页数：64页文件大小：821.0 KB来源： 流体力学ppt课件
本章讨论气体的一维高速流动。从微弱扰动传播导出声速与马赫数的概念；随后建立一维定常等熵流动的基本方程，引入滞止状态、临界状态与极限状态及速度系数，并给出按不可压缩处理的限度；接着分析截面积与流速的关系，导出收缩喷管与缩放喷管的流量特性；最后讨论激波的形成与正激波前后参数关系、马赫锥与微弱扰动传播、超声速气流的小角折转与膨胀波、斜激波与脱体激波，以及拉伐尔喷管的非设计工况。
本章主要内容：
在可压缩性介质中，压强扰动以波的形式传播，其传播速度的大小与介质的压缩性有关。例如，声音即为一微弱的压强扰动：可压缩性小的传播速度高，可压缩性大的传播速度低。由此可见，声速值反映了流体可压缩性的大小。
管中充满可压缩流体，左端装有一活塞，处于静止状态。当活塞突然以速度 dV 向右运动时，活塞附近的流体首先被压缩，其压强、密度产生一微小增量 dp、dρ，同时这一层流体质点也以速度 dV 向前运动；这一层被压缩了的流体随之又压缩其前方邻近的一层流体。这样一层一层向前传播，形成了一个已受扰动和未受扰动区域的分界面，这个分界面以速度 a 向前运动。
未受扰动区气体参数为 V = 0、p、ρ、T；受扰动区域为 dV、p + dp、ρ + dρ、T + dT。
扰动传播过程为非定常过程。为得到定常流动，可设想观察者随波面以声速 a 向右运动，气体相对观察者定常地由右向左流动。经过波面参数变化为：a → a − dV、p → p + dp、ρ → ρ + dρ、T → T + dT。
取包含波面在内的控制体，由质量守恒 ρaA = (ρ + dρ)(a − dV)A，得 ρ dV = a dρ；由动量定理 ρaA[−(a − dV) − (−a)] = [(p + dp) − p]A，得 ρ a dV = dp。
联立得 a² = dp/dρ。由于是微弱扰动，ρ + dρ ≈ ρ，故 a² = dp/dρ，即微弱扰动的传播速度通常称为声速。对液体可用弹性模量 E = ρ dp/dρ，则 a = √(E/ρ)。
对于气体，dp/dρ 比值取决于微弱扰动所引起的热力学过程。最早进行研究的是牛顿，他认为微弱扰动引起的温度变化很小，可以忽略不计，按等温过程处理，因而得出 a = √(RT) 的结论。
按该式计算的 0 ℃ 情况下空气中声音传播速度为 280 m/s，但当时实际测量的声音传播速度为 330 m/s，两者相差超过 17%。牛顿解释为空气中的灰尘和水份阻碍了声音的传播。
拉普拉斯纠正了这一理论错误，认为声波的传播过程是绝热的，又因为是微弱扰动，可视为等熵过程。由等熵方程 p/ρ^k = 常数 得 dp/dρ = kp/ρ，故
a = √(kp/ρ) = √(kRT)
用该式计算的声速值与实测值基本一致。声速值反映了流体的可压缩性，其大小与流体种类和所处状态有关；对于某种气体来说，它仅是温度的函数，因此声速值也是气体的状态参数之一。在同一流场中，由于各点的温度随气体的速度而变化，故各点的声速值也不同，所以有当地声速之称。
气体动力学中，马赫（Mach）数为气体流速与当地声速之比：M = V/a。
一维定常流动的基本方程：
其中 h = c_p T = [k/(k−1)]RT = [k/(k−1)]p/ρ = a²/(k−1)；c_p − c_V = R，k = c_p/c_V。
能量方程的其他形式及以马赫数表示的任意状态下的参数与滞止参数间的关系：
在已知滞止参数的情况下，可利用上述各式由气流的 M 数求出相应的各物理参数，也可由已知参数求滞止参数。
由能量方程可知，气体在绝热流动过程中当地声速 a 随着气流速度的增大而减小；在某个流动截面，气体流速 V 恰好等于当地声速 a，这个状态就是由亚声速向超声速转变的临界状态，相应的物理参数称为临界参数，以 h*、p*、ρ*、T* 和 a* 表示。将 M = 1 代入参数关系式得：
