11 第11章 气体的一维高速流动.docx

第1页：气体的一维高速流动

第十一章气体的一维高速流动前面各章研究了不可压缩流体的运动，即认为流体在流动中其密度不变。所得到的不可压缩流体的运动规律，不仅适用于液体的运动，也适用于流速不高的气体运动。当然，严格说任何流体都是可压缩的。不过，在我们通常所研究的流体运动中，液体的密度变化非常小，往往可以忽略不计；而气体在低速运动时，其密度变化也不大，若忽略其变化，把密度作为常数来处理，可使问题大为简化，而又不致引起大的误差。

例如，通常在常温下空气流速低于70m/s时，其密度变化不高于2%，以皮托管测量气体流速为例，忽略密度变化所引起的误差不超过1%。当流速增高时，气体的密度变化就会增大，若再按不可压缩流体处理，所引起的误差就会增大。所以，对于气体的高速流动，必须考虑其密度的变化，按可压缩流体处理。故研究气体的高速流动，通常称为可压缩流体动力学，又叫气体动力学。声速和马赫数一、流体的可压缩性与微弱扰动的传播在可压缩性介质中，压强扰动以波的形式传播，其传播速度的大小与介质的压缩性有关。

例如，声音即为一微弱的压强性不同，可压缩性小的传播速度高，可压缩性大的传播速度低。由此可见，声速值反映了流体可压缩性的大小。图11-1微弱扰动的传播下面说明微弱扰动波的传播过程。如图11-1所示，管中充满可压缩流体，左端装有一活塞，原处于静止状态。当活塞突然以速度dV向右运动时，活塞附近的流体首先被压缩，其压强产生一微小增量dp，密度也有一微小增量d；同时，这一层流体质点也以速度dV向前运动。

这一层被压缩了的流体随之又压缩其前方邻近的一层流体，使其也产生一个微paρTp+dpρ+dρdVT+dT静止气体

第2页：声速和马赫数（续）

声速和马赫数（续）

• 微弱扰动的传播速度——声速为确定扰动的传播速度a，可利用质量守恒定理和动量定理。如图11-2所示，在时刻t，波面位于截面1处。在t+dt时刻，波面位于截面2处，这时1-2之间的流体质量为(d)adtA，A为管道横截面积。而在时刻t，该区域的质量为adtA，两者之差是由于截面1处的流体质点已具有速度dV，dt时间内，该截面处的流体质点向前运动的距离为dVdt，到达截面1处。图11-2根据质量守恒定理，可建立方程：daAdtaAdtdAdVdt得ddVad
• 根据动量定理：研究在t时刻位于1-2之间的质量系统经dt时间的动量变化。在时刻t，该系统占据1-2之间的体积，其质量为adtA；在时刻t+dt，该系统占据1’-2之间的体积，t111’1’t+dt22dυdtadt

第3页：声速和马赫数（续）

声速和马赫数（续）

• 和
• 两式可得：
• a2dpdd由于是微弱扰动，d1所以dpda
• 即为微弱扰动在可压缩性流体中的传播速度。在推导中，所讨论的是压缩性扰动；如果按膨胀性扰动推导，也会得到同样的结果。声波就是一种微弱扰动波，声音的传播速度公式即为
• 式。因此，微弱扰动的传播速度通常称为声速。公式
• 适用于气体、液体和一切弹性连续介质。式
• 是声速的通用表达式，要计算某种流体中的具体声速值。尚需确定dp和d的关系。对于液体来说，可用液体的弹性模量关系式，Edp/d，得dpEda
• 气体中的声速对于气体，比值dp/d取决于微弱扰动所引起的热力学过程。最早进行研究的是牛顿，他认为微弱扰动引起的温度变化很小，可以忽略不计，按等温过程处理。因而得出addpRT的结论。按该式计算的0C情况下空气中声音传播速度为280m/s，但当时实际测量的声音传播速度为330m/s。两者相差超过17%。牛顿曾解释为空气中的灰尘和水份阻碍了声音的传播。后来拉普拉斯纠正了这一理论错误，认为声波的传播过程是绝热的，又因为是微弱扰动，可视为等熵过程。由等熵方程：

