06 第6章 不可压缩流体的平面势流.docx

第1页：不可压缩流体的平面势流

不可压缩流体的平面势流

• 速度势函数对于无旋流动，有w根据数学分析可知：上式成立是udxdywdz成为某一函数(x,y,z,t)的
• 全微分的充要条件。称为速度势函数，简称速度势。即：dudxdywdz又有：ddxdydzxyzu，，wxyz又由矢量分析：＿＿＿＿＿＿＿Vuiiwkxiyizkgrad即速度势的梯度等于流场的速度。
• rr在柱坐标中：径向速度：切向速度：srzz轴向速度：由此可见，对任意方向的偏导数，就是速度V在该方向的投影，这是的一个重要性质。

第2页：有势流动的速度势函数（续）

有势流动的速度势函数（续）

• 即在有势流动中，沿AB曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B与起点A的速度势之差。又：在有势流动中，沿任一封闭周线K的速度环量KKΓVds__Kudxdywdz＝d若是单值或由斯托克斯定理，则Kd0
• 势函数方程将u，，w代入不可压流体连续方程：xyzuw0xyz则有：20222x2y2z2
• 2x2y2z2222(其中称为拉普拉斯算子)即在不可压流体的有势流动中，速度势满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，数学上称为调和函数，所以，速度势点数是一个调和函数。对柱面坐标，的拉普拉斯方程为：221122r2rrr2z2
• rzrrz〔推导过程为：将＝，＝，＝代入柱面坐标的连续方程，即可〕根据以上讨论可知：只要流体流动无旋。则必然存在单值的速度势函数，反之，若流场中存在单值的势函数，则此流动必为无旋流动。此外，流动无旋，流场中沿封闭曲线的速度环量为零。

第3页：有势流动的速度势函数（续）

即：_＝0_＝0Γ0因此，求解不可压流体的无旋流动问题，便可归结为求解速度势问题，以V2p此求得速度场，再由无旋流动的伯努利方程zg2gconst，求得压力分布。

第4页：流函数

流函数

• 流函数
• 不可压缩流体的流函数以上引进的势函数虽然能使问题简化，但它仅限于有势流动(即无旋流动)，对于有旋流动，我们必须根据定常，不可压二元流动的连续方程，引出流函数的概念。推导如下：由二元不可压流体的连续方程u0xy则：xyu
• 又：平面流动的流线微分方程为：dxdyuudydx0
• 由数学分析可知：
• 是
• 成为某一函数(x,y)的全微分的充要条件。即：dudydx
• 又：ddxdyxy所以，u，yx
• 则，，xyxyxyu22u2xyyxxy20说明满足连续性方程
• 流函数的基本性质
• 等流函数线为流线

第5页：流函数（续）

流函数（续）

• 即：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。证：取两道流成1,2，再取曲线AB垂直于各流线，假定垂直纸面的尺寸为1，在AB曲线上取微元线段dl，其上速度为V，则通过曲线AB的体积流量为：ABBAqVndl__ucos(V,x)cos(V,y)dlBAdldxdldyu()dlBA21BABAdxdudyX指向减小方向，dx为负。为使cos(V,y)为正，所以在dx前加负号。dl证毕。由此可见：两根流线之间的流量等于两流函数的差值。同时，由于在引出这个概念时，没有涉及流体是有粘性还是无粘性(即理想或实际)，有旋或无旋。所以，不论是有粘性还是无粘性，有旋还是无旋，只要是不可压流体的平面流动，就存在流函数。
• 流函数方程02222x2y2z2
• 边界条件若无穷远处均匀来流绕流一物体时，在不分离的情况下，对于固定不动的边界，在壁面上流体的法向速度为0，而壁面必然是流线，通常令壁面上的流函数值为0，因此，壁面上的边界条件可写作：XYO_VABψ1ψψ2uυ-dxdldy-dx