气体在绝热流动中，它的总能量是一个常数。如果气体充分膨胀、加速，将分子无规则运动的动能全部转换为宏观运动的动能，则气流的静压 p 和静温 T 将降为 0，气体的速度将达到最大值 V_max，这时的状态称为极限状态。最大速度是气流膨胀到真空时的极限速度，是理论上的极限值，实际上不可能达到。
由能量方程：V_max²/2 = h₀，故 V_max = √(2h₀) = √{2kRT₀/(k−1)} = a₀√{2/(k−1)}。
以气流速度和临界声速之比表示气体的流动，称为速度系数 M* = V/a*。
M* 与 M 的关系为：M*² = [(k + 1)M²/2]/[1 + (k−1)M²/2]，即 M² = [2M*²/(k+1)]/[1 − (k−1)M*²/(k+1)]。
速度系数也是划分气体类型的标准：
这是由于声速值随气流速度的增大而减小，当 V → V_max 时 a → 0，故 M → ∞；而临界声速 a* 不随 V 而变。此外因 a* 为常数，若已知各点 M* 而求 V 时，只需用 M* 乘以 a* 便可得到，比用 M 数似乎要方便一些。
用速度系数 M* 表示的气体动力学函数式：
根据气体动力学函数式，可分析不考虑压缩性所带来的误差。下面用皮托管测流速问题来说明。皮托管所测的是气流总压和静压之差。
代入 M² = V²/(k p/ρ) 整理得 p₀ − p = (ρV²/2)[1 + M²/4 + (2−k)M⁴/24 + …]，故
V_可压 = V_不可压/√ε，其中 ε = 1 + M²/4 + (2−k)M⁴/24 + … > 1
对于空气 k = 1.4：当 M = 0.2 时，若按不可压流处理，皮托管测速误差约为 0.6%（常温下空气流速约 68 m/s）；若 M = 0.3，则测速误差约为 1.1%，常温下相应的空气流速约 102 m/s。
设流动为一维定常等熵流动，不计粘性的一维动量方程为 dp + ρV dV = 0；由声速关系 dp = a² dρ，得 dρ/ρ = −V dV/a² = −M² dV/V。
代入一维连续方程 dρ/ρ + dV/V + dA/A = 0，得
dA/A = (M² − 1)·dV/V
这是由于超声速流动时气体膨胀加大、密度变化较快；要使单位时间内通过各截面的质量相同以维持定常流动，故速度增大时通道截面必须扩大。
最小截面是对管道几何尺寸而言的，在最小截面上气流速度不一定能达到声速，气流速度不是声速的最小截面则不叫临界截面；要使气流在最小截面上达到声速，需要进出口的压强达到一定的比值。
单纯收缩管道不可能得到超声速气流。为了得到超声速气流，必须使管道先收缩、然后再扩张：亚声速气流在收缩段加速并在最小截面上达到声速，然后进入扩张段进一步加速。这种收缩—扩张形管道是十九世纪瑞典工程师拉伐尔（Laval）发明的，故称为拉伐尔喷管。
根据连续方程 ρ₁V₁A₁ = ρ₂V₂A₂，有 A₁/A₂ = (ρ₂V₂)/(ρ₁V₁)；由等熵关系 ρ₂/ρ₁ = (T₂/T₁)^{1/(k−1)}，且 V₂/V₁ = (M₂/M₁)·(a₂/a₁) = (M₂/M₁)√(T₂/T₁)。
又由 T₀/T = 1 + (k−1)M²/2 可得 T₂/T₁ = [1 + (k−1)M₁²/2]/[1 + (k−1)M₂²/2]，代入即得面积比与两截面马赫数的关系式。
如果 M₂ = 1，即 A₂ = A* 为临界截面时，可得到任一截面的面积与临界截面之比与该截面上马赫数的关系式：
A/A* = (1/M)·{[2/(k+1)][1 + (k−1)M²/2]}^{(k+1)/[2(k−1)]}