第4页：声速和马赫数（续）

声速和马赫数（续）

• 式，使可得到kpkRTaddp
• 用该式计算的声速值与实测值基本一致。声速值反映了流体的可压缩性，声速值的大小与流体种类和所处状态有关。对于某种气体来说，它仅是温度的函数，因此，声速值也是气体的状态参数之一。在同一流场中，由于各点的温度随气体的速度而变化，故各点的声速值也不同，所以有当地声速之称。
• 马赫数在气体动力学中，常用气体流速与当地声速之比MVa作为气体流动的一个重要参数，称为马赫(Mach)数，M<1为亚声速流动；M=1为声速流动；M>1为超声速流动。在随后各节的讨论会看到，不同的范围的气流，其性质有很大的差别，引入马赫数的概念对研究气体高速流动有着重要意义。

第5页：气体的一维定常等熵流动

气体的一维定常等熵流动

• 一维定常流动的基本方程
• 连续性方程：VA常数或ddVdA0VA
• 欧拉运动微分方程
• 由于气体密度较小，可以忽略质量力的影响，一维理想流体的欧拉运动微分方程为：VdV1dp0
• 绝热流动的能量方程：V2h常数
• 2
• 完全气体的状态方程或dhVdVo
• pRT
• 等熵过程方程pkk11pp221()11常数，()，k1k1pTT2p2k2
• 等熵流动的三个参考状态及流动计算
• 滞止状态将气流速度按等熵过程滞止为0，气体的动能完全转化为焓，这个状态称为滞止状态。分别以h0，p0，ρ0，T0和a0表示滞止焓、滞止压强、滞止密度、滞止温度和滞止声速。根据绝热流动的能量方程，可得：2V2hh0常数
• ppVVc滞止焓代表单位质量气体的总能量。由热力学可知，hcT，ccR和kcp，并利用状态方程和声速关系式，焓可以写为：a2kkphcpTk1RTk1k10000a2p0滞止焓：hcTRTkkpk1k1k1

第6页：气体的一维定常等熵流动（续）

气体的一维定常等熵流动（续）

• T01k1M2
• T2利用等熵方程，得：kM2)k1p0(1k1p2
• 0(11M2)k12k1
• 上述为等熵流的最重要的关系式，成为气体动力学函数。在已知滞止参数的情况下，可利用上述各式由气流的M数求出相应的各物理参数，也可用于由已知参数求滞止参数。2．临界状态由能量方程可知，气体在绝热流动过程中，当地声速a随着气流速度的增大而减小，在某个流动截面，气体流速V恰好等于当地声速a，这个状态就是由亚声速向超声速转变的临界状态，一般称为临界状态。相应的物理参数成为临界参数，以h*，p*，ρ*，s*，T*和a*。将M=1代入可得：1)2*(a0k1a2
• T0k1T*2
• *()k1利用等熵方程，得：kp0k1p2
• *
• k1k1203.极限状态

第7页：气体的一维定常等熵流动（续）

气体的一维定常等熵流动（续）

• 最大速度是理论上的极限值，实际上不可能达到。
• 速度系数以气流速度和临界声速之比表示气体的流动，称为速度系数，VaM
• M与M*的关系为：220aaa2a2a2a2a2a2V2V2a2a200M20M2将式
• 和
• 代入，得k1M22221Mk1M22
• 或21Mk1k1M22k1M
• 由以上两式可以看出，同马赫数一样，速度系数也是划分气体类型的标准，即M=0时，M*=0，不可压流；M<1时，M*<1，亚声速流；M=1时，M*=1，声速流；M>1时，M*>1，超声速流。但是，当M时，速度系数M，却趋于一有限值k1k1*maxM这是由于声速值随气流速度的增大而减小，当V→Vmax时，a→0，故M；而临界

第8页：气体的一维定常等熵流动（续）

气体的一维定常等熵流动（续）

• 式代入到
• —
• 各式中，便可得到用速度系数M*表示的气体动力学函数式2*0Tk1T1M
• 21*)2aa0Mk1k1k1(1
• 2*)kk1(1Mk1k1
• 01k2k(1M*)k1k1pp0
• 上述四式和前面的用M数表达的四个式子一样，都称为气体动力学函数式，适用条件也完全相同。
• 气流按不可压缩处理的限度根据气体动力学函数式，可分析不考虑压缩性所带来的误差。下面用皮托管测流速问题来说明。皮托管所测的是气流总压和静压之差。对于不可压流体，02pp1V2可得p0p11V22对于可压缩流体2(p0p)V(a)kM2)k1p0(1k1p2当M数较小时，上式可用二项式展开·]2422(2k)M41M[1p0kpk2M24V2kV2k2V22a22kp/2p其中M，代入上式，得

