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本章讨论黏性流体在管内的流动规律与管路计算。从雷诺实验出发给出层流与紊流的判别准则，推导圆管层流的速度分布、流量与沿程损失公式；随后讲解紊流的脉动与时均化、普朗特混合长理论与雷诺应力、粘性底层与水力光滑管、粗糙管、紊流的对数与指数速度分布；进而介绍沿程损失系数的实验研究与莫迪图、非圆截面管路、局部损失及减阻措施，最后给出简单、串联、并联管路与管网的水力计算方法以及水击现象。
本章主要内容：
雷诺实验（Reynolds，1883 年）通过管内染色线的形态，观察到流体存在层流与紊流两种不同的流动状态，由此开启了对流态判别的研究。
判别流态仅靠临界速度很不方便，因为临界速度是 ν 与 d 的函数。雷诺实验的结果指出：不论什么流体以及管径如何变化，有
雷诺数定义为 Re = υd/ν。
雷诺数的物理意义：惯性力与粘性力之比。
单位重量流体在 1-2 截面之间的能量损失（流动阻力）h_w 由沿程损失与局部损失组成：
研究对象：长水平等直径圆管，不可压缩粘性流体作定常流动，流体充满整个管道截面，并为充分发展的层流流动（∂u/∂x = 0）。取圆柱坐标系，轴线方向为 x 方向。
由 N-S 方程，因 ∂p/∂y = ∂p/∂z = 0、∂²u/∂y² 等项可合并，对圆截面管道采用圆柱坐标系后简化为：
(1/r)·∂/∂r(r·∂u/∂r) = (1/μ)·dp/dx
即压强梯度只沿轴向变化。
积分得 du/dr = (1/(2μ))(dp/dx)r + C₁/r；由于流速分布的对称性，在管道轴线上速度值最大，即 r = 0 时 du/dr = 0，故积分常数 C₁ = 0。
再积分得 u = (1/(4μ))(dp/dx)r² + C₂；由边界条件 r = r₀ 时 u = 0，得 C₂ = −(1/(4μ))(dp/dx)r₀²，故
u = −(1/(4μ))(dp/dx)(r₀² − r²)
在管道轴线上（r = 0）速度为最大值：u_max = ρgh_f r₀²/(4μl)。
通过管道截面的流量 q_V = ∫u·2πr dr = πρgh_f r₀⁴/(8μl)，即哈根—泊肃叶公式；截面平均流速 υ = q_V/A = ρgh_f r₀²/(8μl) = u_max/2。
沿程能量损失（沿程阻力）公式：
h_f = 32μ l υ/(ρg d²) = (64/Re)(l/d)(υ²/(2g))
与达西公式 h_f = λ(l/d)(υ²/(2g)) 对比，得层流的沿程阻力系数 λ = 64/Re。
由牛顿内摩擦定律 τ = μ du/dr，代入速度分布得 τ = −ρgh_f r/(2μl)，即切应力沿管径呈线性分布。
在管壁处 r = r₀，τ = τ_w 为最大切向应力：τ_w = ρgh_f r₀/(2l)。
将速度分布 u 与平均速度 υ 的表达式代入修正系数公式，得：
取长 l、半径 r 的流体圆柱，列压力与粘性力的平衡：p₁πr² − p₂πr² − 2τπrl = 0，故 τ = (p₁ − p₂)r/(2l)。
在管壁 r = r₀ 处 τ = τ_w = (p₁ − p₂)r₀/(2l)，切应力沿管径线性分布。
流体质点不断地互相混杂和碰撞，必然引起流场中空间各点的流速和压强随时间的波动。从本质上讲，紊流是一种非定常流动。
瞬时速度 u_i = ū + u′，其中 ū 为时均速度，u′ 为脉动速度，时均速度定义为 ū = (1/T)∫_{t₀}^{t₀+T} u_i dt。
脉动速度 u′ = u_i − ū，其时间平均值为零：ū′ = (1/T)∫_{t₀}^{t₀+T} u′ dt = 0。
定常与不定常紊流、流线、伯努利方程等均依据时均速度判断和计算。
由于湍流的脉动速度，流体质点混合碰撞，引起动量传递，产生附加应力，叫湍流应力（雷诺应力）。沿垂直于流动轴的截面（即径向）也有脉动，其脉动速度对时间的平均值同样为零。
