02 第2章 流体静力学.docx

第1页：流体静力学

第二章流体静力学作用在流体上的力、表面力、质量力在运动的实际流体中任取一块流体，其体积为V，表面积为A，在这块流F切向力体上任取一微元面积δA，作用在其表面上的力为δF，分解为Fn法向力，则A0A法向力：plimFn(N/m2)A0A切向力：limFτ(N/m2)表面力惯性力质量力(或体积力)重力切向应力(摩擦力)和表面张力(一般情况不考虑)法向应力(压力)P表面力―是指作用在流体中的所取某部份流体体积表面上的力，也就是该部分体积周围的流体（既可是同一种类的流体，也可是不同种类的流体）或固体通过接触面作用在其上的力。

质量力―

作用在流体内部所有流体质点上并与流体的体积或质量成正比的力，又称体积力。通常，单位质量流体的质量力用f表示，在笛卡尔直面坐标系中：ffxifyjfzkΔFnδFΔFτaVaδVVg在这块流体上，取一流体微团，其体积为δＶ，由于地球引力的作用，产生的重力为ρgδV。由于流体存在加速度a，根据达朗贝尔原理，虚加的惯性力为-ρδＶa-。所以，流体所受的力为：A1

第2页：作用在流体上的力、表面力、质量力（续）

2流体静力学

研究流体处于静止状态时各种物理量的分布规律及在工程实际中的应用。所谓流体的静止状态是指流体对选用的坐标系无相对运动的状态。

第3页：流体的静压强及其特性

流体的静压强及其特性

• 流体静压强指向作用面的内法线方向。
• 流体中任意点静压强的大小只是位置的函数，即p=f(x，y，z)与其作用面的方向无关，又称作静压强各向同性。证
• ：dy流体中任意点所受的力均可分为切应力和压应力。因总体静止，du0，故切应力0，所以，只存在法向应力，当然垂直于作用面。又：流体在拉力作用下，要发生运动，因为静止，故只存在压应力。所以静压强指向作用面的内法线方向。证
• ：取一流体微团，由于流体静止，根据牛顿第二定律：Fx0pxdypsdssin0pxps
• 2当dx0；dy0，重力Ggdxdy时，三角形向一点靠近，此时dxdy为二阶微量。δPδAdxpxpydyyxpsθ3

第4页：流体的静压强及其特性（续）

流体的静压强及其特性（续）

• 、
• 联立得px＝py＝ps。若将x或y坐标换成z坐标，同理可得px＝py＝pz＝ps。这就证明了静压强的大小（数值）仅是位置的函数，即p＝ƒ（x，y，z），而与作用面的方向无关。称作静压强各向同性。

第5页：流体的平衡微分方程式

流体的平衡微分方程式如书14页图所示，在静止流体中任取一边长为dx、dy、dz的微元平行六面体。其中心点处流体静压力为p。其余六个面上的压力按泰勒级数展开，并略去二阶以上无穷小。由于是微元六面体，所以可以把各微元面上中心点处的压力视为平均压力，且单位质量流体所受的质量力为ƒ。X方向受力分析：由于流体处于平衡（静止）状态，则x2x2xxF(ppdx)dydz(ppdx)dydzfdxdydz0xxfdxdydzpdxdydz0同理得：1p0z01p0yx1pzyxfff这就是流体平衡微分方程式，又叫欧拉平衡微分方程式，是欧拉（俄国科学院院士）在1775年提出的。

将欧拉方程三式相加，写成矢量形式为：f1gradp0其中：gradp=▽p=pipj+pk为压力梯度。xyzxyz▽为哈密尔顿算子，且▽=ij+k又将欧拉平衡微分方程式两边同乘以dx、dy、dz后相加整理得到压强差方程：xyz5xyz(fdxfdyfdz)pdxpdypdzdp

第6页：流体的平衡微分方程式（续）

欧拉平衡微分方程式与压强差方程是流体静压力分布的最一般规律，是解决一切流体静力学问题的基本出发点。因为dp是压力的全微分，所以ƒxdx+ƒydy+ƒzdz也可称作是某一函数（－）的全微分。即ƒxdx＋ƒydy＋ƒzdz=d(－)=－d=－（dxdydz）xyxxyxy∴f,f,fzz写成矢量形式为：_6＿＿_fgrad(xiyjxk))即单位质量流体的质量力是的负梯度。

