06 第六章 流体旋涡运动基础.pptx

第1页：第六章 流体旋涡运动基础

本章主要内容：

• 旋涡运动的基本概念
• 斯托克斯定理
• 涡管强度守恒定理
• 旋涡的保持性定理

第2页：涡量场

涡量的分量：Ω_x = ∂υ_z/∂y − ∂υ_y/∂z，Ω_y = ∂υ_x/∂z − ∂υ_z/∂x，Ω_z = ∂υ_y/∂x − ∂υ_x/∂y。

利用上式可以证明，涡量场满足下面的涡量连续性方程：∂Ω_x/∂x + ∂Ω_y/∂y + ∂Ω_z/∂z = 0。

第3页：涡线

涡线是旋涡场中的一条曲线，在某一瞬时，曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度方向重合，方向按右手螺旋法则判别。

取 ds = dx i + dy j + dz k 为涡线上一微元线段，由 Ω × ds = 0 可得涡线微分方程：dx/Ω_x = dy/Ω_y = dz/Ω_z。

对非定常流动涡线的形状随时间而变，对定常流动涡线形状不随时间而变；与流线一样，涡线本身也不会相交。

第4页：涡管、涡束与涡通量

涡管

在涡量场中任取一条不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过封闭曲线上的每一点作涡线，这些涡线形成的管状表面。

涡束

涡管中充满作旋转运动的流体。

涡通量

通过任一开口曲面的涡量的总和，J = ∬_A Ω·n dA，n 为 dA 外法线方向的单位向量。

第5页：速度环量

速度环量 Γ = ∮_K υ·dl = ∮_K (υ_x dx + υ_y dy + υ_z dz)。

环量的正向为：沿封闭周线前进时，周线所包围的面积在速度方向的左侧，即逆时针方向的速度环量为“+”；沿顺时针方向绕行时，速度环量为“−”。

第6页：斯托克斯定理

当封闭周线内有涡束时，沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和，即通过该周线包围面积的涡通量：Γ = 2∬_A ω_n dA。

证明：先在 XY 平面取边长为 dx、dy 的微元矩形封闭周线 ABCDA，沿封闭周线的速度环量为 dΓ = Γ_AB + Γ_BC + Γ_CD + Γ_DA。

第7页：微元周线的证明

四条边上的环量分别为：

• Γ_AB = [υ_x + (1/2)(∂υ_x/∂x)dx]dx
• Γ_BC = [υ_y + (1/2)(∂υ_y/∂x)dx]dy
• Γ_CD = −[υ_x + (∂υ_x/∂x)dx + (1/2)(∂υ_x/∂y)dy]dx
• Γ_DA = −[υ_y + (1/2)(∂υ_y/∂y)dy]dy

相加得 dΓ_ABCDA = (∂υ_y/∂x − ∂υ_x/∂y)dxdy = 2ω_z dA = dJ，这就证明了微元封闭周线的斯托克斯定理。

第8页：推广到有限大小周线

将曲线 K 所包围的面积用两组互相垂直（分别平行于 X、Y 轴）的直线分割成无数的无穷小矩形，则对每一微元面积必有 dΓ = 2ω_z dA，对整个有限区域则 ΣdΓ = Σ2ω_z dA。

对 K 的周线内部，相邻两微元矩形的公共周线上速度环量大小相等、方向相反，互相抵消，故内边 ΣdΓ = 0；取极限时微小矩形的外边即以周线 K 为极限，这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。

第9页：多连通域的斯托克斯定理

以上定理仅适用于单连通域。与数学上定义相同，单连域即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。对多连通域，则先将多连域化为单连域。

因为假设速度方向是 A→B，则 Γ_AB 为“+”，而 B′→A′ 时速度方向与环量规定的正向相反，故 Γ_{B′A′} 为“−”，于是 Γ_K = Γ_K1 + Γ_K2，即 Γ_{K1} − Γ_{K2} = 2∬_A ω_n dA。上述结论也适用于任意空间封闭曲线与任意空间曲面。

第10页：存在多个洞的多连域

推而广之，对存在多个洞的多连域则有：

Γ_K − ΣΓ_Ki = 2∬_A ω_n dA

即通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。

第11页：用速度环量研究旋涡的优点

• 环量等于零，总旋涡强度等于零；环量不等于零，必然存在旋涡。
• 速度环量是线积分，被积分函数是速度本身。
• 旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数。