压强也处于脉动状态：p_i = p̄ + p′，脉动压强 p′ 的平均值也等于零。
在工程上，均采用流动参数的时均值去研究紊流运动。并且，对紊流而言，某截面的平均流速定义为 υ = (1/A)∫_A u dA。
紊流总切应力 τ = τ₁ + τ₂。
普朗特混合长理论：假定流体微团在横向脉动一个距离 l 后才与周围流体混合，由此产生脉动速度 u′，其大小与 l·du/dy 同量级。
快层流体微团向下进入慢层时带来 u′ > 0 的扰动，慢层微团向上进入快层时带来 u′ < 0 的扰动，由此产生横向脉动 υ′。
u′ 与 υ′ 为同一数量级，且 υ′ ~ −l·du/dy，u′ ~ −l·du/dy。
由动量传递得雷诺应力 τ₂ = ρl²(du/dt)(du/dy) = μ_t(du/dy)，其中 μ_t = ρl²(du/dt)(du/dy) 为紊流粘性系数或虚粘度，它不是单由流体物性决定，而是与流动有关的变量。
对紊流而言，沿流动方向总的切应力为 τ = τ₁ + τ₂ = (μ + μ_t)du/dy。
紊流由靠近壁面的粘性底层 δ₀ 与紊流核心两部分组成。
粘性底层的厚度 δ₀ 随 Re 而变化：Re 上升，δ₀ 下降；反之，Re 下降，δ₀ 增加。
计算粘性底层厚度 δ₀ 的半径验公式有：
式中：d 为圆管内径；λ 为管路沿程损失系数。
“水力光滑”与“水力粗糙”是个相对概念。
（1）粘性底层区（y ≤ δ₀）：在该区内 τ₂ 可忽略，故 τ_w = μ du/dy，分离变量并积分得 u = (τ_w/μ)y + c₁。
由壁面上 y = 0 处 u = 0 得 c₁ = 0，故 u = τ_w y/μ = u*²y/ν，其中 u* = √(τ_w/ρ) 为摩擦速度，速度分布为直线分布。
若再令 l* = ν/u*，并称 l* 为摩擦长度（因 l* 具有长度因次），则粘性底层区的速度分布可写成 u = u* y/l*。
令粘性底层与紊流交界处（y = δ₀）的流速为 u_b，则由上式得 u_b = δ₀ u*/l*，即 u_b = α u*，δ₀ = α l*，其中 α 为待定未知量。
（2）紊流核心区（y > δ₀）：τ₂ ≫ τ₁，粘性切应力可忽略不计，并假设在整个紊流区域内切应力为常数并等于 τ_w。
由 τ_w = ρl²(du/dy)² = ρu*²，且普朗特假定混合长 l 与流体离开壁面的距离 y 成正比，即 l = ky。
由 u* = ky·du/dy，分离变量并积分得：u = (u*/k)ln y + c₂。
由边界条件 y = δ₀ 时 u = u_b，得 c₂ = u_b − (u*/k)ln δ₀，代入前式得 u = (u*/k)ln(y/δ₀) + u_b。
代入 δ₀ = α l*、u_b = α u* 后得：u = (u*/k)ln(y/α l*) + α u*，即
u/u* = (1/k)ln(y/l*) + C，或 u/u* = (1/k)ln y + c
紊流核心区的速度分布为对数曲线；湍流区速度呈对数分布，层流底层速度呈线性分布。
尼古拉兹由水力光滑管的实验得出：u/u* = 2.5 ln(y u*/ν) + 5.5，上式适用于光滑管，在直到管中心的区域内都与实验数据吻合良好。
对于管内流动，y = r₀ − r（r₀ 为圆管内半径），故又可写成 u/u* = 2.5 ln[(r₀ − r)u*/ν] + 5.5 = 5.75 lg[(r₀ − r)u*/ν] + 5.5。显然在 r = 0 处速度最大：u_max = u*[2.5 ln(r₀u*/ν) + 5.5]。
对尼古拉兹的实验结果，截面平均速度为 υ = (2/r₀²)∫₀^{r₀} u r dr = u*[2.5 ln(r₀u*/ν) + 1.75]。
此外，由于 υ = q_V/(πr₀²)，故上式又可改写成 q_V = πr₀²u*[2.5 ln(r₀u*/ν) + 1.75]。
计算光滑管的紊流速度还有一个更方便的指数方程：u/u_max = (y/r₀)^n。