第9页：气体的一维定常等熵流动（续）

·]242[1M24p0pV2(2k)M4因而得到·(2k)M40124M241V2pp2求得速度表达式为2(p0p)V(b)为恒大于1的值。比较(a)和(b)两式可知，按不可压流计算的结果将大于可压缩流计算的结果。两者之比为：V不可压V可压流对于空气来说，k=1.4。当M=0.2时，若按不可压流处理，皮托管测速误差约为0.6%。在常温下，这时的空气流速约为68m/s。

若M=0.3，则测速误差约为1.1%，常温下相应的空气流速约为102m/s。

第10页：一维定常变截面管流

一维定常变截面管流

• 管流截面积与流速关系设流动为一维定常等熵流动，不计粘性的一维动量方程为dpVdV0上式可写成pdpdVdV0d将声速关系式a2dp代入，可得a2dpVdVM2dVV代入一维连续方程ddVdA0VA便可得到dAdV(M21)AV由该式可以得出如下结论：
• 亚声速流动，M<1，则dA/A与dV/V的符号相反。即截面减小时，速度增大；截面增大时，速度减小。
• 超声速流动，M>1，则dA/A与dV/V的符号相同。即，截面减小时，速度减小；截面增大时，速度增大。这是由于在超声速流动时，气体膨胀加大，密度变化较快。根据连续方程VA=常数，要使单位时间内通过各截面的质量相同，以维持定常流动。故当速度增大时，通道截面必须扩大；否则，由于气体的迅速膨胀而通道面积不够就会使通过质量减少。
• 声速流，M=1，则dA=0。因此，在截面管道中，声速只能发生在dA=0的截面上。从数学上看，dA=0的截面可能是最小截面，也可能是最大截面。但由前面的分析可知，气流速度达到声速，只能发生在最小截面上。达到声速的截面称为临界截面。这里还应指出，不应把管道最小截面和临界截面相混淆。最小截面是对管道几何尺寸

第11页：一维定常变截面管流（续）

一维定常变截面管流（续）

• 截面面积比关系式推导任意两个截面的面积与相应截面上的马赫数的关系。根据连续方程1V1A12V2A2，可得A12V2A21V1根据等熵关系(a)1T2k1T211另外(b)111111VMaMTV2M2a2M2T22(c)又根据T01k1M2T2故2221T1T0T121T2T2T0M2k11Mk1(d)221122222(k1)将(d)式代入(b)和(c)式后，再代入(a)，得k11Mk11M1k1A2MAM
• 这就是任意两个截面的面积与这两个截面上的马赫数的关系。

第12页：一维定常变截面管流（续）

一维定常变截面管流（续）

• V2kpkp011k10k112工程上常将A/A*随M数变化的函数关系编列成表，以备查用。图11-3纵给出了面积比A/A*与M数的关系曲线。由图可以看出：
• 对于同一面积比A/A*，有两个马赫数与之对应，一个M<1，另一个M>1。
• 在M<1时，面积收缩(即A/A*的值减小)，M数增大；在M>1时，恰好相反。AA5.04.03.02.01.0M图11-3A/A*与M数关系曲线(k=1.4)
• 收缩喷管喷管是使气流加速的一种装置。截面逐渐缩小的收缩喷管可使亚声速气流加速，其最大极限可加速到声速。设气体由一个容器中经收缩喷管向外流出，由于容器较大，可近似地把容器中的气体看作是静止的，则可将容器中的气体参数视为滞止参数，分别为p0，ρ0，T0，喷管出口截面上气流参数设为p1，ρ1，T1。喷管口以外的气体压强为pb，称为背压。忽略摩擦，设流动为等熵。下面确定气体的流出速度和流量。列出大容器和喷管出口截面上的能量方程

第13页：一维定常变截面管流（续）

根据等熵条件，有p1100p1k代入前式，整理可得出口流速k1001p2kp0p1kk1V1(3)质量流量为xMxp0,ρ0,T0V0=0p1,V1p2,V2pp0p00(a)p(b)(c)图11-4收缩喷管