第6页：流函数（续）

流函数（续）

• 与之间的关系1．满足柯西黎曼条件对不可压流体的平面无旋(有势)流动，则必然同时存在和，而对平面无旋流动，由z0，可推出则u0xy
• 再将u，代入上式yx20x2y222得：
• 012221对极坐标：r22r2rr2
• 由xy所以不可压流体平面无旋流动的流函数，满足拉普拉斯方程，也是调和函数。又：对平面无旋流动，必然存在u柯西黎曼条件yx2．流线与等势线正交0是流线与等势线正交的条件yy0xiyjxiyjxx----

第7页：流函数（续）

式就是等势线簇c和流线簇c互相正交的条件。所以说明c(等势线簇)和流线簇c正交。在XY坐标平面上由c及c画图，构成正交网格，称为流网。如下图所示。

第8页：几种简单的势流流动

几种简单的势流流动

• 1202212122x2y2
• __V11，V221212___VV1V2VxVcosyVsin(3a)
• 平行流(均匀直线流动，无旋，参看下图)yx0θu设流体作等速直线流动，流场中各点速度大小，方向均相同。即uVcos，Vsinυ

第9页：几种简单的势流流动（续）

ddxudy(3b)xVsinyVcos当取x轴与来流方向一致时，则有，0，0xV，yV显然，c与c互相垂直(斜率互为负倒数)，并且都满足拉普拉斯方程。又：由位流伯努利方程V2pzg2gconstg由Vconst，则zpconstx若平行流在水平面上进行(即z=常数)，或流体重度可忽略不计，则pconst即流场中压力处处相等。二、点源与点汇设在无限大平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出。

(如图所示)这种流动

点源。这个点称为源点。反之，若流体沿径向直线匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。yyx点源点汇

第10页：几种简单的势流流动（续）

几种简单的势流流动（续）

• 式中，Q是点源(或点汇)单位时间流入(或流出)的流量。称为点源或点汇的强度。对点源Q＞0，r0我们取+Q，对点汇，Q＜0，r0，取-Q。rr2r则ddrdrQdrQlnrQlnx2y2
• 22当r=0时，与r都变成无穷大，所以源点(或汇点)是奇点。所以
• ，
• 仅仅在源点(汇点)以外才适用。又由柯西黎曼条件：xyyx则ddxdyxy积分：Q2或由极坐标的柯西黎曼条件：
• rs则：rdsrQQdrdsrs2r2等势线const，即rconst是半径不同得同心圆，(由2cQlnrCreQ圆的方程)，与流线const(即const)互相正交。2(参图虚线为等势线，实线为流线)。又将与代入极坐标的拉普拉斯算子

第11页：几种简单的势流流动（续）

几种简单的势流流动（续）

• 涡流与点涡
• 速度分布设有一旋涡强度为J的直线涡束，该涡束半径为r0沿Z轴方向为无限长(如图)，且该涡束好像刚体一样以等角度绕自身轴旋转，由于假设直线涡束沿Z轴方向无限长，即认为在与Z轴垂直的所有平面上流动情况都一样。所以，此种流动可视为平面运动处理。而涡束周围的流体将被带动着做旋转运动。如图所示，这种运动称为涡流。设涡束轴为Z轴，则由涡束所诱导的环流的流线就是以坐标原点为圆心的圆心园。由于涡束以等角速旋转，则速度沿半径的变化规律由斯托克斯定理求得：由该定理：沿任何圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度。2即：Γds0rd20r2Jconst2rΓ2r
• 显然，由等环量，则在涡束外，r，r，0涡束内，流体如同刚体一样以等角速绕自身轴旋转，即r显然常数，则r，r通常称涡束外为势流旋转区，涡束内为涡核区。证：除原点外，涡流为无旋流动Γ2r由
• Γy而usinyΓ2rr2x2y2

第12页：几种简单的势流流动（续）

ΓxΓx2rr2x2y2cos则1uΓ2(x2y2)2(x2y2)z2(xy)=4(x2y2)20，因此，除原点外，涡流为无旋流动证毕。2、涡核区的压力分布推导如下：由平面定常流动的欧拉微分方程xyxuuu1p1puxyg涡核内任一点的速度为：xruy则u0，u；，0xyxy代入欧拉方程，则：1px0x(-)1p(y)0dy2ydyx1pydx2x1pdxy其中usinrsiny由于u与x轴反向所以加负号cosrcosx两式则：1pp21222(xdxydy)(xdxydy)2d(xy)dp积分得：p22222221rCCpCYr0υx,yurυθ