当 Re ≈ 1.1×10⁵ 时，n = 1/7，这就是常用的卡门七分之一次方定律。
适用于水力粗糙管的有关公式：
无论层流还是紊流，沿程损失均可按 h_f = λ(l/d)(υ²/(2g)) 计算。
尼古拉兹实验采用人工粗糙管壁：把均匀粒度的沙粒贴附在管壁上。
实验范围为：Re = 6×10²～10⁶，Δ/d = 1/1014～1/30。
图中给出尼古拉兹实验得出的 λ 随 Re 与 Δ/d 变化的曲线，按 Re 由小到大分为层流区、过渡区与紊流区，紊流区又细分为水力光滑管区、粗糙管过渡区与平方阻力区。
半经验公式：当 4000 < Re < 10⁵ 时，λ = 0.3164/Re^0.25（勃拉休斯公式），由 h_f = λ(l/d)(υ²/(2g)) 可看出 h_f ∝ υ^1.75。
由 h_f = λ(l/d)(υ²/(2g)) 可知，在此区域 h_f ∝ υ²，故该区域称为平方阻力区。
在此区域做管路阻力实验时，只要两组流动的 Δ/d 相等，且 Re > 4160(d/Δ)^0.85，则 λ 就自动相等，而不必要求两组流动的 Re 相等，故平方阻力区又称为自动模化区。
莫迪（Moody）以阔尔布鲁克公式为基础，对大量工业管道做实验，得出了莫迪图。
工业用管道的绝对粗糙度 Δ 难以直接测量，而是通过实验计算出来的：测出管道的沿程损失 h_f 和管道截面平均速度 υ 求出 λ 值，再由尼古拉兹粗糙管公式反算出 Δ。
图中以 Re = υd/ν 为横坐标、λ 为纵坐标，按不同相对粗糙度 Δ/d 给出一族曲线，供工程计算查取沿程损失系数使用。
非圆截面管路沿程损失的计算仍用 h_f = λ(l/d_e)(υ²/(2g))，雷诺数为 Re = υ d_e/ν，相对粗糙度为 Δ/d_e。
当量直径定义为 d_e = 4A/x = 4R，式中：A 为过流截面面积；x 为湿周；R 为水力半径。
充满流体的管束（流动为垂直于纸面方向的纵掠）：d_e = 4(S₁S₂ − πd²/4)/(πd)（按单管所占截面扣除管体面积计算）。
非圆截面的形状与圆形偏差越小，运用当量直径而产生的误差就越小。
局部损失：h_j = ζ·υ²/(2g)，其中 ζ 为局部损失系数。
设截面 I-I 处压强 p₁、流速 υ₁、面积 A₁，截面 II-II 处压强 p₂、流速 υ₂、面积 A₂，列伯努利方程：
z₁ + p₁/(ρg) + υ₁²/(2g) = z₂ + p₂/(ρg) + υ₂²/(2g) + h_j
则 h_j = [z₁ + p₁/(ρg) + υ₁²/(2g)] − [z₂ + p₂/(ρg) + υ₂²/(2g)]。
再列出 I-I 至 II-II 两截面沿流动方向的动量方程：
ΣF = p₁A₁ − p₂A₂ + p′₁(A₂ − A₁) + G cos θ = ρq_V(υ₂ − υ₁)
其中 p′₁ 为作用于旋涡区环形面积上的压强，近似认为 p′₁ ≈ p₁；G cos θ = ρgA₂L cos θ = ρgA₂(z₁ − z₂)。再将 q_V = A₂υ₂ 代入即可简化。
化简得 (p₁ − p₂)/ρ + g(z₁ − z₂) = υ₂(υ₂ − υ₁)，代入能量方程得：
h_j = (υ₁ − υ₂)²/(2g)
即包达定理。写成速度水头形式：h_j = ζ₁υ₁²/(2g) = ζ₂υ₂²/(2g)，其中 ζ₁ = (1 − A₁/A₂)²、ζ₂ = (A₂/A₁ − 1)²。计算时注意选用相对应的速度水头。
管道与大面积水池相连接：h_j = ζ·υ₁²/(2g)，ζ = (1 − A₁/A₂)²。
当 A₂ ≫ A₁ 时 ζ ≈ 1，其中 υ₁ 是管道中的流体速度，动能完全消耗在水池中。
弯管的局部阻力主要包括两部分：（1）旋涡损失；（2）二次流损失。
旋涡损失：弯曲管道的外侧（管道内壁的凹面）压强升高、速度降低，内侧（凸面）压强降低、速度加大。凹面 A→B 压强上升速度下降，B→C 压强下降速度上升；凸面 A′→B′ 压强下降速度上升，B′→C′ 为升压减速区。
