F 和动能之和为常数，三种机械能可以互相转化；但对不同流线，该常数值一般是不同的。
如果质量力仅仅是重力，对单位质量流体 f_z = −g = −∂π/∂z，得 π = gz；对不可压流体 p_F = p/ρ。代入即得伯努利方程：
z + p/(ρg) + V²/(2g) = 常数
物理意义：对不可压理想流体在重力作用下作定常流动时，对有旋流动，沿同一流线三项之和为常数；对无旋流动，整个流场所有各点的总机械能为同一常数。
伯努利方程几何意义：对不可压理想流体在重力作用下作定常流动时，对有旋流动，沿同一流线单位重量流体的位置水头、压强水头和速度水头之和为常数，即总水头线是与基准面相平行的水平线。
如果流动在同一水平面，或流场中 z 的变化与其他流动参数相比可忽略时，伯努利方程简化为：
p/(ρg) + V²/(2g) = 常数
由此可知：如果压强增大，则速度降低；如果压强降低，则速度增大。沿同一流线吹气即可观察到这一现象。
理想流体无粘性，实际流体有粘性。当粘性流体流经固体壁面时，在固体壁面与主流之间存在由零到主流速度 V 的速度梯度，相对运动的流层之间存在切应力，形成阻力。为克服阻力维持流动，流体必然要消耗部分机械能转化为热能耗散，造成不可逆损失。
粘性流体沿微元流束（或流线）流动时，其机械能是减少的，必须对理想流体的伯努利方程进行修正。
理想不可压流体在重力场下沿流线作定常流动时，总机械能沿流线不变：z₁ + p₁/(ρg) + V₁²/(2g) = z₂ + p₂/(ρg) + V₂²/(2g)，总水头线始终是一条水平线。
对于粘性流体，由于存在摩擦阻力耗掉部分机械能，故：
z₁ + p₁/(ρg) + V₁²/(2g) = z₂ + p₂/(ρg) + V₂²/(2g) + h′_w
其中 h′_w 为单位重量流体自截面 1 到截面 2 的能量损失，单位为米流体柱高。
图中给出微元流束和总流的水头线：理想流体总水头线为水平线，粘性流体的总水头线沿程下降，下降量即能量损失 h_w；静水头线则随速度水头的变化而升降。
总流为由无数微元流束组成、有效截面积为有限值的流束。对管道总流中每一微元流束写出伯努利方程，两边同乘单位时间通过微元流束的重量流量 ρg dQ（dQ = V₁dA₁ = V₂dA₂），再对 1、2 两截面总流的所有微元流束的能量进行积分，即可推广到总流。
在总流的任一有效截面上，流体质点的位能 z、速度 V、压力 p 均有差别。如果流动满足下列两个条件，称为缓变流：
凡不符合上述条件的流动称为急变流。
缓变流的特点：在定常缓变流的同一有效截面上，压强分布规律与重力作用下流体的静压强分布规律相同，即 z + p/(ρg) = 常数。
据此，对两个缓变流有效截面 1、2（流体不可压缩）积分，即可得到适用于总流的伯努利方程。
粘性流体总流的伯努利方程：
z₁ + p₁/(ρg) + α₁V₁²/(2g) = z₂ + p₂/(ρg) + α₂V₂²/(2g) + h_w
其中动能修正系数 α = (1/A)∫_A (V/V̄)³ dA，能量损失 h_w = (1/Q)∫ h′_w dQ。
适用条件：不可压粘性流体在重力作用下作定常流动的任意两缓变流截面，缓变流之间有无急变流存在均可适用。
文丘里管是由截面逐渐收缩、然后再逐渐扩大的一段短管组成的，最小截面处称为喉部。文丘里管水平放置时，在收缩段前的直管段截面 1 和喉部截面 2 两处测量静压差，根据静压差和两个截面的面积可计算通过管道的流量。
设截面 1 和 2 上的流速、压力和面积分别为 V₁、p₁、A₁ 和 V₂、p₂、A₂，列伯努利方程并用连续性方程 V₁A₁ = V₂A₂，得：
V₂ = √{2(p₁ − p₂)/[ρ(1 − (A₂/A₁)²)]}，Q = V₂A₂ = A₂√{2(p₁ − p₂)/[ρ(1 − (A₂/A₁)²)]}