第14页：一维定常变截面管流（续）

一维定常变截面管流（续）

• 可以看出，在给定滞止参数和出口面积A1的情况下，喷管的质量流量Qm的大小取决于压强比p1/p0，如图11-5所示。1p0p0k1pp2k1图11-5收缩喷管流量与压强比的关系下面讨论流量随压比的变化：
• 当pb=p0时，由于喷管两端无压差，气体不流动。出口压强p1=pb，这时p1/p0=1，Qm=0。
• 当p*<pb<p0时，气体将沿收缩喷管逐渐加速向外流动，在出口得到低于声速的气流，即V1<a，出口气流压强p1=pb。出口流速和流量可按
• 和
• 计算。
• 当pb=p*时，气体在出口达到声速，出口压强p1=pb=p*。故可得k
• 002k1QA2(k1)代入流量公式
• 式，得临界流量为k1mkp
• 当pb<p*时，由于在出口已达到声速，低于临界压强p*的压强扰动不能向喷管内传播，不会影响管内的流动，故喷管流量仍为临界流量。管口流仍为声速，管口压强仍等于临界压强。气流在流出管口后，再继续膨胀，使其压强与外界环境压强相等。可见临界流量Qm*即为喷管的最大流量。再降低压比不会增加流量，故这种状态称为喷管的壅塞状态。QmQm*ocbpbap0p*

第15页：缩放喷管流动分析

缩放喷管流动分析

• 缩放喷管右图为一缩放喷管，喷管的收缩部分的作用和收缩喷管完全相同，气流加速到最小截面达到临界声速，而后，在扩张部分继续加速，在管口达到设计要求的超声速流。喷管按设计工况流动时，管内的速度和压强沿喷管轴向的变化如图中的abc曲线所示，由于喷管的形状是设计好的，根据
• 式，各截面上的M数将是固定的，所以沿轴向的压强和速度曲线也是固定不变的。出口截面上的气流速度仍可按公式
• 计算，只需将出口截面上的压强pel代入即可。由于最小截面上已达到声速，流量达到最大值，仍用
• 式计算。这里还应说明，将喷管做成先收缩后扩张的拉伐尔喷管，只是形成超声流动的必要条件。要想获得所需的超声速气流，还必须保证喷管的入口和出口之间的应有的压强差。若以p0表示入口压强，pb表示出口处的环境压强，即背压。只有当pb=pel时，气体才可能像图中所示的设计工况流动。例如，当背压pb=pe2时，虽在最小截面上达到声速，但由于pe2高于临界压强p*，在喷管的扩张部分，气体也只能像图中曲线abd那样，按亚声速规律流动。当背压pb>pe2时，则在最小截面上也达不到声速，整个管道完全是亚声速流动。至于当pel<pb<pe2时，会出现等熵流动，待以后再讨论。若pb<pel，和收缩喷管一样，气流只能在流出管口以后膨胀，不会影响管内流动，喷管流量仍为临界流量，也就是最大流量。这时的状态也称为缩放喷管的壅塞状态。A*p0M1.0xp/p01.0xpe2/p0e10p/pcba11－6缩放喷管内的流动0.528d

第16页：等截面管中的有摩擦流动

等截面管中的有摩擦流动以上讨论的是无粘性气体的等熵流动，但实际气体的管内流动时，由于粘性而引起摩擦阻力，有一部分机械能不可逆地变成了热能，使气体的熵值增加。此外，气体也可能通过管壁与外界发生热交换。所以，实际气体的管道内的流动是十分复杂的，本节只讨论绝热和等温两种情况。一、绝热流动工程中有些输气管路用绝热材料包裹，可近似将管内气体的运动看成是绝热流动。下面首先建立有摩擦流动的运动方程。

1．有摩擦流动的运动方程在等截面直管中，取出长度为dx的微元管段。作定常流动的气体所受作用力如图11-7所示。τ0图11-7有摩擦的等截面管流根据动量定理建立方程pA(pdp)A0DdxVA(VdVV)4式中V是截面的平均流速，AD2是管道截面积。整理可得VdVdp40dx0D根据气体克服摩擦力所做的功，应等于气体在该段管路上沿程损失的能量，可以得到关系式dxτ0xp+dpV+dVpV

