08 第八章 不可压缩流体二维边界层.pptx

第1页：第八章 不可压缩流体二维边界层

本章主要内容：

• 边界层的基本概念
• 不可压层流边界层方程
• 边界层动量积分方程
• 平板层流边界层近似计算
• 平板紊流边界层近似计算
• 平板混合边界层近似计算
• 边界层的分离现象

第2页：边界层的概念

当空气、蒸汽、水等小粘度的流体与其他物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大，由 Re = 惯性力/粘性力 = Vl/ν 可知，在这些流动中惯性力远大于粘性力，所以可略去粘性力。

但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级，在这一薄层中两者均不能略去。这一薄层就叫边界层（或速度边界层），由普朗特在 1904 年发现。

第3页：流场的分区

1. 流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层就叫边界层或速度边界层。
2. 整个流场分为两部分：外部流动区域中 ∂u/∂y = 0、τ = μ∂u/∂y = 0，粘性可忽略，为无旋流动；边界层内 u = u(x, y)，∂u/∂y 非常大，粘性力和惯性力相比不能忽略，有旋涡。

第4页：边界层厚度

边界层内流动趋近于外部流动是渐进的，而不是截然分开的。约定与同一截面上外部主流速度相差 1% 的地方为边界层外边界，以此来定义边界层厚度 δ。

• 翼弦长几米，δ 厚约几个 cm；轮船长几百米，δ 厚约几 m；透平叶片，δ 约几个 mm。
• 薄层性质：δ/L ≪ 1（L 为物体的长度），且 δ/L ~ 1/√Re；随 x 增大 δ 增大。

第5页：层流、紊流与混合边界层

1. 按流动状态，边界层分为层流边界层、紊流边界层，以及初始部分为层流然后是紊流的混合边界层，由层流向紊流的转变取决于 Re 的大小。
2. 在边界层内，流体在物体表面法线方向速度梯度很大，所以边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而层外速度梯度很小，即使对于粘度很大的流体粘性力也很小，可认为边界层外的流动是无旋的势流。
3. 边界层内 ∂p/∂y = 0，即认为边界层内各截面上的压力等于同一截面上边界层外边界上的压力；惯性力和粘性力为同一数量级。

第6页：圆管入口段的流动

流体从大容器流入管道，管道入口呈圆角，进口断面上流速分布均匀。由于粘性，流体在近壁处形成边界层，且边界层厚度沿流动方向增大。在离进口距离为 L 的 c-c 断面上，边界层基本上扩展至管轴，从进口 a-a 至 c-c 断面的距离 L 称为管道的起始段长度，c-c 断面以后则为充分发展的管流。

• 起始段边界层为层流时：L/d = 0.058 Re。
• 边界层由层流转变为紊流时：L/d ≈ 30，实际在距进口 12d 处边界层已接近管轴。

紊流起始段很短、影响也小，一般可忽略不计，但在工程测量及管道阻力实验时需避开起始段的影响。

第7页：层流边界层方程的简化思路

由于在边界层以外可认为是无旋运动，可利用理想流体的势流理论处理，所以对流体的流动阻力可近似认为全部发生在边界层以内，这就是研究边界层内流动的意义之一。

前提：在边界层以内，取值范围 0 ≤ x ≤ l、0 ≤ y ≤ l，由于 x ≫ y，认为 x 的数量级是 1、y 的数量级是 Δ（Δ 比 1 低一个数量级），即 x ~ 1、y ~ Δ；且由 u ≫ υ 及连续方程 ∂u/∂x + ∂υ/∂y = 0，认为 u ~ 1、υ ~ Δ。

第8页：普朗特边界层方程

假定边界层内流动全是层流且忽略质量力，对不可压流体定常二元绕流流动，N-S 方程和连续方程经数量级比较后简化为：

u ∂u/∂x + υ ∂u/∂y = −(1/ρ)dp/dx + ν ∂²u/∂y²，配合 ∂u/∂x + ∂υ/∂y = 0

边界条件：y = 0 时 u = υ = 0；y = δ 时 u = u(x)（沿平壁面而言 y = δ 时 u = V_∞）。上式即层流边界层微分方程，又称为普朗特边界层方程，由普朗特在 1904 年提出。

