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本章讨论模型试验的理论基础。先给出原型与模型流动之间几何相似、运动相似和动力相似的定义与比例尺关系；随后阐述相似原理，说明相似现象必须满足微分方程组相同、单值条件相似与同名准则数相等，并列出均时性、雷诺、佛汝德、欧拉、柯西与马赫等相似准则；最后介绍量纲分析法与 π 定理，并以圆管沿程损失和圆球绕流阻力为例说明其应用。
本章主要内容：
流体力学研究可采用理论分析、模型试验与数值计算等手段，研究对象包括飞机、舰船、高速汽车、核爆炸、建筑物、热工水力设备等，实验则在风洞、水池、激波管、热工水力实验台架上进行。不同的尺寸、不同的流体、不同的工作条件下，欲模型实验结果适用于实际流动，两者之间必须存在力学相似。
几何相似：模型和实物流动有相似的边界形状，所有对应线性尺寸成同一比例，对应角度相等。
运动相似：在几何相似的条件下，原型流动与模型流动的流线应该几何相似，即对应的速度场、加速度场相似，包括速度与加速度方向一致、大小互成比例。
动力相似：在几何相似的条件下，原型与模型流动中对应点的同名力方向相同，且大小互成比例。同名力是指具有同一力学性质的力。
F = ma = ρV_l³·a，故力的比例尺 δ_F = δ_ρ·δ_L³·δ_a = δ_ρ·δ_L²·δ_V² = 常数。
在流体机械中，还有转速比例尺 δ_n = n₁/n₂ = δ_V/δ_L（因 n ~ 1/t）。
符合上述全部条件的这种物理相似则称为流动的力学相似。三个各自独立的基本比例尺为 δ_L、δ_V、δ_ρ。
两个力学相似的流动还应该具有相同的运动微分方程式，且边界条件与起始条件相似。
相似现象必须满足下述条件：
例如，流体质点作直线运动，其运动微分方程为 V₁ = dL₁/dt₁；与其相似的另一流动为 V₂ = dL₂/dt₂。
由 V₁ = δ_V V₂、L₁ = δ_L L₂、t₁ = δ_t t₂ 代入，得 δ_V·dL₂/dt₂ = δ_L/δ_t·dL₂/dt₂，即 δ_V = δ_L/δ_t，故 δ_V δ_t/δ_L = 1。
可见各相似比例尺是不能随意选取的，必须受上式制约。
由 δ_V δ_t/δ_L = 1 得 V₁t₁/L₁ = V₂t₂/L₂，即 St = Vt/L 称为均时性准则；St 为不变量，且是个无因次综合量，在研究非定常流动时要用到。
某一时刻，不同点或不同截面上的相似准则会有不同的数值；而彼此相似的系统，在对应时刻、对应点或对应截面上，相似准则数应该相等。因此，相似准则不是常量，而称为不变量。
在下图所示的两个相似流动中，Re₁ ≠ Re₁′、Re₂ ≠ Re₂′（不同点数值不同），但是 Re₁ = Re₂、Re₁′ = Re₂′（对应点相等）。
雷诺准则可作为描述两个相似的层流流动中粘性阻力相似的准则。
相似第二定理（相似条件）：凡同一种类现象（即可用同一微分方程组描述的现象），若单值性条件相似，并且由单值性条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等，则这些现象就必定相似。
即两流动相似 ⇔ 微分方程相同 + 单值条件相似 + 相似准则相等。
其他物理量的量纲，均可用基本量纲的不同指数幂乘积形式来表示。例如：速度 = 长度/时间 = L/T = LT⁻¹；力 = 质量 × 加速度 = MLT⁻²。在传热学中，还要加上一个温度的基本量纲 [θ]。
量纲分析法：一个物理方程式的等式两边应该具有相同的量纲，否则就不是正确的物理方程，即 [a^α b^β c^γ]₁ = [a^α1 b^β1 c^γ1]₂ = [X]。
例：不可压缩牛顿流体在水平光滑圆管内的阻力实验，单位长度压强损失 Δp/l = f(d, V, ν, ρ)。
实验方法：逐个考虑每个自变量的影响，改变一个自变量、保持其余三个不变，测量 Δp/l；每一个变量值需改变多次，重复实验。
实际困难：同一黏性系数、不同密度很难实现；实验次数为 10×10×10×10 = 10000 次，按 1 次/半小时、8 小时/天计算需 2.5 年；数据整理需对四个变量分别做图表，需厚厚一本水力学手册。
另辟蹊径：根据题意，Δp/l 与其他物理量之间的函数关系为 Δp/l = f(d, V, ν, ρ)。
由于所有物理量的量纲只能是基本量纲不同指数幂的乘积形式，而不能是加减的关系，因此上式可改写成：
Δp/l = K d^α V^β ν^γ ρ^δ
其中 α、β、γ、δ 为待定指数，K 为常数。
写出各物理量的量纲如下：
代入 Δp/l = K d^α V^β ν^γ ρ^δ，得 MT⁻²L⁻² = M^δ L^{α+β+2γ−3δ} T^{−β−γ}。
对 M：δ = 1；对 L：α + β + 2γ − 3δ = −2；对 T：−β − γ = −2。
由于方程中含有四个未知数，将其中一个未知数 γ 作为待定值，可解得 α = −1 − γ、β = 2 − γ、δ = 1。代入得圆管单位长度上的压强损失关系式：
Δp/l = K d^{−1−γ} V^{2−γ} ν^γ ρ = K(ρV²/d)(ν/(Vd))^γ
即 Δp/(l ρV²/d) = 2K Re^{−γ}，写成 λ = Δp/(l/d)(V²/(2g)ρg) 的形式即 λ = λ(Re)。
一根实验管、一种流体，只需改变 V 以改变 Re = ρVD/μ，测量 Δp/(lρV²/d)，即可得到 λ 与 Re 的关系。
实验次数大大减少，比如 10 次（10 个数据点）；实验结果用一条曲线表示，回归成一个公式。
缺点和不足：只有当影响流动的参数只有三个时，才能用三个等式来求解三个未知数（即三个指数）。如果影响流动的参数有四个，即 d、V、ν、ρ，那么在只有三个等式方程的情况下求解四个指数 α、β、γ、δ，这就存在一个待定指数的问题。
如果影响流动的参数更多，那么就有更多的待定指数，所以这种方法使我们在指数的选取上存在着困难。
π 定理（相似第三定理）叙述如下：某一物理现象中，共有 i 个物理量（这些物理量不能由其他物理量组合而成），这些物理量的基本量纲为 j 个，则 i 个物理量存在某种函数关系 f(x₁, x₂, ……, x_i) = 0。
如果用 Π₁、Π₂、……、Π_{i−j} 表示由 x₁、x₂、……、x_i 组成的无量纲量，则有 F(Π₁, Π₂, ……, Π_{i−j}) = 0。以上这个结论就是著名的 π 定理，也称为相似第三定理或柏金汉定理。
π 定理要求的独立无量纲变量形式可能不同，但必须相互独立，即其中任一 Π 都不能用其他 Π 的商或积来表示；Π 形式可能不同，但独立 Π 数目不变。
在流体力学中，为了保证几何相似，常选择一个长度量纲例如 l 或 d；为了保证运动相似，常选择一个速度量纲例如速度 V；为了保证动力相似，常选择一个与质量有关的量纲例如流体的密度 ρ。几个无量纲变量的积或商仍是无量纲变量。
例 1：粘性不可压流体水平圆管定常流动。
例 2：圆球在无界的粘性不可压缩流体中匀速运动，分析阻力与哪些因素有关。
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