第17页：等截面管中的有摩擦流动（续）

等截面管中的有摩擦流动（续）

• 该式即为等截面管中有摩擦的运动微分方程。和欧拉运动微分方程比较，多了最后一项，是由摩擦产生的。在绝热流动中，沿程损失系数λ沿管长是变化的，故应取其平均值1dx。式
• 中的λ即为平均值，省去了上面的一横。L2．流速沿管长的变化利用a2kp和MV，可将
• 式变为aVp2DkM2dVdpkM2dx0
• 式中除包括速度和长度的微分项以外，还有压强项dp/p。为了建立速度随长度变化的关系，必须先找出dp/p与速度变化的关系。将状态方程pRT，取对数再微分，得dpddTpT在有摩擦的绝热流动中，仍可应用能量方程(a)k1V2RT常数2k微分得：RdTVdV0k1kkRTdTV2dV0k1TVV0dT2dVk1TVa2注意到M=V/a，并整理得dT(k1)M2dVTV根据连续方程，可以得到(b)

第18页：等截面管中的有摩擦流动（续）

等截面管中的有摩擦流动（续）

• 由于方程中的λ、k、M2和dx/D永远是正值，方程右边将永远是负值。由该式可以看出：若流动为亚声速，即M<1，则dV>0，表明沿管道流动的气体速度增大；若流动为超声速，即M>1，则dV<0，沿管长气流速度减。由此可以得出结论：管壁的摩擦作用将使亚声速气流加速，使超声速气流减速。所以，在等截面管道的绝热流动中，亚声速气流不可能连续加速为超声速气流；超声速气流不可能连续地变为亚声速气流；也就是说，进口气流不论是超声速还是亚声速，其极限速度都是声速。3．气体状态参数的计算利用MV/aV/kRT，可得MV2TdMdV1dT(e)将(b)式和
• 式代入(e)式，消去dV和dT两项，整理可得VT2k1kM3(1M2)dx2(1M2)dMD
• 设x=0时，M=M1；x=L时，M=M2，积分得到1212ln122122k1M2MM2k1M2211k1MM2kDkL
• 利用
• 、
• 和(b)、(c)、(d)各式，可以得出2M(1k1M2)dVdMV
• 2M(1k1)M2dMd
• 1k1M22dT(k1)MdMT

第19页：等截面管中的有摩擦流动（续）

等截面管中的有摩擦流动（续）

• 积分得122211122(k1)M21V2M2VM2(k1)M
• 2221T12(k1)M2T2(k1)M
• 1122211pM2(k1)M2pM2(k1)M22
• 利用静压比，还可得总压比01210212k1pM2(k1)M2pM2(k1)M22(k1)
• 上面导出的
• —
• 以及
• 等各式，可以用来对等截面绝热摩擦管流进行计算。但必须注意，实际管长L不能超过下面要讨论的极限管长。4．摩擦壅塞和极限管长由前面的分析得知，对于等截面管道，摩擦的作用使亚声速气流加速，使超声速气流减速，其极限状态是出口截面达到声速。这时的管道长度为极限管长或称为临界管长，其值可利用
• 式求得(令M1=M，M2=1)：2(k1)M2M2Dk2kL1
• k1lnk1M2
• 在出口截面达到声速时，通过管道的流量达到极限。每一个M数对应有一个极限管长L*，也对应有一个极限流量。如果实际管道的长度L超过按给定入口M数算出的极限管长L*，则通过管道的实际流量将会减少。对于亚声速流动，入口的实际马赫数将会低于给定M数。故上述情况称为摩擦壅现象。对于入口为超声速的流动，发生壅塞时会出现激波，情况更为复杂，这里不再详述。当管中达到声速时的气流状态参数，可利用
• —
• 各式，只要将M1=M，M2=1代入即可。

第20页：等温摩擦管流

等温摩擦管流

• 等温流动工程实际中有些输气管道很长，如煤气管道等。在流动过程中，气体有可能和外界进行充分的热交换，使气流基本上保持与周围环境相同的温度，按等温处理有足够的准确性。1．基本方程和流动特征运动微分方程
• 或
• 时，没有附加条件，不论绝热或等温流动都能适用，即2dpV2dxVdVD0或kM2dVdpkM2dx0Vp2D由连续方程得出的(c)式也可应用ddVV因为是等温流动，由状态方程得出的(a)式应为dpd(f)kRT，故等温流动中有p根据MV/dMdVMV将(c)和(f)代入方程
• 中，并整理可得(g)kM21dVkM2dxV2D
• 与绝热流中的
• 式比较，非常相似。等温流中λ为常数。方程中的λ、k、M2和dx/D永为正值，故方程右边为负值。可以看出：若M<1/k时，dV>0，即沿流动方向加速；当M>1k时，dV<0，即沿流动方向减速。因此，马赫数总是趋向于1/k，和绝热流动时不同。绝热流中马赫数总是趋向于1。在等温流中，气流的马赫数不能由小于1/k连续加速到大于1/k；反之亦然。因此，M=1/k是等温流的极限状态。2．等温流动参数计算将(g)式代入方程
• ，并整理，得dx2dM2dMDkM3M