第13页：几种简单的势流流动（涡核区压力分布）

边界条件：rr0,pp0,02002001221则pCCp代入通解则涡核区任一点压力涡束边界压力222211000pp，为强制旋涡(即涡束)的边界速度由于涡束外是势流，由伯努利方程：则2222110000pppp代入上式，得涡核区的压力分布为：02221pp又：当rr0，0时，pp022100则pp而当r=0时p=p中心=pC，0代入涡核区任一点压力涡束边界压力20210c则pp22100c0pppp由此可见，涡核内外压力降相等，都等于以涡核边缘的速度计算的动压头。

涡核内外的压力分布如图所示。由上图可见，由于涡核区的压力比涡核外势流旋转区时压力低，所以涡流有抽吸作用。如自然界中的龙卷风，旋风等。就是r0rp(r)rrrppV(r)

第14页：几种简单的势流流动（续）

几种简单的势流流动（续）

• 点涡的及下面求点涡的速度势及流点数rr由于0，r2r1ΓdrdrrddyxΓΓΓ222darctg再由柯西黎曼条件：xyyx2则ΓlnrABABABQQ22lnrlnrA其中：ry2(xa)2Bry2(xa)2若QAQBQ，则rAQQ(lnrAlnrB)lnQ2rB22同理，流函数为：lnQy2(xa)24y2(xa)2lny2(xa)2y2(xa)2PAB22Q()Q对逆时针，Γ0；顺时针，Γ0。
• 点源＋点汇→偶极流如图所示：位于A点(-a,0)的点源和位于B点(a,0)的点汇迭加后，其速度势为：yxP(x,y)rArBrA(源)2a-aAB+aB(汇)

第15页：几种简单的势流流动（续）

几种简单的势流流动（续）

• 则：2rB2rB2rBQln(12acosA)QlnrAQln(1rArB)·且当2a→0时，Q，2aQM，rArBr，AB，再由2323级数展开式，ln
• .。当ε为无穷小时，略去高阶项，则ln
• 那么：BA)rB2acosQQQ2a02a0limQ2acosA2r2limln(1McosMrcos2r2r2Mx2x2y2同理：
• AB2Q()再由：2a→0，Q→∞，2aQ→MyyM2x2y22r2得：M
• 再令上式等于常数C1，并改写方程，得流线方程

第16页：几种简单的势流流动（续）

)2M4C1M4C1)2(x2(y此为圆的方程：即流线是半径为M4C1M4C1，圆心在(0，)且与X轴在原点相切的圆周簇。如图实线所示。同理：令(9)等于常数C2，得等势线方程：)2M4C2M4C2)2y2((x单独的偶极流没有什么实际意义，但这种复合流动对讨论下一节绕圆柱体的流动是有用的。流线等势线

第17页：平面势流的叠加流动

平面势流的叠加流动

• 点汇+点涡→螺旋流对点汇22211QQlnrQlnx2y2对点涡Γ222lnrΓΓarctgy22x迭加，则：1221(QlnrΓ)
• 1221(QΓlnr)
• 令
• ，
• 两式等于常数，则得到Γ1等势线rCeQ
• Q流线rC2eΓ
• 式中C
• C2是两个常数，这是两组相互正交的对数螺旋公式，称为螺旋流。则切向速度：r2πrΓr径向速度：Qr2rΓ2Q242r2速度V222r代入伯努利方程V2p(gz2gconst，其中，zconst)Γ2Q2Γ2Q22g2g1p42r2p42r2g则122得流场中压力分布：1212r2r2ppgr82g(Γ2Q2)
• 在锅炉设备中，离心式除尘器，离心式喷油嘴等均是点汇＋点涡的实例。而

