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本章研究流体的运动规律而不涉及引起运动的原因，所得运动学规律对理想流体和粘性流体同样适用。先后介绍流场概念与拉格朗日法、欧拉法两种描述方法，流体质点的当地加速度与迁移加速度，迹线、流线、流管、流束、有效截面与流量等基本概念，流体微团运动的平移、线变形、角变形与旋转分解，流动的分类，最后导出系统与控制体的输运方程以及连续性方程的积分与微分形式。
本章研究流体的运动规律，不涉及引起运动的原因，所得运动学规律适用于理想流体和粘性流体。
本章主要内容：
拉格朗日法着眼于个别流体质点运动的研究，即跟踪流体质点，研究流体内个别质点在不同时间其位置、流速、压力的变化，综合所有质点的运动即得整个流场的运动规律。
质点位置表示为 x = x(a, b, c, t)、y = y(a, b, c, t)、z = z(a, b, c, t)，其中 a、b、c 为 t = t₀ 时质点的坐标，即质点标号（相当于运动员的号码）；物性如 ρ = ρ(a, b, c, t)、T = T(a, b, c, t)。
工程实例：电厂锅炉中煤粉颗粒的运动轨迹。用拉格朗日法跟踪煤粉颗粒，研究其在空间的分布特性，进而分析对受热面的磨损。
速度表达式：υ_x = ∂x/∂t，υ_y = ∂y/∂t，υ_z = ∂z/∂t，均为 (a, b, c, t) 的函数。
加速度表达式：a_x = ∂²x/∂t²，a_y = ∂²y/∂t²，a_z = ∂²z/∂t²，同样由质点标号与时间确定。
欧拉法着眼于固定空间或空间上的固定点，研究空间每一点上流体的物理量随时间的变化规律。
空间每一点上流体的物理量，是指占据这些位置的各个流体质点的物理量；速度和加速度指占据空间某点的流体质点的速度和加速度。
速度表示为 υ = υ(x, y, z, t)，分量形式为 υ_x = υ_x(x, y, z, t)、υ_y = υ_y(x, y, z, t)、υ_z = υ_z(x, y, z, t)，矢量式 υ = υ_x i + υ_y j + υ_z k；同理 p = p(x, y, z, t)、ρ = ρ(x, y, z, t)、T = T(x, y, z, t)。
同一时刻流体内部各空间点上质点速度可以不同，即 V 是 (x, y, z) 的函数；同一空间点在不同时刻被不同质点占据，速度也可能不同，即 V 是 t 的函数。
| 比较项目 | 拉格朗日法 | 欧拉法 |
|---|---|---|
| 描述对象 | 分别描述有限质点的轨迹 | 同时描述所有质点的瞬时参数 |
| 表达式 | 复杂 | 简单 |
| 空间分布 | 不能直接反映参数的空间分布 | 直接反映参数的空间分布 |
| 变形特性 | 不适合描述流体元的运动变形特性 | 适合描述流体元的运动变形特性 |
| 地位 | 拉格朗日观点是重要的 | 流体力学最常用的解析方法 |
流体质点的速度为 υ = υ[x(t), y(t), z(t), t]。
由 dx/dt = υ_x、dy/dt = υ_y、dz/dt = υ_z，加速度可展开为：
a = dυ/dt = ∂υ/∂t + υ_x·∂υ/∂x + υ_y·∂υ/∂y + υ_z·∂υ/∂z
即加速度由速度的时间变化率与三个方向的空间变化率共同组成。
加速度分量：a_x = dυ_x/dt = ∂υ_x/∂t + υ_x ∂υ_x/∂x + υ_y ∂υ_x/∂y + υ_z ∂υ_x/∂z，a_y、a_z 形式类似。
矢量形式：a = ∂υ/∂t + (υ·∇)υ，其中 ∇ = i·∂/∂x + j·∂/∂y + k·∂/∂z。
对于均匀流场，(υ·∇)υ = 0，加速度中只含当地项。
渐扩管内的定常流动：因 ∂υ/∂t = 0，故 dυ/dt = (υ·∇)υ = υ_z·∂υ/∂z，物质导数等于位移导数。
流体质点的加速度是由于流体质点从高速区运动到低速区而引起的，即由流场的不均匀性造成。
物质导数（质点导数）：dN/dt = ∂N/∂t + (υ·∇)N。
密度与压强的物质导数同样写成 dρ/dt = ∂ρ/∂t + υ_x ∂ρ/∂x + υ_y ∂ρ/∂y + υ_z ∂ρ/∂z 与 dp/dt = ∂p/∂t + υ·∇p。
流线的特征：一般情况下，流线不能相交或分叉，不能突然转折，只能平缓过渡。