工程上常将 A/A* 随 M 数变化的函数关系编列成表。由曲线可得：
喷管是使气流加速的一种装置。截面逐渐缩小的收缩喷管可使亚声速气流加速，其最大极限可加速到声速。设气体由一个容器中经收缩喷管向外流出，由于容器较大，可近似地把容器中的气体看作是静止的，则可将容器中的气体参数视为滞止参数 p₀、ρ₀、T₀；喷管出口截面上气流参数设为 p₁、ρ₁、T₁，喷管口以外的气体压强为 p_b，称为背压。忽略摩擦，设流动为等熵。
列出大容器和喷管出口截面上的能量方程，可得出口流速：
V₁ = √{(2k/(k−1))(p₀/ρ₀)[1 − (p₁/p₀)^{(k−1)/k}]}
由等熵条件 ρ₁ = ρ₀(p₁/p₀)^{1/k}，质量流量为 Q_m = ρ₁V₁A₁ = A₁√{(2k/(k−1))p₀ρ₀[(p₁/p₀)^{2/k} − (p₁/p₀)^{(k+1)/k}]}。
可以看出，在给定滞止参数和出口面积 A₁ 的情况下，喷管的质量流量 Q_m 的大小取决于压强比 p₁/p₀。
流量随压比的变化：
可见临界流量 Q_m* 即为喷管的最大流量，再降低压比不会增加流量，故这种状态称为喷管的壅塞状态。
喷管的收缩部分的作用和收缩喷管完全相同：气流加速到最小截面达到临界声速，而后在扩张部分继续加速，在管口达到设计要求的超声速流。喷管按设计工况流动时，管内的速度和压强沿喷管轴向的变化如图中 abc 曲线所示。
出口截面上的气流速度仍可按收缩喷管中的公式计算，只需将出口截面上的压强 p_el 代入即可；最小截面上达到声速，流量达到最大值。
将喷管做成先收缩后扩张的拉伐尔喷管，只是形成超声速流动的必要条件。要想获得所需的超声速气流，还必须保证喷管入口和出口之间应有的压强差：
在气体中施以微弱的压强扰动，将会形成微弱扰动波，以声速向前传播，扰动波引起气体参数的微小变化，其过程为等熵过程。如果气体受到强压缩扰动，就会形成强的压缩扰动波，以比声速大得多的速度 V_s 向前传播，它所引起的气体参数变化不再是微量，而是有限量的突跃性变化，即扰动波在其极薄的面上引起气体压强、密度、温度及气体质点速度发生明显的变化，其变化过程为不可逆的绝热过程。这样的强压缩扰动波称为激波。爆炸在空气中形成的冲击波就是激波，在空气中以超声速飞行的物体或超声速气流遇到障碍物时也会形成激波，激波也叫冲波。
管内气体原处于静止状态 V₁ = 0，其他参数为 p₁、ρ₁ 和 T₁。现推动活塞向右作加速运动，把活塞连续加速的过程分解为逐步加速的过程：
激波经过未受扰动的气体时，气体参数由 p₁、ρ₁、T₁ 突变为 p₂、ρ₂、T₂，波后气体速度由零突变为 V_f，称为伴随速度。
上面所讨论的激波面与激波的运动方向垂直，故称为正激波。通常把激波当成没有厚度的突跃面来处理。
实际上激波是有厚度的一个区域，在这个区域内气流参数发生急剧变化，但这个厚度很薄，与气体分子平均自由程同数量级。
采用相对坐标系，即相当于对整个系统加一个与激波运动速度大小相等、方向相反的速度，让激波固定不动，气体穿过激波流动：V₁ = V_s，V₂ = V_s − V_f。
对控制体应用连续方程 ρ₁V₁ = ρ₂V₂，动量方程 p₁ − p₂ = ρ₁V₁(V₂ − V₁)，即 (p₂ − p₁)/ρ₁ = V₁(V₁ − V₂)（按符号约定整理）。
因 V₁ 的大小与激波运动速度 V_s 相等、方向相反，故可求出激波的运动速度：V_s = √{ρ₂(p₂ − p₁)/[ρ₁(ρ₂ − ρ₁)]}。
将 V₁ = V_s、V₂ = V_s − V_f 代入连续方程得伴随速度：V_f = (ρ₂ − ρ₁)V_s/ρ₂ = √{(p₂ − p₁)(ρ₂ − ρ₁)/(ρ₁ρ₂)}。