第18页：平面势流的叠加流动（续）

水泵、风机外壳中的流动则是点源＋点涡的实例。二、绕圆柱体无环量的流动：＝均匀直线流动+偶极流在工程实践中常常遇到流体横向绕过圆柱体的流动，(如图所示)，各种冷却及加热设备中都来用这种流动方式。(如锅炉设备中的过热器省煤器，汽轮机设备中的冷凝器等)。因此，分析及掌握绕圆柱体的流动规律是很重要的。设在无穷远处有一速度为V的平行流，方向与圆柱体垂直，并绕过一半径为r0的无限长圆柱体。

由图可见，流体在流近柱体前，不受任何干扰，流线是一组平行直线，流近柱体时，由于柱体的阻碍作用，流线发生弯曲，在柱体后一定距离后又恢复为一组平行直线，显然，在y处，流体没有受到干扰，流线仍是平行直线。当流体沿X轴流向圆柱体时，在A点处与柱体发生碰撞，显然，A点是驻点，该处流体速度为0，然后折转方向，贴圆柱体表面流动，因此，半径为r0的圆就是一条流线。在B点处流体要急转成水平方向，所以B点为后驻点。

然后，流体又沿X轴方向流动。所以，紧贴圆柱的那一条流线以半径为r0的圆周以及与X轴所组成。再分析稍离圆柱体的流线形状，发现在Y轴附近，有相当长的一段区域，与偶极流的流线极为相似。这说明理想流体绕流圆柱体的流动状况与偶极流的流动有着内在联系。经前人研究认为：理想流体绕流圆柱体的流动，正是以平行于X轴的均匀直线流动与以坐标原点为偶极点的偶极流两者叠加的结果。事实上，这种设想也符合绕流圆柱体的流动规律。

则这种组合流动的流函数VrsinM122r1222VrrsinM1rsinV1相应的速度场为为：V

第19页：平面势流的叠加流动（续）

平面势流的叠加流动（续）

• Vrsin
• x2y2同理势函数可以写成：
• 式中rr0Mx2x2y2Vxr2r2Vrcos
• 式中rr0因为rr0，在圆柱体内，无实际意义。对式
• 求导，则流场中任一点的速度分量为200r2r2V
• cosrrr2V1sin
• 上式中rr0。由上式可知，当r时，ViV沿包围圆柱体圆形周线的速度环量为错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。说明平行流绕圆柱体的平面流动没有速度环量。

第20页：平面势流的叠加流动（续）

平面势流的叠加流动（续）

• 在0o(B点)或180o(A点)处，0(后、前驻点)2max时，2V，即等于无穷远处来流速度的两倍。圆柱面上任一点的压力，由伯努利方程ppV22得：g2gg2g2gg2gggppV22p24V2sin22ggpV2(14sin2)222ppV(14sin)
• 工程上常用无因次压力系数来表示流体作用在柱体上任一点处的压力。无因次压力系数定义为：2p2Vpp1C
• 将
• 代入
• 得：CP14sin2
• 22由此可见，对绕流圆柱体，CP既与r0无关，也与V和p无关，这就是利用CP的方便所在。根据式
• 算出的理论无因次压力系数曲线如图中实线所示。其中纵坐标为CP，横坐标为θ，θ角是从前驻点A沿顺时针方向增加。由图可见：1A0o，速度等于零，CP＝1，压力达到最大值ppV，P2230900，速度最大，2VC＝-3压力达最小值PPV180o，后驻点CP＝1

第21页：平面势流的叠加流动（续）

垂直纸面方向取单位长圆柱，在其上取微元弧段dsr0d，作用在上面的微prdsin则：dFy0小是压力，dFprd1dFxpr0dcos式中的负号是考虑到，当sin，cos为正值时，dFx，dFy的方向分别与x轴y轴相反。2122将ppV(14sin)代入上式积分210220V(14sin)cosd02则：阻力：FFrpDxVd18003600与001800完全对称，因此，流体作用在圆柱面上的压力全部对称，合力为零。