第9页：边界层内的压强关系

在边界层横截面上各点压力相等，即 p = f(x)，而边界层外边界上及边界层以外由势流伯努利方程 p + ρU_e²/2 = 常数，两边对 x 求导得 dp/dx = −ρU_e dU_e/dx。

说明层外压力项和惯性项具有同一数量级。当流体纵掠平板时边界层外主流速度没有变化，此时 dp/dx = 0，则整个流场压力处处相等。边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的曲线壁面仍然适用。

第10页：动量积分方程的提出

边界层动量积分方程由卡门在 1921 年提出。

推导前提：二元定常、忽略质量力，且 u ≫ υ（由边界层微分方程的数量级比较可看出），所以只考虑 x 方向的动量变化，不引入 y 方向的流速 υ。

第11页：控制体的质量与动量

取边界层微元控制体 ABCD。单位时间内：

• AB 面流进的流体质量 m_AB = ∫₀^δ ρu·1 dy，动量 K_AB = ∫₀^δ ρu² dy。
• CD 面流出的流体质量 m_CD = ∫₀^δ ρu dy + ∂/∂x(∫₀^δ ρu dy)dx，动量 K_CD = ∫₀^δ ρu² dy + ∂/∂x(∫₀^δ ρu² dy)dx。

第12页：AC面的流量与受力

由质量守恒：流进控制面的流体质量 = 流出控制面的流体质量，则 AC 面流进的流体质量 m_AC = m_CD − m_AB = ∂/∂x(∫₀^δ ρu dy)dx，动量 K_AC = U_e ∂/∂x(∫₀^δ ρu dy)dx，其中 U_e 为边界层外边界上的速度。

控制体在 x 方向的受力：AB 面 F_AB = pδ·1；CD 面 F_CD = −[pδ + d(pδ)/dx·dx]；AC 面 F_AC = (p + (∂p/∂x)(dx/2))·(dδ/dx)dx；BD 面 F_BD = −τ_w dx·1（负号是因为受力与 x 轴方向相反）。

第13页：边界层动量积分关系式

x 方向外力之和（略去二阶微量）为 ΣF_x = −δ(dp/dx)dx − τ_w dx。

由动量定理，得到定常运动条件下边界层的动量积分关系式：

∂/∂x ∫₀^δ ρu² dy − U_e ∂/∂x ∫₀^δ ρu dy = −δ dp/dx − τ_w

由于在边界层内 ∂p/∂y = 0，故 p = p(x)、δ = δ(x)，上述偏导数可改写成常导数。由于在推导过程中未对 τ_w 作任何本质的假设，所以上式适用于层流和紊流。

第14页：动量积分关系式的改写

由势流伯努利方程 p + ρU_e²/2 = 常数，得 dp/dx = −ρU_e dU_e/dx。又因 ∫₀^δ dy = δ，右边第一项可写成 −δ(dp/dx) = ρ(dU_e/dx)∫₀^δ U_e dy。

对左边第二项作变换后代入动量积分关系式，可得含 (U_e − u) 的两项积分形式。

第15页：位移厚度

第一项积分 ∫₀^δ (U_e − u)dy 的物理意义：表示速度为 U_e 的理想流体流经高度 δ、垂直纸面尺寸为 1 的截面的流量与以实际流速 u 流过同样截面的流量之差。

曲边三角形的面积总可用一个矩形面积代替，令 δ₁U_e = ∫₀^δ (U_e − u)dy，即 δ₁ = ∫₀^δ (1 − u/U_e)dy，δ₁ 就称为位移厚度（又称排挤厚度）。