第21页：等截面管中的有摩擦流动（续）

等截面管中的有摩擦流动（续）

• 2lnMlnM(h)或12M11MM2M2DkM2L
• 2ln2
• 根据状态方程p=ρRT，连续方程ρV=常数，以及马赫数表达式MV/有kRT，在等温条件下，p11V2M2代入
• 式中，得p22V1M1(i)11p2pp2p2kM2DL1
• 2ln1
• 和
• 式将截面1和截面2处的参数与两截面间的距离联系起来，如果已知截面1处的参数和距离L，使可求得截面2处的参数。同样，若已知截面2处的参数，也可以求截面1处的参数，可需将上述公式稍作变动即可，由前面的(h)式，可得21M1MM2M2DkM2L1
• 2ln2
• 221(11pp2p2DkM2L1)2ln2
• p通常公式中的第二项(对数项)要比第一项小得多，所以在求p2(或p1)时，第一次近似可忽略对数项，然后再用迭代法求解。对于粗略计算可舍去对数项，
• 和
• 可简化为211pDLp2kM12
• 222DpLp2kM11
• 这两个式子用来计算压头损失比较简单。3．等温摩擦管的极限长度前面已经分析过，等温流的临界马赫数是1kM

第22页：等截面管中的有摩擦流动（续）

等截面管中的有摩擦流动（续）

• ，便可得到等温摩擦管流的极限长度公式1DkM2(1kM2)ln(kM2)L
• 此外，根据等温流的(i)式，得MkpVMpVM
• 可用来计算等温流达到临界状态的相应能数。

第23页：一维流中的激波

一维流中的激波

• 激波的形成下面以活塞在长管中压缩气体的例子来说明激波形成的物理过程。图11-18所示为一长管，管内气体原处于静止状态，V1=0，其它参数为p
• ρ1和T1。现推动活塞向右作加速运动。为便于说明，我们把活塞连续加速的过程分解为逐步加速的过程。活塞以某一微小速度V开始运动，产生了第一个弱压缩扰动波，以当地声速a1向右传播，波后气体的压强、密度和温度分别提高了一个小增量p、和T，波后气体的速度由零提高到V。若使活塞再有一个小加速，便产生第二道微弱压缩扰动波，这道波将以波后温度已提高为T1T的当地声速a2相对于气体质点而传播，由于气体质点已获得了V的速度，所以，第二道波的实际速度是a2V。波后的压强、密度和温度也相应又有一小的增量P、和T，若使活塞进一步加速，可以类推，越是后面的压缩波，运动速度越快。波间距离会越来越小，最终会叠加在一起，形成一道突跃压缩波，即激波，以比当地声速大得多的速度向运动。激波经过未受扰动的气体时，气体参数由p
• ρ1和T1突变为p
• ρ2和T2。波后气体的速度也由零突变为Vf，称为伴随速度。上面所讨论的激波面与激波的运动方向垂直，故称为正激波。通常把激波当成没有厚度的突跃面来处理。实际上激波是有厚度的一个区域，在这个区域内气流参数发生急剧变化。但这个厚度很薄，与气体分子平均自由程同数量级。