上式右侧规定为负号，表明质量力作正功等于质量力势的减少。的物理意义分析如下：显然的偏导数为质量力在各坐标轴的投影，而流场中空间任意点均存在质量力，所以，这个空间可叫做质量力场，或叫势力场。若空间A点处单位质量的流体在质量力的作用下移动了dl的距离，则质量力作功为：__fdlfxdxfydyfzdz在重力场中：fx=fy=0fz=－g·1=－g负号表示z轴正向取为垂直向上的方向，而重力方向永远向下。

若在重力作用下，单位质量的流体下落了dz：z重力作功为gdz=－fz=z位能或势能下降了gdz=dz，可见gz，所以反映了单位质量流体的势，所以叫做力的势函数。此外，由于dp=－ρd，当dp＝0时d＝0，且＿fgrad，可以得出：①在有势的力场中，等压面即等势面；或等压面与等势面重叠。

第7页：流体的平衡微分方程式（等压面）

流体的平衡微分方程式（等压面）

• 7＿
• f垂直并指向等势面，即垂直指向等压面。证
• ：由dp=0，则fxdx+fydy+fzdz=0其中dx,dy,dz为等压面上一段无限小的距离dl在x,y,z轴的投影＿__＿即：dldxidyjdzk＿＿＿＿而ffxifyjfzk＿＿而点积fdlfxdxfydyfzdz0＿说明f为等压面垂直，证毕。则等压面微分方程为：fxdxfydyfzdz0

第8页：重力场中液体的平衡

重力场中液体的平衡在自然界和工程中经常遇到的是作用在流体上的质量力只有重力的情况，此时：fx=0；fy=0；fz=－g因此：dp(fxdxfydyfzdz)gdzgdpgdzdpdz0当流体是均质不可压流体时（即const)积分上式得：zpconstg或：gg21p2zp1zp2p1g(z1z2)因为在推导过程中只考虑了ƒ＝－g且g为常量，所以，静力学基本方程仅适用于不可压均质重力流体，对非均质流体是不适用的。

静力学基本方程的物理意义及几何意义。①物理意义先讨论z：如果流体处在z的高度，它的重量为Ｇ，则它的位能为Gz，令Ｇ＝１，则单位重量流体的位能为z。再讨论gp：重量为Ｇ的流体在a点的压力为p，接上测压管后，由于p的作用，流体在压差的作p0zxpghp绝对真空8p,Ga

第9页：重力场中液体的平衡（续）

用下，沿管向上流动。设测压管截面积为s，则压力合力为p·s，重量为Ｇ的流体流过横截面时，流过横截面的体积=Gg流体上升的高度＝GgsGpGgsg压力作功＝压力合力×上升高度ps令Ｇ＝１，则单位重量流体的压能为pggzp又称为单位重量流体的总势能或静水头（或静能头）。②几何意义取一密闭容器，注意开两孔，:这里p１≠p２,z１≠z２21但zp1zp2Hconstgg即流体静力学基本方程的几何意义为：在静止不可压流体中，任意点单位重量流体的总势能位能压能保持不变。

或者说，对某一基准线，任意点静水头的连线为一水平线。对某一容器，对表面上的某点和淹深为h的任意点，根据静力学基本方程式有：pgghp00pp0gh此式为静力学基本方程式的另一形式。p0H1ghp2绝对真空2z2pgh1z1Hp0zxph9z=0

第10页：重力场中液体的平衡（续）

1)液体在深度为h处的压力等于自由表面的压力p0加高为h，底为１的液体的重量，并且压力随深度h按直线关系变化。2）自由表面压力p０的任何变化，均会引起液体内部压力p的变化。应用液压传动水压机3）在静止流体中，深度相同的诸点压力均相等。可见，在均质重力流体中，等压面为水平面，因为h＝常数。对非均质流体（即非同一种流体），虽为同一水平面，但却并非全是等压面。另外，若p０改变，则作用在流体内注意点的压力将会发生相应改变。

如图所示：容器上加一活塞作用力为Ｆ，活塞面积为Ａ，则：AFp0液体中任意一点的压力为：ghFAppgh0若F增大或减小，液体仍处于静止平衡，则液体内任何一点的压力也随之增大或减小。由此可得结论：在平衡液体中，作用在液体部分边界面上的外力所产生的压力将均匀地传递到液体的每一点上去，这就是著名的帕斯卡原理，也是水压机液压传动装置的设计原理。F10