实际流体都有粘性，考虑到截面上速度分布的不均匀性和流动过程中的能量损失，实际通过的体积流量要比理论值略小一些，引入修正系数 β：
Q = βA₂√{2(p₁ − p₂)/[ρ(1 − (A₂/A₁)²)]}
其中 β 为文丘里管的流量系数，由实验确定，约为 0.98～0.99。由于收缩段的能量损失比扩张段小得多，因此不能用扩张段的压强来计算流量，以免增大误差。
若静压差 (p₁ − p₂) 以 U 型管的液柱高度差 H 表示，对等压面列等压面方程则有：
p₁ − p₂ = (ρ_m − ρ)gH
代入可得 V₂ = √{2gH(ρ_m − ρ)/[ρ(1 − (A₂/A₁)²)]}，Q = βA₂√{2gH(ρ_m − ρ)/[ρ(1 − (A₂/A₁)²)]}。
文丘里管不仅可水平放置使用，也可倾斜放置，甚至可以竖直放置。设截面 1 和 2 的中心线位置高度分别为 z₁ 和 z₂，列伯努利方程：
z₁ + p₁/(ρg) + V₁²/(2g) = z₂ + p₂/(ρg) + V₂²/(2g)，配合连续性方程 V₁A₁ = V₂A₂ 求解。
由等压面方程得 p₁ + ρg(a + H) = p₂ + ρg(z₂ − z₁ + a) + ρ_m gH，整理得 (p₁ − p₂) + ρg(z₁ − z₂) = (ρ_m − ρ)gH。
故 V₂ = √{2[(p₁ − p₂) + ρg(z₁ − z₂)]/[ρ(1 − (A₂/A₁)²)]}，Q = βA₂√{2[(p₁ − p₂) + ρg(z₁ − z₂)]/[ρ(1 − (A₂/A₁)²)]}；用液柱高度表示时即为含 2gH(ρ_m − ρ)/ρ 的形式。
皮托在 1773 年用一根弯成直角的玻璃管测量了法国塞纳河的流速。原理：在液体管道某截面装一个测压管和一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正对来流、一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱高 h。
流体流到皮托管入口 A 点受到阻滞，速度降为零，动能变化为压强势能，形成驻点 A，A 处压强称为总压；与 A 位于同一流线且在 A 上游的 B 点未受影响，其压强称为静压。
在 A、B 两点列伯努利方程：p_B/(ρg) + V_B²/(2g) = p_A/(ρg)，故 (p_A − p_B)/(ρg) = 2gh，即 V = √(2gh)（以液柱高表示）。
实际上由于探针头部和小孔等因素的影响，测得的全压有一定偏差，引入修正系数 K：V = K√{2(p_A − p_B)/ρ}，K 称为皮托管探针的校正系数，通过校正求得，约在 0.98～1.05。
若将皮托管和静压管组合成一体，称为皮托静压管。图中给出驻点与来流速度 u 的对应关系，用液柱高度差 Δh 反映动压大小。
将皮托管与 U 型管连接，可把来流的静压、动压和全压分别表示出来：全压 = 静压 + 动压。
孔板流量计是电厂常用测量给水和蒸汽流量的节流装置。基本原理：流体在管道中流动时流通截面突然缩小，在孔板后某一距离流速达最大、流体静压下降，同时伴随有能量损失，通过测量孔板前后的压降即可算出流体的流量。
根据连续性方程 V₁A₁ = V_c A_c 和伯努利方程 p′₁/(ρg) + V₁²/(2g) = p_c/(ρg) + V_c²/(2g)，且流束最小截面积 A_c 与孔板圆孔面积 A₀ 的关系为 A_c = C_c A₀（C_c 为收缩系数）。
令 m = A₀/A₁，得 V_c = √{2(p′₁ − p_c)/[ρ(1 − C_c²m²)]}。
由于有能量损失、孔板取压位置并非在截面 A₁ 与 A_c 处，且管壁粗糙和孔板边缘不尖锐等因素，用实测的 p₁ 和 p₂ 代替 p′₁ 和 p_c，应加修正系数 ζ：
