07 第七章 不可压缩流体平面势流.pptx

第1页：第七章 不可压缩流体平面势流

本章主要内容：

• 平面流动的势函数和流函数
• 几种简单势流流动
• 平面势流的叠加流动
• 绕圆柱体有环量流动

第2页：速度势函数

对于无旋流动，有 ∂w/∂y = ∂υ/∂z、∂u/∂z = ∂w/∂x、∂υ/∂x = ∂u/∂y。根据数学分析，上式成立是 u dx + υ dy + w dz 成为某一函数 φ(x, y, z, t) 的全微分的充要条件，该函数称为速度势函数，简称速度势。

即 dφ = (∂φ/∂x)dx + (∂φ/∂y)dy + (∂φ/∂z)dz = u dx + υ dy + w dz，故 u = ∂φ/∂x、υ = ∂φ/∂y、w = ∂φ/∂z，即 V = ∇φ，速度势的梯度等于流场的速度。

第3页：柱坐标中的势函数与环量

在柱坐标中：径向速度 υ_r = ∂φ/∂r，切向速度 υ_θ = (1/r)∂φ/∂θ，轴向速度 υ_z = ∂φ/∂z。

对无旋流动（rot V = 0）总有速度势存在，所以无旋流动也称为有势流动。在有势流动中，沿 AB 曲线的切向速度线积分（速度环量）等于终点 B 与起点 A 的速度势之差：Γ_AB = ∫_A^B V·ds = φ_B − φ_A。沿任一封闭周线 K 的速度环量 Γ_K = ∮_K dφ，若 φ 是单值或由斯托克斯定理，则 ∮_K dφ = 0。

第4页：由速度分布求速度势函数

由于无旋流场中速度沿曲线积分与路径无关，因此可以选一条便于积分的路径：先从 A′(0, 0) 沿 x 轴积到 A(x, 0)，再从 A(x, 0) 沿平行于 y 轴的方向积到 B(x, y)。

即 φ(x, y) = ∫₀^x u(x, 0)dx + ∫₀^y υ(x, y)dy。

第5页：势函数方程

对不可压缩流体无旋流动，连续性方程为 ∂u/∂x + ∂υ/∂y + ∂w/∂z = 0，代入 u = ∂φ/∂x、υ = ∂φ/∂y、w = ∂φ/∂z 得：

∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = ∇²φ = 0

即拉普拉斯方程，满足该方程的函数称为调和函数，其中 ∇² = Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 为拉普拉斯算子。

第6页：柱面坐标的拉普拉斯方程与求解思路

对柱面坐标，可推导出拉普拉斯方程为：∇²φ = ∂²φ/∂r² + (1/r)∂φ/∂r + (1/r²)∂²φ/∂θ² + ∂²φ/∂z² = 0，配合柱坐标连续性方程 ∂υ_r/∂r + (1/r)∂υ_θ/∂θ + ∂υ_z/∂z + υ_r/r = 0 使用。

求解思路：流体流动无旋 → 存在单值的速度势函数 → 流场中沿封闭曲线的速度环量为零 → 求得速度场 → 由伯努利方程 z + p/(ρg) + V²/(2g) = 常数 求得压力分布。

第7页：流函数

由二维不可压缩流体连续方程 ∂u/∂x + ∂υ/∂y = 0，即 ∂u/∂x = −∂υ/∂y。由数学分析可知，上式是 (−υ dx + u dy) 成为某一函数 ψ(x, y) 的全微分的充要条件，即 dψ = u dy − υ dx。

又 dψ = (∂ψ/∂x)dx + (∂ψ/∂y)dy，所以 u = ∂ψ/∂y、υ = −∂ψ/∂x，连续方程自动满足：∂u/∂x + ∂υ/∂y = ∂²ψ/(∂x∂y) − ∂²ψ/(∂x∂y) = 0。

第8页：流函数的基本性质

• 流函数 ψ 的等值线就是流线。
• 任意两条流线之间通过的流量等于两流线对应流函数值的差：Q_ab = ∫_a^b υ_n ds = ∫_a^b (u dy − υ dx) = ∫_a^b dψ = ψ_b − ψ_a。

第9页：流函数方程

平面无旋流动的条件为流体微团的旋转角速度 ω_z 为零，即 ∂υ/∂x − ∂u/∂y = 0。代入 u = ∂ψ/∂y、υ = −∂ψ/∂x 得：

∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² = 0（无旋）；对于不可压缩流体平面有旋流动则有 ∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² = −2ω_z。

流函数方程为拉普拉斯方程仅适用于不可压平面势流，对于有旋流动或可压缩流体平面势流则不适用。

第10页：边界条件

不可压平面势流问题的边界条件：

• 绕流物体表面（固壁）上法向速度为零：V_n = ∂φ/∂n = 0，或 ψ = 0。
• 无穷远处为均匀来流。当 x 轴与来流方向一致时，有 u = ∂φ/∂x = ∂ψ/∂y = V_∞，υ = ∂φ/∂y = −∂ψ/∂x = 0。

第11页：柯西—黎曼条件

对于不可压平面势流，因为 u = ∂φ/∂x = ∂ψ/∂y、υ = ∂φ/∂y = −∂ψ/∂x，这一对数学关系式在数学分析中称作柯西—黎曼条件。

因此 φ 和 ψ 互为共轭调和函数，可利用复变函数来解决此类问题。

第12页：流线与等势线正交

由于 ∇ψ 是流线簇 ψ = 常数 的梯度，∇φ 是等势线簇 φ = 常数 的梯度，因此 ∇ψ·∇φ = 0 是流线簇与等势线簇正交的条件：

∇ψ·∇φ = (∂ψ/∂x)(∂φ/∂x) + (∂ψ/∂y)(∂φ/∂y) = −υ·u + u·υ = 0

由此构成正交的流网。

第13页：拉普拉斯方程解的可叠加性

如果 φ₁ 和 φ₂ 是两个有势流动，则每一个流动均满足拉普拉斯方程 ∇²φ₁ = 0、∇²φ₂ = 0。将上述两个方程相加得 ∇²φ = ∇²(φ₁ + φ₂) = ∇²φ₁ + ∇²φ₂ = 0，所以 φ 也是方程的解。

类似地，叠加后的流函数亦等于两个原始流动的流函数的代数和，即 ψ = ψ₁ + ψ₂；速度场为 u = u₁ + u₂、υ = υ₁ + υ₂，即 V = ∇φ = ∇φ₁ + ∇φ₂ = V₁ + V₂。

第14页：均匀直线流

均匀流：u = V_∞cos θ，υ = V_∞sin θ，由 dφ = u dx + υ dy 得 φ = x V_∞cos θ + y V_∞sin θ；由 dψ = −υ dx + u dy 得 ψ = −x V_∞sin θ + y V_∞cos θ。均匀流的势函数和流函数均为线性函数。

当取 x 轴与来流方向一致时，θ = 0，则 υ = 0，φ = x V_∞，ψ = y V_∞。若平行流在水平面上进行（z = 常数），或流体重度可忽略不计，则由伯努利方程可推出 p = 常数，即流场中压力处处相等。