第11页：压强的计量

压强的计量

• 压强的计量
• 绝对压强、相对压强和真空由pp0gh当自由表面上的压强为大气压时，即p０＝pa时，则ppagh，此时的p定义为绝对压强。而p－pa=gh=pg称为相对压强（即以大气压为基准，绝对压强高于大气压的数值），又称为计示压强。当p＜pa时，pa-p=-(p-pa)＝pv称为真空。（可见真空为负的相对压强）注意：2a22ppgh
• 相对压强是以大气压作为基准的
• pv（真空）为负的相对压强
• 绝对压强永远为正值，最小为零（完全真空）另外，物理学以及气体动力学一般多用绝对压强，工程技术中液体多用计示压强，这是因为在工程技术中，测量压强的仪表大都与大气相通，因而，实际测得的是绝对压强和大气压强之差，即计示压强。
• 液体柱式测压计液柱式测压计就是利用液体柱垂直于地面的高度，来测量绝对压强和大气压强之差。
• U形管测压计（液柱式测压计）假设容器出口压强为p，被测液体密度为ρ１，U形管中液体密度为ρ２，要求ρ２＞ρ１。先找等压面p１＝p２而：p1p1gh1联立，则p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1计示压强为：pg=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1当被测流体是气体时，ρ1gh１这一项通常忽略。Pppvp>pap<papgppa11

第12页：压强的计量（倾斜微压计）

②倾斜微压计当测量微小流体压强时，为提高测量精度，往往采用倾斜式微压计，如图所示可调倾斜角α的玻璃管与一大容器相通，当p1p2，即微压计未感受到压差时，液面在同一水平位置，如图中虚线所示。当p1p2时，即有压差时，玻璃中液面上升l长度，液面上升高度h1lsin，Ａ２液面下降h２，由Ａ２h２＝Ａ1２21AAl，则h＝l则两液面实际之高度差为：h=h1+h2=lsinα+lA1=l(sinα+A1)A2A2找等压面，则：p２＝p１＋ρghAA2121gl(sin)klghpp112A2A１２其中：k=ρg(sinα+)称为微压计常数，当Ａ，Ａ，ρ不变时，改变α，可得不同的k值。

第13页：液体的相对平衡

液体的相对平衡

• 等加速水平运动容器中液体的相对平衡。装着液体的车辆在水平轨道上以加速度a等加速前时。罐车内的液体对于罐车处于相对平衡（或相对静止）状态，并成为一个斜面。将坐标系选在运动的车辆上，如图所示：任取一流体质点m，作用在其上的单位质量的质量力为：-fxa,fy0fzg
• 流体静压力分布规律应用压强差公式有：dp=ρ(fxdxfydyfzdz)=ρ(-adx-gdz)积分得：p=-ρ(ax+gz)+c因为ｘ=0，z=0时，p=p0，所以c=p0则：p=p0-ρ(ax+gz)上式即为等加速水平运动容器中液体的静压力分布公式。
• 等压面方程：令dp=-ρ(adx+gdz)=0得：adx+gdz=0积分：ax+gz=const=c上式即为等压面方程。而dza为等压面斜率。dxg13

第14页：液体的相对平衡（续）

在自由表面上有：x0时，z0c0x0时，zzs得自由表面方程：axgzs0sa因xgz，则：as0ppa(gz)gzp0g(zsz)p0gh由此可见：等加速水平运动容器中液体的静压力公式与静止流体中的静压力公式形式完全相同。即液体中任一点的压力等于自由表面上的压力p0加液体重度与该点淹深的乘积。二、等角速旋转容器中液体的相对平衡力分析绕z轴旋转的容器中的液体受离心力的作用向外甩，使容器中心处液面下降，周围沿筒壁上升。

当到稳定后，自由液体面成为一个绕轴旋转抛物面。14

第15页：液体的相对平衡（续）

液体的相对平衡（续）

• 0
• 流体静压力分布规律：由dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)得dp=ρ(2xdx+2ydy-gdz)222积分得：p=ρ(x22ygz)c1(2rgz)c122222因r=
• z=0时p=p0，则c1=p02代入，则有：p=p0+(rgz)上式即等角速旋转容器中液体的静压力分布公式。当z=const时，p正比于r2。由此可见，对离心水风机或离心力水泵，流体从叶轮中心流向叶轮外边缘时，压力逐渐增加。
• 等压面方程由dp=ρ(ω2xdx+ω2ydy-gdz)=0则ω2xdx+ω2ydy-gdz=0积分得：222152gzconst或rgzconst2x22y22说明等压面是一族绕Z轴的旋转抛物面。根据等压面方程，在自由表面上，当r＝0时，z=0，得Ｃ＝0。在自由表面上，当r≠0时，z=zs