比较同一平板表面的粘性流体和理想势流流动，由于粘性流体边界层内的流动受阻，无穷远来流中每一条确定的流线在理想势流流场中的位置被向外排挤了一段距离。

第16页：动量损失厚度

第二项积分 ∫₀^δ ρu(U_e − u)dy 表示因粘性影响而产生的流体动量的减少量。令 ρδ₂U_e² = ∫₀^δ ρu(U_e − u)dy，即 δ₂ = ∫₀^δ (u/U_e)(1 − u/U_e)dy，δ₂ 称为动量损失厚度。

物理意义：在同一断面，理想流体通过的质量流量为 ∫₀^δ ρU_e dy，粘性流体为 ∫₀^δ ρu dy，故损失的动量为 ∫₀^δ ρ(U_e − u)u dy；把这部分动量损失折算为厚度 δ₂ 的理想势流所具有的动量，即边界层内的流体动量损失数值相当于平板表面上厚度为 δ₂ 的一层理想流体的动量。

第17页：平板层流边界层问题

假定来流 V_∞ 流经平板时，平板上下两侧形成层流边界层。现在要求的是边界层厚度 δ 的变化规律和摩擦阻力 F_D。

第18页：平板的压强关系

在边界层外边界上 V(x) = V_∞，由势流的伯努利方程 p + ρV_∞²/2 = 常数，两边对 x 求导得 dp/dx = 0，即 p = 常数，边界层外边界上压力为常数；而边界层内 ∂p/∂y = 0，所以整个边界层内各点压力相同，整个流场压力处处相等。

代入边界层动量积分方程可得 d/dx ∫₀^δ ρu²dy − V_∞ d/dx ∫₀^δ ρu dy = −τ_w，式中有 u、τ_w、δ 三个未知数，所以需再补充两个方程。

第19页：速度分布的边界条件

当 x 固定时，假设边界层内速度 u 的分布为四次多项式：u(y) = a₀ + a₁y + a₂y² + a₃y³ + a₄y⁴ = Σa_k y^k。边界条件：

1. 壁面处 y = 0，u = 0。
2. 边界层外边界处 y = δ，u = V_∞。
3. 边界层外边界处 y = δ，∂u/∂y = 0。
4. 边界层外边界处 y = δ，由普朗特边界层方程得 ∂²u/∂y² = (1/μ)dp/dx。
5. 平板壁面处 y = 0，u = υ = 0，由上式得 ∂²u/∂y²|_{y=0} = −(1/μ)dp/dx。

第20页：层流边界层的计算结果

把边界条件代入多项式，得层流边界层中的速度分布：u = V_∞[2(y/δ) − 2(y/δ)³ + (y/δ)⁴]（按壁面与外边界条件确定的形式）。

• 切向应力：τ_w = μ(du/dy)|_{y=0} = 2μV_∞/δ（按所选分布式求导）。
• 边界层厚度：δ = 5.84√(νx/V_∞) = 5.84x/√Re_x。
• 总摩擦阻力（平板一面）：F_D = ∫₀^L τ_w b dx = 0.73 bL ρV_∞²/√Re_L，其中 b 为板宽。
• 摩擦阻力系数：C_f = F_D/((1/2)ρV_∞²bL) = 1.46/√Re_L。

第21页：其他速度分布假设

若提出其他形式的速度分布，则可得到另一组近似的结果。边界层内速度分布的其他假设形式有：u/U = aη² + bη + c、u/U = aη³ + bη² + cη + d、u/U = aη⁴ + bη³ + cη² + dη + e、u/U = sin(πη/2) 等。

采用三次多项式分布式时：δ = 4.64√(νx/U)，C_D = 1.29/√Re_L。

第22页：布拉休斯精确解

布拉休斯精确解：δ = 5.0√(νx/U)，τ_w = 0.332ρU²/√Re_x（即 τ_w = 0.332ρU²·√{ν/(Ux)}），C_D = 1.328/√Re_L。

假定的速度分布形式虽然差别甚大，但所得到的结果（δ、δ₁、δ₂、τ_w、C_f）差别并不很大，可见边界层动量积分方程对速度分布的形式并不敏感，这是动量积分方程的最大优点。