所谓二次流，即发生在垂直于流动的平面内的一种流动。流体沿壁面自外侧向内侧流动，同时由于连续性以及离心惯性力的作用，B′ 处的流体则沿 B′B 线自内向外流动，在径向平面内形成了两个环流，即二次流。
压强关系为 p_B > p_{E′} > p_{B′}；R/d 对弯管局部损失系数 ζ 影响很大。
对于管内流动，流体的能量损失包括沿程损失和局部损失：h_w = Σh_f + Σh_j。
管道进口：尽量将管道的进口加工成圆滑的进口。实验证明，圆滑的进口可减少局部损失系数 90% 以上。
弯管：采用合理的弯曲半径 R（R 为弯管轴线的曲率半径），R/d 最好取 1～4。
对锅炉的烟风道而言，由于弯管的断面尺寸比较大，只能采用较小的 R/d；为减小二次流损失，可在弯道内安装导流叶片。
三通：为减小流体流过三通的局部损失，可在总管中安装合流板与分流板，尽可能地减小支管与合流管之间的夹角。
尽量将管件转角加工成圆角，使突然扩大和突然缩小改变成逐渐扩大与逐渐缩小，并选择最佳的扩散角；并尽量使管件的边壁接近流线型，以避免旋涡的产生。
当量管长：将局部损失折合成一段管道的长度，即相当于将管件的局部损失折合成管长为 l_e 的管路上的沿程损失，令 ζ = λ l_e/d，则当量管长 l_e = (d/λ)Σζ。
于是 h_w = h_f + Σh_j = λ(l + l_e)υ²/(2d g) = λL υ²/(2dg)，式中：l 为管路实际长度；l_e 为局部损失折合成的当量管长；L = l + l_e 为管路的计算管长。
在进行管路的水力计算时需掌握四个参数：流量 q_V、管路长度 l、管路总水头 H（或总能量损失 h_w）、管内径 d。管路计算的任务共有三个：
用于管路计算的公式有三个：
简单管路就是管路直径不变、没有支管分出的管路，其中流速沿流程不变，连续方程为 q_V = υA = 常数，能量损失公式为 h_w = [λ(l/d) + Σζ]υ²/(2g)。
在一定的流量范围内，确定管道直径 d 的经济原则：总成本 = 管道成本 + 运行费，总成本最低处对应最佳管径范围。
串联管路即由几段不同管径的简单管路串联而成，有两个特点：
故 h_w = Σh_wi = Σ(λ_i l_i/d_i + Σζ_i)(q_V/A_i)²/(2g)。
由连续方程和能量方程，给定 H 可求出末段流速 υ₃ 和流量：
h_w = Σ[ζ_i + λ_i l_i/d_i]·(A₃/A_i)²·υ₃²/(2g)
其中包含了各段突然扩大（υ_i − υ_{i+1})²/(2g) 等局部损失项的折算。
由 H = [1 + Σ(ζ_i + λ_i l_i/d_i)(A₃/A_i)²]·υ₃²/(2g)，得
υ₃ = √{2gH/[1 + Σ(ζ_i + λ_i l_i/d_i)(A₃/A_i)²]}，q_V = A₃υ₃
几条简单管路或串联管路的入口端与出口端分别连接在一起，称为并联管路。并联管路有如下特点：
图中给出并联管路在节点 A、B 处的压强 p_A、p_B 与各支管流量 q_V1、q_V2、q_V3 的关系，各支管能量损失相等，总流量为各支管流量之和；系统中泵提供的水头用于克服总能量损失。
各支管的能量损失再按简单管路或串联管路计算。当忽略各支管的局部损失、将各支管按长管计算时，有 h_f1 = h_f2 = h_f3 = h_f。
代入 h_f = λ(l/d)·(q_V/A)²/(2g) 可改写成 q_V² = 2gA²d h_f/(λ l)，即 q_V = K√(h_f/ l)，其中 K = √(2gA²d/λ) 为流量模数，与流量 q_V 具有相同的量纲。
因 q_V1 = K₁√(h_f/l₁)、q_V2 = K₂√(h_f/l₂)、q_V3 = K₃√(h_f/l₃)，故
q_V = √h_f·(K₁/√l₁ + K₂/√l₂ + K₃/√l₃)，即 h_f = [q_V/(K₁/√l₁ + K₂/√l₂ + K₃/√l₃)]²
这就是并联管道的水力计算式。
并联管路流量分配计算方法及步骤：