激波的传播速度 V_s 以及伴随速度 V_f 与激波强度有关：激波越强，即压强和密度的变化越大，则激波的传播速度越快，伴随速度也越大，反之亦然。当激波强度为无限弱时 ρ₂ ≈ ρ₁，则传播速度将为 a = √(dp/dρ)，伴随速度 V_f = 0，也就是说激波已变成微弱扰动波。
激波相对其前方未受扰动的气体质点的速度一定大于当地声速。将坐标转换过来，若激波不动、气流穿过激波面而运动，则波前气流速度 V₁ 一定是超声速的。因此，对于气体作定常流动的问题中，只有超声速气流中才能出现激波；对于物体在气体中运动的问题，如果有激波出现在物体前部与物体一起向前运动，则物体的运动速度一定是超声速的。
为分析方便，仍采用前述的坐标转换，设激波固定不动，激波前的气流参数为 V₁、p₁、ρ₁、T₁，经激波后突变为 V₂、p₂、ρ₂、T₂：
正激波前后气流参数的关系：
激波突跃压缩与等熵压缩的比较。突跃压缩满足兰金—雨贡纽（Rankine-Hugoniot）公式：
它描述了气流经过激波的密度突跃、温度突跃与压强突跃之间的关系。对于等熵压缩，它们应遵循 p₂/p₁ = (ρ₂/ρ₁)^k，T₂/T₁ = (p₂/p₁)^{(k−1)/k}。
在同一压缩比下，突跃压缩的温度比要比等熵压缩的温度比高，而密度比较小。当 p₂/p₁ → ∞ 时，等熵压缩 ρ₂/ρ₁ → ∞，突跃压缩趋于 ρ₂/ρ₁ → (k+1)/(k−1)，是一个有限值；对于空气 k = 1.4，不会超过 6。
这是由于气流在通过激波时有部分机械能不可逆地转变为热能，温度升高较大，而温度的增高会使气体膨胀、密度减小，这样使激波压缩所导致的密度的增高受到了限制。不管激波多么强，密度比 ρ₂/ρ₁ 不会超过 (k+1)/(k−1) 这个极限。
在静止流场中，空间某点存在一微弱扰动源，它所产生的扰动波以声速 a 向四周传播，形成以扰动源所在位置 O 为中心的同心球面波。如果不考虑扰动波传播过程中的损失，随着时间的延长，扰动必将传遍整个流场。
在均匀亚声速流场中，处于某一固定点上有一小扰动源，它所产生的扰动波由于流体本身以速度 V 运动，故扰动波传播的绝对速度应是两个速度的矢量和。由于 V < a，故扰动波面是由一串不同心的球面所组成。显然，随着时间的延长，扰动也可以传遍整个流场。
在均匀声速流场中（V = a），处于某一固定点的一个小扰动源所产生的扰动波是与扰动源相切的一系列球面。可以看出，任何扰动只能在扰动源所在的垂直平面的下游半空间传播，永远不可能传播到上游半空间，其包络面即马赫锥。
在均匀超声速流场（V > a）中，扰动波面由自扰动源点出发的锥面的一系列内切球面所组成，通常称此锥为马赫锥，扰动只能在马赫锥内传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。
马赫锥的半顶角称为马赫角，用 μ 表示，它与马赫数的关系为 sin μ = a/V = 1/M。马赫锥通常也称马赫波，它是超声速气流受到微弱扰动时已受扰动影响和未受扰动影响的分界面。三维流场形成锥形波面，二维流场则形成相交的平面波，故称马赫波比马赫锥具有更广泛的意义。穿过马赫波，气流状态参数发生微变化，其变化过程为等熵过程。
均匀超声速气流沿平壁流动，在 O 点折转一小角度 δθ，由于壁面存在折角，必然对气流产生扰动，折角即为一扰动源。根据超声速气流中扰动传播特征，扰动将在由折转点 O 所发出的马赫波的下游区域内传播，马赫波上游的区域不受扰动的影响。
经马赫波，气流的速度由 V 变为 V + δV，气流的方向也由水平方向折转一个小角度 δθ，沿平行于折转后的壁面的方向流动。
为求出折角 δθ 与速度变化量 δV 之间的关系，建立沿马赫波方向的动量方程：Q_m[(V + δV)cos(μ + δθ) − V cos μ] = 0，式中 Q_m = ρV_n = ρV sin μ，为穿过马赫波每单位面积上的质量流量。