这些是流线相交或分叉的特例。
趣味话题：UFO 之谜——飞碟、飞棍。借助流线与流场的概念，可以对这类现象的形成与观测效果展开讨论。
流线是某一瞬时流场内一条想象的曲线，该曲线上各点的速度方向和曲线在该点的切线方向重合，即 ds × υ = 0。
由此得流线微分方程：dx/υ_x = dy/υ_y = dz/υ_z。积分时 t 视为常数，x、y、z 为独立变量。流线是瞬时的线，下一瞬时速度场改变，通过同一点的流线也会改变。
迹线微分方程：dx = υ_x dt，dy = υ_y dt，dz = υ_z dt，即 dx/υ_x = dy/υ_y = dz/υ_z = dt。
与流线方程的区别在于迹线方程中含有时间微分 dt，需对时间积分求解。
根据流线定义，流动速度总是与流线相切，垂直于流线的速度分量必定为零，因此：
对不同位置的流束，有效截面可以分别为平面或曲面。
平均速度：V = q_v/A，即 q_v = VA。
总流的质量守恒（质量连续）：对不可压缩流体（如水）的定常流动，有 V₁A₁ = V₂A₂ = q_v = 常数。
思考题：
上一节授课内容回顾：
刚体运动：移动 + 旋转；流体运动：移动 + 旋转 + 变形。
如果组成一个流体微团的所有流体质点都具有相同的速度，即速度梯度为零，这个流体微团只能平动；如果存在速度梯度，则在平动的同时还可能发生旋转和变形。
流体团的复合运动可分解为：平移 + 线变形 + 旋转 + 角变形。图中给出 t₀ 到 t₀ + dt 时刻流体团由矩形变为斜平行四边形的变形过程。
取微团上 A 点速度为 υ_x、υ_y，则由泰勒展开，C 点（相对位移 dx、dy）的速度分量为 υ_x + (∂υ_x/∂x)dx + (∂υ_x/∂y)dy 与 υ_y + (∂υ_y/∂x)dx + (∂υ_y/∂y)dy，据此可分解为平移、变形与旋转三部分。
平移运动：微团各点速度相同，经 dt 时间后 A、C 两点分别移动到 A′、C′，微团形状不变，仅整体位移 υ_x dt、υ_y dt。
线变形运动：微团在 x、y 方向的伸长量为 (∂υ_x/∂x)dx dt、(∂υ_y/∂y)dy dt。
角变形运动：微团两条正交流体边在 dt 时间内分别转过 dα、dβ，角变形速度为两条正交流体边单位时间的角度变化：
dα + dβ = (∂υ_y/∂x + ∂υ_x/∂y)dt
剪切变形速率：两条正交流体边单位时间角度变化的平均值。
旋转角速度：两条相互正交的流体边在单位时间绕同一轴旋转角度的平均值，可以看作对角线在单位时间内的旋转角速度。
由几何关系 dθ = (dα − dβ)/2，得旋转角速度为两条边转角之差的一半。
旋转角速度矢量 ω = (1/2)∇×υ，分量为：
图中给出微团变形后 C′、B′、D′ 的位置，以及两条边分别转过 dα、dβ 的几何关系，用于导出剪切变形速率与旋转角速度。
以 A 点速度 υ_x、υ_y、υ_z 为基准，C 点（位移 dx、dy、dz）的三个速度分量按泰勒展开为：
υ_Cx = υ_x + (∂υ_x/∂x)dx + (∂υ_x/∂y)dy + (∂υ_x/∂z)dz，υ_Cy、υ_Cz 形式类似。
将 C 点速度的展开式重新组合，可分为四类项：
引入线变形速率 ε、剪切变形速率 ε_ij 与旋转角速度 ω 后，C 点速度可紧凑写成：
依次为平移、线变形、剪切变形与旋转四部分。
定常性与坐标的选择有关：船在静水中等速直线航行，对岸上的人（静止坐标）而言船两侧的水流是非定常流动，对船上的人（动坐标）而言则是定常流动。
流动的维数与所包含的坐标数目有关。
流动属于几维流动，和坐标系的选取有关。
二维流动：速度场为两个空间坐标的函数。
在工程技术中，在保证一定精度的条件下，尽可能地将三维流动简化为二维流动，甚至简化为一维流动来求近似解。
判断流动是否为有旋，关键在于流体微团是否绕自身的轴线旋转，而与运动轨迹无关。
判据为 ω = (1/2)∇×υ 是否为零：ω = 0 为无旋流动，ω ≠ 0 为有旋流动。
对于平面流动，设 z 轴竖直向上、xy 处于水平面，则 ω_x = ω_y = 0，ω_z = (1/2)(∂υ_y/∂x − ∂υ_x/∂y)。
图中给出几种典型流场：质点作圆周运动但微团不自转时为无旋流动，反之为有旋流动。
