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本课件讲解轴向拉伸与压缩：以截面法求轴力并绘制轴力图，引入应力概念与拉压杆强度条件，继而讨论拉压杆变形、胡克定律、超静定问题与装配温度应力，最后介绍材料在拉伸压缩时的力学性能。
材料力学 第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
§2-1 引言
轴向压缩，对应的外力称为压力；轴向拉伸，对应的外力称为拉力。力学模型如图。
二、工程实例
本页源文件未提取到可排版文字，仅有图片，内容为轴向拉压的工程实例。建议对照原课件图片补充要点说明。
§2-2 横截面上的内力和应力
二、截面法·轴力：内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础，求内力的一般方法是截面法。
2、轴力——轴向拉压杆的内力，用 N 表示。例如：截面法求 N。
简图 A—P—P—P：截开、代替、平衡三步求得轴力。
三、轴力图——N(x) 的图象表示。
[例1] 图示杆的 A、B、C、D 点分别作用着大小为 5P、8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
解：求 OA 段内力 N1：设置截面如图。
同理，求得 AB、BC、CD 段内力分别为：
轴力图如右图。
轴力（图）的简便求法：自左向右，轴力图的特点是突变值 = 集中载荷。
示例：5 kN、8 kN、3 kN 作用下的轴力图（+3 kN、–5 kN、8 kN）。
[例2] 图示杆长为 L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在自由端，取左侧 x 段为对象，内力 N(x) 为：
N(x) = –∫₀ˣ q(x)dx
四、应力的概念
问题提出：内力大小不能衡量构件强度的大小。强度取决于：① 内力在截面分布集度——应力；② 材料承受荷载的能力。
工程构件大多数情形下内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。
③ 全应力分解为：垂直于截面的应力称为正应力（Normal Stress）；位于截面内的应力称为剪应力（Shear Stress）。
应力单位：Pa = N/m²，MPa = 10⁶ N/m²，GPa = 10⁹ N/m²。
五、拉（压）杆横截面上的应力
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。
变形示意图（红色实线为变形前的线，红色虚线为其变形后的形状）与应力分布示意图见原图。
§2-3 拉（压）杆的强度条件
问题提出：内力大小不能衡量构件强度的大小。强度：① 内力在截面分布集度——应力；② 材料承受荷载的能力。
工程构件大多数情形下内力并非均匀分布，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。
③ 全应力 p 分解为 σ 与 τ：垂直于截面的应力称为正应力；位于截面内的应力称为剪应力。
应力单位：Pa = N/m²，MPa = 10⁶ N/m²，GPa = 10⁹ N/m²。
二、拉（压）杆横截面上的应力
均匀材料、均匀变形，内力均匀分布，即各点应力相同。
§2-3 拉（压）杆的强度条件
采用安全系数的原因：1、极限应力的差异；2、横截面尺寸的差异；3、载荷估计不准；4、应力计算的近似性；5、构件与工程的重要性；6、减轻设备自重的要求。n 增大偏安全，n 减小偏经济。
四、强度条件（拉压杆）：σmax = Nmax / A ≤ [σ]，其中 σmax 为危险点的最大工作应力。
五、三类强度问题：依强度准则可进行三种强度计算：
[例3] 已知一圆杆受拉力 P = 25 kN，直径 d = 14 mm，许用应力 [σ] = 170 MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为 q = 4.2 kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d = 16 mm，许用应力 [σ] = 170 MPa。试校核钢拉杆的强度。
已知：钢拉杆、q = 4.2 kN/m、4.2 m、8.5 m。
解：① 整体平衡求支反力。
受力图含：钢拉杆、8.5 m、q = 4.2 kN/m、RA、RB、HA。
② 局部平衡求轴力：取含 RA、HA、RC、HC、N 的分离体。
③ 应力：σ = N / A
④ 强度校核与结论：此杆满足强度要求，是安全的。
[例5] 简易起重机构如图，AC 为刚性梁，吊车与吊起重物总重为 P，为使 BD 杆最轻，角 θ 应为何值？已知 BD 杆的许用应力为 [σ]。
分析：几何参数 x、L、h、θ、P，A、B、C、D 各点位置如图。
解：① BD 杆内力 N(θ)：取 AC 为研究对象，受力含 YA、XA、θ、NB、x、L、P。
② BD 杆面积 A = N / [σ]，BD 杆轴力最大值由几何关系确定。
③ 求 VBD 的最小值：由 N(θ)、杆长与面积表达式对 θ 求极小。
拉（压）杆斜截面上的应力：设有一等直杆受拉力 P 作用，求斜截面 k-k 上的应力。
① 采用截面法切开，由左部平衡方程得 Pα = P；Aα 为斜截面面积，Pα 为斜截面上内力。由几何关系代入得
pα = σ₀ cos α，其中 σ₀ 为 α = 0 面即横截面上的正应力。
② 仿照证明横截面上正应力均布，也可证斜截面上应力均布。
③ pα 分解为 σα 与 τα，反映通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
3、拉压杆内一点 M 的应力单元体如图。
4、拉压杆斜截面上的应力：取分离体如图 3，α 逆时针为正；τα 绕研究对象顺时针转为正。由分离体平衡得：
σα = σ₀ cos²α，τα = (σ₀/2) sin 2α