第24页：正激波的形成与传播

xpp2p1x图11-8激波的形成pp2p1p1,ρ1,T1p2,ρ2,T2V1=VsV2=Vs-Vf图11-9激波坐标变换

第25页：正激波的传播速度

正激波的传播速度

• 正激波的传播速度为研究方便，我们采用相对坐标系，即相当于对整个系统加一个与激波运动速度大小相等，方向相反的速度，让激波固定不动，气体穿过激波流动，V1=Vs，V2=Vs-Vf，如图11-9所示。对图中所示控制体应用连续方程，得1V12V2(a)列出动量方程p1p21V1(V2V1)(b)由上面两式，可解得21121221ppV因V1的大小与激波运动速度Vs相等，方向相反，故可求出激波的运动速度Vs，的大小为211p2p12Vs
• 将V1=Vs，V2=Vs-Vf代入到(a)式中1Vs2(VsVf)得sV2f21V把
• 式代入(c)式，便可得出激波后气体质点的伴随速度值为12f(p2p1)
• V
• 由式
• 和
• 式可以看出，激波的传播速度Vs，以及激波引起的速度增量(即伴随速度)Vf与激波强度有关。激波越强，也就是压强和密度的变化越大，则激波的传播速度越快，伴随速度也越大，反之亦然。当激波强度为无限弱时，21，则传播速度将成为sdVdpa，伴随速度Vf=0。也就是说，激波已变成微弱扰动波。由上面的分析可以看出，激波相对其前方未受扰动的气体质点的速度一定大于当声速。将坐标转换过来，若激波不动，气流穿过激波面而运动，则可以说波前气流速度V1一定是超声速的。因此，对于气体作定常流动的问题中，只有超声速气流中才能出现激波。对于物体在气体中运动的问题，如果有激波出现在物体前部，与物体一起向前运动，则物体的

第26页：一维流中的激波（续）

一维流中的激波（续）

• 正激波前后气流参数的关系为分析方便，我们仍采用前述的坐标转换，设激波固定不动，激波前的气流参数分别为V
• p
• ρ1和T1，经激波后突变为V
• p
• ρ2和T2。前面已列出了连续方程和动量方程1V12V2p1p21V1(V2V1)此外，由于穿过激波的过程是绝热过程，(a)(b)kPkpV2V211222k112k12根据状态方程pRT，激波前后的状态都应满足，故(c)p1P21T12T2(d)应用上述四个方程，以及MV，a2kp/，以及热力学中的熵增等关系式，可得12VVa2或M1M21
• 122kM2(k1)k1M22M21
• 11(M21)2kk1pp21
• 12111V2(k1)M22V(k1)M2
• 111211(M21)(k1)2M22(k1)(kM21)TT
• T02T01
• 21020211k12kM2(k1)k1k1k1(k1)M22k1Mp0101p
• 11121Vlnk1(k1)M2SSC(k1)M22k2kM2(k1)
• 上述各式说明：

第27页：一维流中的激波（波前气流）

一维流中的激波（波前气流）

• 波后与波前气流参数的比值、和随波前气流的M数的增大而增大。
• 由于过程是绝热的，总能量不变，故总温不变，即T02T01。
• 穿过激波过程虽是绝热的，但不可逆。因为当气体穿过激波时，部分机械能消耗于摩擦、碰撞、挤压而不可逆地转化为热能。故反映总机械能的总压p0将会减小，因总温T0不变，根据状态方程的关系，p00RT0，故总密度也随之减小。
• 穿过激波熵值增加，为不等熵过程，熵增随波前马赫数M1的增大而增大；反之变然。当M1=1时，熵增为零，上述各比值也都为1，即波前后的参数变化趋于零，激波变成了微弱扰动波。
• 激波突跃压缩与等熵压缩的比较利用上述激波参数比关系式，消去M1,经整理可以得到k12k12p1p2k11k11或1
• k1p2k1p22k1p11k1p1利用状态方程，上式还可以写成1
• 2p1T1k1p21k1p1以上三式称为兰金一雨贡纽(Rankine-Hugoniot)公式。它描述了气流经过激波的密度突跃、温度突跃与压强突跃之间的关系。对于等熵压缩，它们应遵循22k1ppT2k1p1

第28页：一维流中的激波（续）

一维流中的激波（续）

• k或2
• k，2
• kp111p1T1p1可以看出两者压缩关系是不同的，将它们绘成曲线(图11-10)可以清楚地看出它们的差异。在同一压缩比下，突跃压缩的温度比要比等熵压缩的温度比高，而密度比较小。当p2时，等熵压缩的2；而突跃压缩则不同，p2时的2k1，是一个有p11p11k1限度值。不管激波多么强，密度比不会超过k1这个极限。对于空气k=1.4，2不会超过k116。这是由于气流在通过激波时，有部分机械能不可逆地转变为热能，温度升高较大。而温度的增高会使气体膨胀，密度减小。这样，使激波压缩所导致的密度的增高受到了限制。