例题：判断图示液体的流动是否有旋。上板以 u 匀速运动、下板固定，速度分布 υ = (u/h)y。
解：ω_x = ω_y = 0，ω_z = (1/2)(∂υ_y/∂x − ∂υ_x/∂y) = −u/(2h) ≠ 0，故为有旋流动。
思考题：
作业：3-1，3-2，3-4。
上一节授课内容回顾：
特点：
特点：
t 时刻控制体 = 区域 I + II，系统与其中的流体重合；t + Δt 时刻系统移到 II + III，控制体仍为 I + II。通过比较两时刻区域内物理量 N 的差，即可建立系统导数与控制体积分之间的关系。
设 N 为 t 时刻系统内流体具有的某种物理量，η 表示单位质量流体具有的这种物理量，N = ∭ηρ dV。
则 dN/dt = lim(Δt→0)[(N_II)_{t+Δt} − (N_II)_t]/Δt + lim(Δt→0)(N_III)_{t+Δt}/Δt − lim(Δt→0)(N_I)_t/Δt。
当 Δt → 0 时，区域 II 变成控制体本身，III → 0，故第一项极限为：
∂/∂t ∭_cv ηρ dV
表示控制体内流体的某种物理量 N 对时间的变化率。
CS1 是控制面的流入面积，CS2 是控制面的流出面积，CS = CS1 + CS2；υ_n = υ cos α 为控制面上微元面外法线方向的速度分量。
流出与流入的通量分别写为 ∬_CS2 ηρ υ·dA = ∬_CS2 ηρ υ_n dA 与 −∬_CS1 ηρ υ·dA = −∬_CS1 ηρ υ_n dA。
两者合并即净通量 ∯_CS ηρ υ·dA = ∬_CS ηρ υ_n dA。
系统的某种物理量 N 对时间的变化率 = 控制体内 N 对时间的变化率 + 单位时间经过控制面的 N 的净通量：
dN/dt = ∂/∂t ∭_cv ηρ dV + ∬_CS ηρ υ_n dA
这就是输运方程（雷诺输运定理）。
令 N = m（系统的质量），则 η = 1，由输运方程得：
∂/∂t ∭_cv ρ dV = ∬_CS1 ρυ_n dA − ∬_CS2 ρυ_n dA
即控制体内的质量对时间的变化率 = 单位时间流入控制体的流体质量 − 流出控制体的流体质量。
对定常流动，∂/∂t ∭_cv ρ dV = 0，故：
∬_CS1 ρυ_n dA = ∬_CS2 ρυ_n dA
即对于定常流动，单位时间流入控制体的流体质量等于单位时间流出控制体的流体质量。
取微元六面体 dxdydz，x 方向流入质量流率为 [ρυ_x − ∂(ρυ_x)/∂x·dx/2]dydz，流出为 [ρυ_x + ∂(ρυ_x)/∂x·dx/2]dydz；y、z 方向形式相同。
流出减流入，单位时间控制体内 x 方向流体质量的净增量为 ∂(ρυ_x)/∂x·dxdydz；y、z 方向净得流体质量分别为 ∂(ρυ_y)/∂y·dxdydz 与 ∂(ρυ_z)/∂z·dxdydz。
单位时间内微元六面体内流体质量变化为 [∂(ρυ_x)/∂x + ∂(ρυ_y)/∂y + ∂(ρυ_z)/∂z]dxdydz；另一方面，由密度变化引起的质量变化为 ∂ρ/∂t·dxdydz。
由质量守恒定理，两者之和为零。
可压缩流体非定常三维流动的连续性方程：
∂ρ/∂t + ∂(ρυ_x)/∂x + ∂(ρυ_y)/∂y + ∂(ρυ_z)/∂z = 0
圆柱坐标系下的连续性方程：
∂ρ/∂t + ∂(ρυ_r)/∂r + (1/r)∂(ρυ_θ)/∂θ + ∂(ρυ_z)/∂z + ρυ_r/r = 0
其中 υ_r 为径向分速，υ_θ 为周向分速，υ_z 为轴向分速。
流体的全部流动参数均以过流截面上的平均值计算，则流动可视为一维流动。控制面 CS = CS1 + CS2 + CS3，其中 CS1 为流管进口面积，CS2 为出口面积，CS3 为流管侧表面积。
因流体不能从流管侧面流入流出，CS3 上通量为零。
对定常流动，∂/∂t ∭_cv ρ dV = 0，取 υ₁、υ₂ 为有限截面的平均速度，得 ρ₁υ₁A₁ = ρ₂υ₂A₂。
对不可压流体 ρ₁ = ρ₂，故 υ₁A₁ = υ₂A₂ = υA = 常数：沿任意有效截面的体积流量不变。对定常流动，流管类似于真实管道，截面小则速度大，反之亦然。
思考题：
作业：3-5，3-7。
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