Q = αA₀√{2(p₁ − p₂)/ρ}，其中 α = C_c ζ/√(1 − C_c²m²) 为孔板的流量系数，可由实验或查表得到。
特殊情况下，若管流的实际雷诺数小于孔板的极限雷诺数，则查得的流量系数应乘以粘度校正系数 K_μ。
由输运方程 dN/dt = ∂/∂t ∭_cv ηρ dV + ∬_CS ηρ υ_n dA，令 N = mV、η = V，得：
d/dt ∭_cv ρV dV = ∂/∂t ∭_cv ρV dV + ∬_CS ρV υ_n dA
用于解决流体与固体间相互作用时产生的作用力问题。
由动量定理，t 时刻流体系统与控制体相重合，则 ∬_CS ρV υ_n dA = ∭_cv ρf dV + ∬_CS p_n dA = ΣF。
对定常流动，∂/∂t ∭_cv ρV dV = 0，故 ∬_CS ρV υ_n dA = ΣF，表明：在定常流动条件下，单位时间内经过控制面的流体动量的通量，等于作用在系统上外力的矢量和。
假设不可压缩流体在固定弯管内作定常流动，控制面 CS = A₁ + A₂ + A₃，其中 A₃ 为管壁面，因无流体进出，υ_n = 0，沿壁面积分为 0。
故 ∫_A2 ρV dQ − ∫_A1 ρV₁ dQ = ΣF。
一般截面上的密度视为常数，但必须考虑速度在截面上的变化，用截面平均速度计算须引入动量修正系数 α = (1/A)∫_A (V/V̄)² dA。
用有效截面上的平均流速计算流体动量，上式可写成 ρQ(α₂V₂ − α₁V₁) = ΣF；工程计算中 α 一般取 1，分量形式为 ΣF_x = ρQ(u₂ − u₁)、ΣF_y = ρQ(υ₂ − υ₁)、ΣF_z = ρQ(w₂ − w₁)。
动量矩方程适用于叶轮机械中作定常流动的流体。动量矩定理：质点系对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等于所有作用于点系的外力对于同一点的力矩之和，即 Σ d/dt(r_i × m_i V_i) = Σ r_i × F_i。
由输运方程令 N = r × mV、η = r × V，得 ∂/∂t ∭_cv (r × V)ρ dV + ∬_CS (r × V)ρ υ_n dA = Σ r_i × F_i。
对定常流动，∂/∂t ∭_cv (r × V)ρ dV = 0，故 ∬_CS (r × V)ρ υ_n dA = Σ r_i × F_i。用有效截面上的平均流速表示：
Σ r_i × F_i = α₂ r₂ × V₂ ρQ₂ − α₁ r₁ × V₁ ρQ₁
其中 α = 1.02～1.05，工程计算中取 α = 1。对不可压缩流体定常流动（ρ₂ = ρ₁ = ρ，Q₂ = Q₁ = Q），得 Σ r_i × F_i = ρQ(r₂ × V₂ − r₁ × V₁) = M，即各外力对转轴力矩的矢量和。
如图所示为离心泵或风机的叶轮，流体自内圈流入，经流道从外圈流出。取整个叶轮（即转子）外侧为控制面，则控制面包括叶轮的侧面轮盘和内外圆周流通截面。图中给出进出口速度 V₁、V₂ 及其径向分量与切向分量的分解。
前提假设：ω = 常数作定常流动、理想流体、不可压缩流体（ρ = 常数）。力矩分析：
对动量矩方程两侧取模：r₂ × V₂ = r₂V₂cos α₂ = r₂V₂τ，r₁ × V₁ = r₁V₁cos α₁ = r₁V₁τ，故
M_d = ρQ(r₂V₂τ − r₁V₁τ)
两侧同乘 ω，以功率形式表示：N_h = M_d ω = ρQ(V₂ₑV₂τ − V₁ₑV₁τ)。两侧同除 ρgQ 得叶轮机械基本方程：
H = (V₂ₑV₂τ − V₁ₑV₁τ)/g
其中 H 又叫水泵或风机的扬程，物理意义是单位重量的流体通过叶轮时提高的能量，反映涡轮机械的基本性能。
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