第16页：液体的相对平衡（续）

得自由表面方程16zsgzs022g222r2r得：p=p0+ρg(zs-z)=p0+ρgh上式也为等角速旋转容器中液体的静压力分布公式。由此可见，等角速旋转容器中，液体的静压力公式和静止流体中的静压力公式形式完全相同。注意,在利用上述公式作习题时，所选坐标一定要和公式推导时所选的坐标一致。

第17页：液体对固体壁面的总压力

液体对固体壁面的总压力

• 液体作用在平壁上的力
• 总压力的大小如图所示，面为积A的任意形状的平板与自由液面的夹角为α，为便于分析，把平板绕oy轴转动90°，得正视图。转动前ox轴与纸面垂直，转动后ox轴与纸面平行。在平板上取微元面积dA，作用在其中心的压力为：p=p0+ρgh则作用在dA面积上的合力为：dF=pdA=(p0+ρgh)dA=p0dA+ρgysinαdA积分，则作用在平板上的合力为：F=AdF=Ap0dA+ρgsinAydA根据材料力学中的知识得：AydA=A·yc其中角标c为面积A的形心，yc为面积Ａ的形心到x轴的距离。则：F=p0A+ρgAhc由此可见，在静止液体中，作用在平面上的合力（即总压力）等于作用在该平面形心点处的静压力与该平面面积的乘积。若作用在自由液面的压力只是17

第18页：液体对固体壁面的总压力（大气压而）

大气压，而平面外侧也作用着大气压，则仅由液体产生的作用在平面上的总压力为：（即相对压力）F’=ρghcA上式表明：作用在平面上的液体总压力为一假想体积的液重，该假想体积是以平面面积为底，以平面形心的淹深为高的柱体。二、总压力的作用点（即压力中心）总压力的作用点，即总压力的作用线与平面的交点，又称为压力中心，由理论力学中的合力矩定理，总压力对x轴之矩应等于各微元面上所受的压力对x轴之矩的代数和。

设D点为总压力与平面的交点。则有积分FyD=AydF(b)yD为总压力作用点到x轴的距离，则：(p0+ρghc)A·yD=Ay(p0+ρgysinα)dA(p0+ρgycsinα)AyD=Ayp0dA+ρgsinαAy2dA=Jx(c)再由惯性矩的平行移轴定理（由材料力学）得：Jx=Jcx+y2cA(d)Jcx为面积Ａ相对于通过几何中心C，而且平行于ox轴的轴线的惯性矩。

将(d)代入(c)得: (p0+ρgycsinα)AyD=p0ycA+ρgsinα(Jcx+yC2A)yD=occxcpyAgsin(Jy2A)(P0gycsin)A=ycA(p0ycgsin)gsinJcx(p0gycsin)A=yc+Jcxgsin(p0gycsin)A若自由表面的压力为大气压，而平面外侧也作用着大气压。（则令p0=0）则相对压力作用在面积A上的合力作用点为：ycA18yD=yc+Jcx

第19页：液体对固体壁面的总压力（续）

液体对固体壁面的总压力（续）

• 液体作用在曲面上的力下面研究静止流体作用在曲面上的总压力，如图所示，作用在dA上的总压力为:dFghdA-----dF又可分解为:dF=dFx+dFy
• 总压力的水平分力x先求作用于dA的水平分力：dFxghdAcosghdAx故总压力的水平分力为：Fx=ρgAhdAx。其中AhdAx=hcAx为面积Ａ在yoz面上的投影面积Ax对y轴的面积矩。因此：Fx=ρghcAx上式即为总压力水平分力的计算公式，其中hc为投影面积Ax的几何中心的淹深。投影面积Ax中的角标x表示此面积垂直x轴。
• 压力的垂直分力作用在dA上的垂直分力为：dFz=ρghdAsin=ρghdAZ角标z表示此面积垂直于z轴，则压力的垂直分力为：Fz=gAhdAz其中AhdAz=VP为曲面ab上的液柱体积abcd，又称为压力体。压力体是个体积，它是个纯数学概念，与这个体积内是否充满液体无关。AzAdAhhcabcdpadFodAxzdFdFzdFxαα19dAxdAzAx

第20页：液体对固体壁面的总压力（续）

于是：Fz=ρgVp即总压力的垂直分力等于压力体内液体的重量。总压力的大小为：F=F2F2xy总压力与垂线之间的夹角由下式确定tg=Fx，=arctgFxFzFz20