第23页：动量方程求解边界层的步骤

利用动量方程求解边界层问题的步骤：

1. 假设速度分布：通常采用多项式形式，u/U = f(η)，其中 η = y/δ。
2. 利用边界条件确定多项式各常数。
3. 利用速度分布计算位移厚度 δ₁（δ*）、动量损失厚度 δ₂（θ）和壁面切应力 τ_w。
4. 代入动量积分方程求解 δ 和 τ_w 以及其他参数。

第24页：紊流边界层的比拟方法

对紊流必须用另外的方法去找两个补充关系式。根据普朗特假设，通常和圆管内的紊流进行比拟：认为圆管中心线上的最大速度相当于平板来流速度 V_∞，圆管半径 r 相当于边界层厚度 δ，并假定从平板前缘（x = 0 处）一开始就是紊流边界层。

与圆管一样，假定紊流边界层内速度分布也服从七分之一次方规律。

第25页：紊流边界层的速度与切应力

• 速度分布：与圆管 u/u_max = (y/r₀)^{1/7} 对应，平板紊流边界层为 u/V_∞ = (y/δ)^{1/7}。
• 壁面切应力：τ_w = 0.0234 ρV_∞²(ν/(V_∞δ))^{1/4}，由圆管 τ_w = 0.0234 ρu_max²(ν/(u_max r₀))^{1/4} 比拟得到。

第26页：切应力的推导过程

由 h_f = λ(l/d)(V²/(2g)) 和 h_f = 2τ_w l/(ρg r₀)（由受力平衡）得 τ_w = λρV²/8。

将紊流光滑管区沿程阻力系数 λ = 0.3164/Re^0.25 = 0.3164(ν/(Vd))^{1/4} 及中等雷诺数范围内管流平均流速与最大流速的比值关系 V = 0.817 u_max 代入上式，可得 τ_w = 0.0234 ρV_∞²(ν/(V_∞δ))^{1/4}。

第27页：紊流边界层的计算结果

将速度分布与切应力分布关系式代入边界层动量积分方程整理得：

• 边界层厚度：δ = 0.383 x/Re_x^{1/5}（由 x = 0 处 δ = 0 确定积分常数为零）。
• 壁面切应力：τ_w = 0.0297 ρV_∞²/Re_x^{1/5}。
• 平板一个壁面上的总摩擦阻力：F_D = ∫₀^L τ_w b dx = 0.0371 bL ρV_∞²/Re_L^{1/5}。
• 摩擦阻力系数：C_f = F_D/((1/2)ρV_∞²bL) = 0.074/Re_L^{1/5}。

上式仅适用于 5×10⁵ ≤ Re_L ≤ 10⁷。

第28页：高雷诺数下的修正

当 Re_L > 10⁷ 时，速度分布的 1/7 次规律与实际出入较大，此时层内速度分布相当于对数规律式，则摩擦阻力系数为：

C_f = 0.455/(lg Re_L)^{2.58}

第29页：层流与紊流边界层的差别

平板层流边界层和紊流边界层的重大差别：

1. 紊流边界层沿平板壁面法向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快，即紊流边界层的速度分布曲线比层流边界层的要饱满得多，这与圆管的情况相似。
2. 沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得快：紊流的 δ 与 x^{4/5} 成比例，而层流的 δ 则与 x^{1/2} 成比例。
3. 在其他条件相同时，沿平板壁面上紊流边界层的切向应力沿壁面的减小比层流边界层的慢些。
4. 在同一 Re 下，紊流边界层的摩擦阻力比层流边界层的大得多，因为层流中的摩擦阻力只由不同流层之间的相对运动引起，而紊流中还有流体微团剧烈的横向掺混。

第30页：混合边界层的两个假设

为了求平板混合边界层的摩擦阻力，作出下面两个假设：

1. 在 A 点由层流边界层突然转变为紊流边界层，即在某一截面上突然发生转变。
2. 在计算紊流边界层的厚度变化（即 δ）、层内速度和切应力的分布时都认为是从前缘点 O 开始的（否则前面的有关公式不能用）。