用分配得到的 q_V1、q_V2、q_V3 分别求 h_f1、h_f2、h_f3（λ 由 Re、Δ/d 查莫迪图），以校核流量分配的正确性。
若误差在允许范围内，则即为所求；若误差较大，要按同样比例重新分配并重复计算。
并联管路特性及流量分配实验装置由恒位水箱、来流与去水堰、测压管路球阀与游韧、差压表、实验管路游韧与球阀等组成，用于实测各支管的流量分配与水头损失。
例：d = 15 cm，l₁ = 30 m，l₂ = 60 m，H₂ = 15 m，λ = 0.023，ζ_弯头 = 0.9，ζ_阀 = 10.8。求：（1）H₁ = 10 m 时的流量；（2）若 q_V = 60 L/s，水箱中水头 H₁ 为多少。
解：取缓变流断面 1-1、2-2 应用伯努利方程，有 H₁ = h_w + υ²/(2g)，其中 h_w = [λ(l₁ + H₂ + l₂)/d + ζ_进口 + 2ζ_弯头 + ζ_阀]υ²/(2g)。
体积流量 q_V = (πd²/4)υ。
例：d = 50 mm，L = 1.8 m，ρ = 998 kg/m³，μ = 1.00×10⁻³ N·s/m²，Δ = 0.2 mm，ζ_弯头 = 0.4，水位差 0.13 m，求 q_V。
解：取缓变流断面 1-1、2-2 应用伯努利方程得 h_w = 0.13 m，且 h_w = [λL/d + Σζ]υ²/(2g) = (36λ + 2.30)υ²/(2g)，即 (36λ + 2.30)υ² = 2.55。
由 Re = ρυd/μ = 998×υ×0.05/(1.00×10⁻³) = 49800υ，相对粗糙度 Δ/d = 0.2/50 = 0.004。
利用上述三式通过莫迪图作迭代计算：设 λ = 0.03 → υ = 0.868 → Re = 43226 → λ = 0.031 → Re = 43000 → λ = 0.031，收敛后 υ = 0.864 m/s，q_V = (π/4)d²υ = 1.03×10⁻³ m³/s。
λ 的另一种解法：由 (36λ + 2.30)υ² = 2.55 与 Re = 49800υ 联立，并代入阔尔布鲁克公式
1/√λ = −2.0 lg[Δ/(3.7d) + 2.51/(Re√λ)]
迭代得 λ = 0.031，与查图结果一致。
例：l₁ = 300 m，D₁ = 150 mm；l₂ = 400 m，D₂ = 100 mm；q_V = 45 L/s，λ = 0.025，忽略局部损失，求 q_V1、q_V2、h_f。
解：并联管路 λ(l₁/d₁)(υ₁²/(2g)) = λ(l₂/d₂)(υ₂²/(2g))，且 (πd₁²/4)υ₁ + (πd₂²/4)υ₂ = q_V。
由连续性方程得平均流速参考值 υ = 4q_V/[π(d₁² + d₂²)] = 1.37 m/s，由并联条件得 υ₁ = (l₂d₁/(l₁d₂))^{1/2}·υ₂ = 2υ₂，故 υ₁ = 1.94 m/s、υ₂ = 1.37 m/s。
思考题：图示为配有并联支路的管路输送系统，若各支管直径、阀门开度和布置均相同。现将支路 1 上的阀门 k₁ 关小，假设总管流量 q_V 不变：
枝状管网即由干管与支管组成的管路系统，干管将总流量分配至每个支管，支管末端互不相接。
设 H 是管路输送一定流量的流体所需的总水头，在忽略局部损失（若不能忽略则加入当量管长）和出口端流速水头的情况下：
H = Σ(h_fi + h_ei)，其中 h_e 为出口端所需压强水头。
枝状管网的计算主要是确定各管段的直径以及管网的水头损失，在此基础上确定 H，再选择水泵或确定水塔高度。计算时一般从管网末端能量需求最大的某支管算起，逆流而上逐段向干管起点计算。
环状管网是由若干管道相互连接组成的一些环形回路：
水击现象产生的过程按水击波传播分为四个阶段：
防止水击危害的方法：
作业：5-11、5-12。
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