所以，无论是实验还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一些，这就是斯托克斯定理的用处。

第12页：涡管强度守恒定理

某一时刻在涡量场中任取一段涡管，在涡管上任取两个截面 A₁ 和 A₂，对于 A₁、A₂ 及侧壁 A₃ 组成的封闭曲面 A，有

J = ∬_A Ω·n dA = ∬_A1 Ω·n dA + ∬_A2 Ω·n dA + ∬_A3 Ω·n dA = 0

由于侧面上 Ω·n = 0，得 ∬_A1 Ω·n dA = ∬_A2 Ω·n dA = 常数，即同一时刻沿同一涡管各截面的涡通量不变。由于通常又把涡管的涡通量称作涡管强度（简称涡强），因此上式又称为涡管强度守恒定理。

第13页：涡管强度守恒的推论

对于同一截面上各点涡量都相同的均匀涡管，涡管强度守恒定理可表示为 Ω₁A₁ = Ω₂A₂ = 常数。由此得出下列结论：

1. 对于同一涡管，涡管截面积越大处其涡量越小，反之亦然。
2. 涡管在流体中不能产生或消失。
3. 绕涡管壁面一周的任一封闭曲线的速度环量为常数。

第14页：凯尔文定理

流体质点线

指在同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点组成的流体线；若处处可微则称连续流体质点线，其几何形状可能改变但仍保持连续。

凯尔文定理

正压性的理想流体在有势的质量力作用下，沿任意一条封闭流体质点线的速度环量不随时间变化，即 dΓ/dt = 0。

正压性流体

通常 ρ = f(p, T)，若仅是压力的函数即 ρ = f(p)，则为正压性流体。例如等温流动中 p/ρ = 常数、等熵过程中 p/ρ^k = 常数，均是正压性流体。

第15页：凯尔文定理的证明思路

在空间任取由流体质点所组成的封闭周线 L，速度环量 Γ = ∮_L (υ_x dx + υ_y dy + υ_z dz) = ∮_L υ·ds。要证明 dΓ/dt = 0，需对积分号内各项求导：

d(υ_x dx)/dt = (dυ_x/dt)dx + υ_x(d(dx)/dt)，d(υ_y dy)/dt、d(υ_z dz)/dt 形式相同，其中 d(dx)/dt = dυ_x/dt 等。

第16页：凯尔文定理的证明

代入理想流体欧拉运动微分方程 dυ_x/dt = f_x − (1/ρ)∂p/∂x 等，得

dΓ/dt = ∮_L [f_x dx + f_y dy + f_z dz − (1/ρ)(∂p/∂x dx + ∂p/∂y dy + ∂p/∂z dz) + d(υ²/2)]

代入质量力势函数与压力函数后化为 ∮_L d(υ²/2 − π − P_F) = 0，即 DΓ/Dt = 0，Γ = 常数，证毕。

第17页：涡通量保持性

根据斯托克斯定理 Γ = ∮_K υ·dl = ∬_A Ω_n dA = J，则凯尔文定理又可写成另外一种形式：

(∬_A Ω_n dA)_{t1} = (∬_A Ω_n dA)_{t2}

上式表明：通过任一流体面的涡通量在运动中保持不变，因此凯尔文定理又称为流体面的涡通量保持性定理。旋涡的保持性是旋涡运动的重要性质。

第18页：拉格朗日定理

拉格朗日定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下流动时，若初始时刻在某一部分流体内没有旋涡，则在以前及以后的时间里，这部分流体也不会有旋涡；反之，若初始时刻该部分流体内有旋涡，则在以前及以后的时间里，这部分流体始终有旋涡。

该定理只适用于理想流体。在粘性流体中，流体的粘性破坏了旋涡的保持性，使其不再遵循不生不灭的规律。

第19页：海姆霍兹第一定理

涡管保持定理——海姆霍兹第一定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同的流体质点所组成。

证明：在涡管表面上任取一封闭的流体质点线 K，由斯托克斯定理可知 Γ_K = 0；由凯尔文定理，在所设前提条件下，沿涡管表面封闭周线 K 的速度环量始终为零。因此构成涡管表面的流体质点将永远在涡管表面上，即涡管在运动中永远保持为涡管而不被破坏，但随着时间变化，涡管的形状有可能变化。

第20页：海姆霍兹第二定理

涡管强度保持定理——海姆霍兹第二定理：在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间变化。

证明：取由流体质点组成的封闭周线 L 包围涡管截面 A，由凯尔文定理 dΓ/dt = 0，由斯托克斯定理 Γ = J，故 dJ/dt = 0，J = 常数（J 为运动过程中的涡管强度）。