第31页：混合边界层的总阻力

由以上两个假定，平板混合边界层的总摩擦阻力为：

F_D = F_{L,OA} + (F_{T,OB} − F_{T,OA})

即平板总阻力 = 层流段 OA 的层流阻力 + 紊流段（OB 的紊流阻力 − OA 段按紊流计算的阻力）。其中 C_fL 为层流边界层的摩擦阻力系数，C_fT 为紊流边界层的摩擦阻力系数，b 为平板宽度，x_cr 为转变点 A 至前缘点 O 的距离。

第32页：混合边界层的摩擦阻力系数

混合边界层的摩擦阻力系数为：

C_f = C_fT − (C_fT − C_fL)x_cr/L = C_fT − A/Re_L

式中 A = (C_fT − C_fL)Re_xc，取决于层流边界层转变为紊流边界层的临界雷诺数 Re_xc。具体可写为：

• 5×10⁵ ≤ Re_L ≤ 10⁷ 时：C_f = 0.074/Re_L^{1/5} − A/Re_L，A = 0.074Re_cr^{4/5} − 1.328Re_cr^{1/2}。
• 5×10⁵ ≤ Re_L ≤ 10⁹ 时：C_f = 0.455/(lg Re_L)^{2.58} − A′/Re_L，A′ = 0.455Re_cr/(lg Re_cr)^{2.58} − 1.328Re_cr^{1/2}。

第33页：边界层的分离现象

当流体绕流非流线型物体时，会出现下列现象：物面上的边界层在某个位置开始脱离物面，并在物面附近出现与主流方向相反的回流，流体力学中称这种现象为边界层的分离现象。

第34页：圆柱绕流的边界层分离

图中给出圆柱绕流的边界层分离：流体绕过圆柱时，在圆柱后半部出现逆压梯度，边界层在某点脱离壁面并在尾流区形成旋涡，造成很大的压差阻力。

第35页：曲面边界层分离的形成

由势流伯努利方程可知边界层内沿流向的压强梯度为 p + ρU_e²/2 = 常数，两边对 x 求导得 dp/dx = −ρU_e dU_e/dx。

而壁面形状对速度分布的影响为 (∂²u/∂y²)|_{y=0} = (1/μ)dp/dx，即壁面处速度分布曲线的曲率由压强梯度决定。

第36页：顺压梯度区

绕流曲面边界层时，流动按曲面形状分三种情况。顺压梯度区（C 点以前）：物体的迎流面宽度不断增大，物体壁面逼使层外势流速度增加、压强下降。

流动特点：dp/dx < 0，(∂²u/∂y²)|_{y=0} < 0，(∂u/∂y)|_{y=0} > 0，不会发生边界层分离。

第37页：零压梯度点与逆压梯度区

• 压强梯度 dp/dx = 0 点：该点在最大迎流面宽度附近（C 点），该处边界层外速度最大、压强最低，且是压强变化的转折点，此时 (∂²u/∂y²)|_{y=0} = 0。
• 逆压梯度区：物体壁面下降，边界层外缘处流速渐减、压强渐增，dp/dx > 0，(∂²u/∂y²)|_{y=0} > 0，速度剖面在 0 < y < δ 之间存在拐点，有可能在某个位置上出现边界层分离点（如图中 D 点），分离点满足 (∂u/∂y)|_{y=0} = 0。

第38页：分离的两个必要条件

边界层分离的两个必要条件：逆压梯度、粘性摩擦力。

• 只有物面粘性阻滞作用而无逆压梯度，物体不会反向运动；
• 只有逆压梯度而无物面粘性阻滞作用也不会产生分离；
• 有了上述两个条件不一定就产生分离，还要看逆压梯度的大小。

第39页：边界层分离小结

小结：边界层分离必须同时具备逆压梯度和物面粘性阻滞两个条件，二者缺一不可；分离是否发生还取决于逆压梯度的大小。绕流物体采用流线型外形可减小逆压梯度，从而推迟或避免分离。