下面进行证明：如图所示：dFro

第22页：平面势流的叠加流动（续）

平面势流的叠加流动（续）

• 圆柱体物面方程rM2V00，这是一个半径为r的圆，因为该圆表面上有r0，也称驻圆。
• 该流动的速度环量0。

第23页：绕圆柱体有环量的流动

绕圆柱体有环量的流动

• rsinlnr
• 22r2rΓV
• rcos
• 其中我们讨论的纯环流是顺时针方向的，即Γ＜0，故Γ前加了负号。则：0r2r22r22πrΓrrr要求rrV
• sinV
• cos
• 因为当rr0，在圆柱体内无实际意议从上式可以看到：有环量无环量。即径向分速不因有环量而变。在圆柱表面上，即rr0时，由
• 0Γ2r2Vsin0下面求驻点位置：再由
• 令0(驻点)0其中Γ前已加了负号，所以Γ为正值
• 4πr0V则：sinΓ说明θ在
• 四象限，即驻点位置在
• 四象限。θ为驻点位置角。Γ4r0V将
• 变成sin又：由三角函数：sinsin()sin()

第24页：绕圆柱体有环量的流动（续）

绕圆柱体有环量的流动（续）

• 当1时，即Γ4rV，圆柱表面上有两个驻点，位置角分别为,，如上图所示，若Vconst，则随Γsin故A、B两个驻点向下移动，并互相靠拢。0Γ4rV0
• 当Γ↑且为1，即Γ4rV时，sin1，即2(sin()sin()1)，则，两驻点合二为一。如图所示0Γ4rV0
• 当Γ继续↑，且1，即Γ4rV时，则sin1，这时圆柱面上不存在驻点，驻点沿y轴向下移到相应位置。如图所示。驻点半径r求法如下：令
• 式：0r2r2V
• Γ2rr2r2r1rV
• cos0r2由(a)式或＝322r2由(b)式Γ＝2rV
• sin，因Γ前面已考虑了符号，故Γ恒为“+”，2故只有sin为“-”，才能满足Γ为“+”，所以θ在
• 四象限，受(a)约束，故3代入(b)式，求得驻点半径：(a)(b)

第25页：绕圆柱体有环量的流动（续）

绕圆柱体有环量的流动（续）

• Γ＝0时，即圆柱无环量绕流时，驻点两个。均在x轴与圆柱表面的两个交点上。0
• Γ继续增加，为Γ4r0V，两个驻点对称地下移。在
• 四象限；02
• Γ继续增加，驻点继续下移，当Γ4rV时，sin1，，两驻点合二为一，但仍在圆柱表面；
• Γ继续增加，为Γ4r0V时，驻点下移脱离圆柱表面，沿y轴进入流体之内。
• Γ继续增加，驻点位置沿y方向↓，还可以从流体力学直观加以解释。由于Γ为顺时针方向的点涡运动产生的，故与圆柱体的上半部分速度方向相同，复合后流速增加，而下半部分，速度方向相反，互相抵销，故迭加后流速减小。下面求圆柱表面上的压力公布：22由位流伯努利方程：pVpVg2gg2g2122p1V2pV0Γ2r这里r0，则V2Vsin，代入伯努利方程，得圆柱表面上的压力分布为：)022VppΓ2r(2Vsin1
• 则流体作用在单位长度圆柱表面上总压力在x、y方向的分量为：2阻力：FxFD0pcosrd2升力：FyFL0psinr0d将
• 代入上式进行积分，得：

第26页：绕圆柱体有环量的流动（续）

绕圆柱体有环量的流动（续）

• 就是库塔-儒柯夫斯基升力公式。
• dds=rodroFL(或Fy)的方向：为V的方向逆环量方向转90°，即为FL(升力)的方向。如上图所示。升力FL产生的原因：由于加入环量，上下速度场发生变化，引起上下压力差。产生升力。自然界中，如鸟在空中飞翔，打乒乓球中的旋转球，削球用力方向不同，即加的环量方向不同，产生的旋转方向不同，由于摩擦效应，(考虑粘性)，球周围的空气主要带动旋转，(如拉弧圈球)即升力方向就不同。球呈曲线运动，升力向下，相当于球重加大，升力向上，相当于球重减小。再如飞机的飞行，透平机械的工作原理，都可用升力理论进行解释，也是儒柯夫斯基升力定理的具体应用。上述结论，对弧立具型也适用FL＝V，其中FL为流体作用在孤立翼型上的升力FL＝Fy。ypx