展开上式，考虑到 δθ → dθ，故 cos δθ → 1、sin δθ → dθ，并略去高阶小量，得 dθ = (dV/V)·(cos μ/sin μ)·… 即 dθ = √(M² − 1)·dV/V。
因为超声速流动 M > 1，根号下的值永远为正：当 dθ > 0 时 dV > 0，即绕凸钝角流动为加速流动（膨胀性流动），对应的马赫波为膨胀性马赫波；当 dθ < 0 时 dV < 0，即绕凹钝角流动为减速流动（压缩性流动），对应的马赫波为压缩性马赫波。
利用能量方程、马赫数的表达式等，可消去上式中的 V 和 dV，得到 dθ 与 dM 的关系式：
dθ = √(M² − 1)·dM/[M(1 + (k−1)M²/2)]
此式即为超声速气流小角折转计算式，它描述了折角与马赫数变化之间的关系。式中折角 dθ 以弧度计，膨胀性折转（外折）dθ 的符号为正，压缩性折转（内折）dθ 为负。
超声速气流沿平壁流动时，遇到微小折角会产生一道马赫波，经过马赫波气流速度的大小和方向均发生微小变化。如果壁面发生一系列折角，则在每个折角处产生一道马赫波。因为是膨胀折转，δθ 为正，经波后气流马赫数增大（δM 为正），故马赫波与水平方向的夹角越来越小——这来自两个原因：一是马赫角减小，一是气流也在偏转。
若壁面连续地折转，相当于流过平滑曲线壁面，则会形成一个连续变化的扰动区。
当壁面的弯曲部分收缩为一点，即在一点集中产生一个有限大的折角时，扰动区中的所有马赫波均由此点出发，形成一个扇形扰动区，气流通过扰动区连续变化，直到通过最后一道马赫波达到与壁面平行为止。
在此应注意，壁面是集中一次折转了 θ 角，但所引起的气流的膨胀却是在扰动区内连续发生，而不是“突跃”变化；也就是说，这些马赫波虽自一点发生，但并不会叠加在一起，而是呈发散状，形成一个扇形的变化区，其原因即 μ 在逐步减小、气流也在不断偏转。
将小角折转计算式积分，可得马赫数与折角 θ 的关系式：
θ = √{(k+1)/(k−1)}·arctan√{[(k−1)/(k+1)](M₂² − 1)} − arctan√(M₂² − 1) − √{(k+1)/(k−1)}·arctan√{[(k−1)/(k+1)](M₁² − 1)} + arctan√(M₁² − 1)
式中 M₁ 为折转前气流的马赫数，M₂ 为折转后的马赫数。这里必须指出，折转角 θ 只要是使超声速气流发生膨胀性折转即可应用此式求之，而不必考虑它是左旋还是右旋。
若起始马赫数 M₁ = 1，上式可写成 θ(M) = √{(k+1)/(k−1)}·arctan√{[(k−1)/(k+1)](M² − 1)} − arctan√(M² − 1)，它表示起始马赫数 M₁ = 1 的气流沿壁面折转膨胀时，折转角 θ 与折转后马赫数的关系。
θ 是 M 数的函数，故写成 θ = θ(M)，该函数称为普朗特—迈耶（Prandtl-Mayer）函数，实用中将此函数的计算结果列成表格以备查用。由上式还可以求出由 M = 1 膨胀到 M = ∞ 时的最大折转角 θ_max = (π/2)[√{(k+1)/(k−1)} − 1]；对于空气 k = 1.4，θ_max = 130°27′。
超声速气流遇到压缩性小角折转时，将产生压缩性马赫波。超声速气流在 A 点遇到一微小折角 δθ 的扰动，则由 A 点起产生一道马赫波，经马赫波后气流的方向将偏转一微小角度 δθ，气流的速度及压强、密度等均发生一微小变化；由于是压缩性折转，波后气流马赫数小于波前马赫数。
如果气流再发生 δθ 角的折转，则又会产生压缩性马赫波，马赫波的斜率将大于前一马赫波的斜率——这是由于 M 数的减小使马赫角 μ 增大，再加上气流也向内折转了 δθ 之故。若壁面继续折转，则后面所形成的波的斜率就会越来越大，致使这些波相遇而叠加起来形成一道强压缩扰动波，即为激波。
如果由 A 到 D 的逐次折转中使 D 无限接近 A 点，则这些波将在 A 点叠加成一道与气流夹角为 β 的斜激波，气流在 A 点一次折转 θ 角。因激波面与来流方向呈倾斜状态，故称斜激波。头部呈尖角形的物体在气体中以超声速运动时，也会出现斜激波。斜激波和正激波一样，都是突跃压缩波，具有相同的基本特性。
图中给出斜激波的形成过程：由 A 点起逐次折转 δθ 所产生的压缩性马赫波斜率逐渐增大并相遇叠加，最终形成与来流成 β 角的斜激波；并与尖头超声速物体头部形成的斜激波进行对比。
平面超声速气流中存在一固定斜激波。激波前气流参数为 V₁、p₁、ρ₁、T₁，激波后为 V₂、p₂、ρ₂、T₂。将激波前后的速度分解为与波面垂直的分速度 V₁n、V₂n，以及与波面平行的分速度 V₁t、V₂t。
由于通过激波波面的流量与沿波面的切向分速度 V₁t 和 V₂t 无关，故连续方程为 ρ₁V₁n = ρ₂V₂n；切向动量方程为 ρ₂V₂nV₂t − ρ₁V₁nV₁t = 0，故 V₂t = V₁t = V_t。
该式表明，斜激波前后的切向速度相同。这样，当气流穿过激波时，只有法向速度发生突变，因此可以将斜激波看成是法向速度的正激波。波前速度 V₁n = V₁ sin β，波后速度 V₂n = V₂ sin(β − θ)。
以 M₁ sin β 代替正激波关系式中的 M₁，便可得斜激波前后气流参数间的关系：
斜激波前后的马赫数关系类似正激波，但需以 M₁n = M₁ sin β 和 M₂n = M₂ sin(β − θ) 中的 M₁、M₂ 分别代替正激波关系式中的相应量：
M₂²sin²(β − θ) = [2 + (k−1)M₁²sin²β]/[2kM₁²sin²β − (k−1)]
对于兰金—雨贡纽式，因其中不包含马赫数，也不包含激波倾角 β，所以对正激波和斜激波都适用。
由几何关系知 tg β = V₁n/V₁t，tg(β − θ) = V₂n/V₂t，又知 V₂t = V₁t，故 tg(β − θ)/tg β = V₂n/V₁n = ρ₁/ρ₂ = [(k−1)M₁²sin²β + 2]/[(k+1)M₁²sin²β]。
整理得 tg θ = 2ctg β·[M₁²sin²β − 1]/[M₁²(k + cos 2β) + 2]，绘成曲线为双值函数。
由图可以看出，对于确定的来流马赫数 M₁，对应一个最大的偏转角 θ_max；当壁面偏转角 θ > θ_max 时，在曲线上没有交点，在楔尖处不存在斜激波，而是在前部一定距离处形成一道曲线形激波，这就是脱体激波。
脱体激波的形状和位置取决于物体的几何形状、下游条件和来流马赫数。脱体波的中间部分为正激波，经正激波后的流动为亚声速流动；由中间向两侧延伸的激波逐渐倾斜，激波倾角逐渐减少，激波强度逐渐减弱，故脱体激波为非等强度激波。超声速气流中的钝头物体，只要来流马赫数大于 1，必然在其前方出现脱体激波。
气体在拉伐尔喷管中按设计工况流动时，背压必须等于计算出口压强，否则得不到预计的超声速气流。
不论在管口出现斜激波还是膨胀波，波后气流都是超声速的，都会在下游产生相交和反射的波系，气流性能变坏，并发生不可逆过程，产生损失。
图中给出拉伐尔喷管的非设计工况流动：以轴向位置 x 为横轴、压强比 p/p₀ 为纵轴，分别标出设计工况曲线以及正激波、斜激波、膨胀波等工况下的压强分布，并注明喉部 A* 处 M = 1 与各特征背压 p_e1、p_d、p_f、p_e2 的对应关系。
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