例6 直径为 d = 1 cm 的杆受拉力 P = 10 kN 的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角 30° 的斜截面上的正应力和剪应力。
解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之。
例7 图示拉杆沿 mn 由两部分胶合而成，受力 P，设胶合面的许用拉应力为 [σ] = 100 MPa，许用剪应力为 [τ] = 50 MPa，杆的强度由胶合面控制，横截面积 A = 4 cm²，试问为使杆承受最大拉力，α 角应为多大（α 在 0~60° 之间）。
解：由正应力条件与剪应力条件联立 (1)、(2) 得。
(1)、(2) 式的曲线如图，显然 B 点左侧由正应力控制杆的强度，B 点右侧由剪应力控制杆的强度；当 α = 60° 时由 (2) 式得解，并求 (1)、(2) 曲线交点处。
§2-4 拉压杆的变形 胡克定律
一、拉压杆的变形及应变
二、胡克定律（弹性范围内）
“EA” 称为杆的抗拉压刚度；4、杆的横向变形与 5、横向线应变由泊松比确定。
例8 小变形放大图与位移的求法
结构含 A、B、C 三点与两杆 L₁、L₂，载荷 P。
2、写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系。
解：变形图如图 2，B 点位移至 B′ 点，由图知位移与两杆伸长量的几何关系。
例9 设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36 mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮，设 P = 20 kN，试求钢索的应力和 C 点的垂直位移，钢索的 E = 177 GPa。
解：方法 1，小变形放大图法。1）求钢索内力：以 ABCD 为对象；2）钢索的应力和伸长分别计算。
几何尺寸：800、400、400，角度 60°、60°。
3）变形图如左图，C 点的垂直位移为：
由钢索伸长量与几何关系确定 C 点竖向位移。
§2-8 拉伸、压缩超静定问题
对比：静定问题与超静定问题、稳定平衡与不稳定平衡。
例11 设 1、2、3 三杆用铰链连接如图，已知各杆长为 L₁ = L₂、L₃ = L；各杆面积为 A₁ = A₂ = A、A₃；各杆弹性模量为 E₁ = E₂ = E、E₃。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
解：① 平衡方程：由节点 A 受力含 P、N₁、N₃、N₂。
② 几何方程——变形协调方程；③ 物理方程——弹性定律；④ 补充方程：由几何方程和物理方程得；⑤ 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
3、超静定问题的方法步骤：
例12 木制短柱的四角用四个 40×40×4 的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为 [σ]₁ = 160 MPa 和 [σ]₂ = 12 MPa，弹性模量分别为 E₁ = 200 GPa 和 E₂ = 10 GPa，求许可载荷 P。
解：① 平衡方程；② 几何方程；③ 物理方程及补充方程。
④ 解平衡方程和补充方程；⑤ 求结构的许可载荷。
方法 1：角钢面积由型钢表查得 A₁ = 3.086 cm²。
⑤ 求结构的许可载荷：在 Δ₁ = Δ₂ 的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。
另外：若将钢的面积增大 5 倍怎样？若将木的边长变为 25 mm 又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着。
二、装配应力——预应力
解：① 平衡方程；② 几何方程。如图，3 号杆的尺寸误差为 δ，求各杆的装配内力（含 N₁、N₂、N₃）。
③ 物理方程及补充方程；④ 解平衡方程和补充方程，得各杆装配内力（含尺寸误差 δ）。
三、温度应力
例13 如图，阶梯钢杆的上下两端在 T₁ = 5 ℃ 时被固定，上下两段的面积分别为 A₁ = 5 cm²、A₂ = 10 cm²，当温度升至 T₂ = 25 ℃ 时，求各杆的温度应力。（线膨胀系数 α = 12.5×10⁻⁶ /℃，弹性模量 E = 200 GPa）
解：① 平衡方程；② 几何方程。
③ 物理方程；④ 补充方程；⑤ 解平衡方程和补充方程；⑥ 温度应力。
§2-5 材料拉伸和压缩时的力学性能
一、试验条件及试验仪器：1、试验条件：常温（20 ℃）、静载（极其缓慢地加载）；2、试验对象：标准试件。
3、试验设备：万能试验机；变形仪（常用引伸仪）。
二、低碳钢试件的拉伸图（P–ΔL 图）
三、低碳钢试件的应力—应变曲线（σ–ε 图）
（一）低碳钢拉伸的弹性阶段（oe 段）
（二）低碳钢拉伸的屈服（流动）阶段（es 段）：σs 为屈服极限，出现滑移线。塑性材料的失效应力取 σs。
（三）低碳钢拉伸的强化阶段（sb 段）
（四）低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段（bf 段）
六、材料压缩时的机械性能：σby 为铸铁压缩强度极限，σby ≈（4—6）σbL。
七、安全系数、容许应力、极限应力
例10 铜丝直径 d = 2 mm，长 L = 500 mm，材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为 30 mm，则大约需加多大的力 P？
解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故不可再应用弹性定律，应由拉伸图（σ–ε 曲线）查得对应应力后求 P。
§2-6 温度和时间对材料力学性能的影响
一、温度对材料力学性能的影响（短期，静载下）
总趋势：温度升高，E、σS、σb 下降，δ、ψ 增大；但低碳钢在 260 ℃ 以前随温度升高 σb 反而增大，同时 δ、ψ 减小，这一特征并非所有钢材都具有。
温度对铬锰合金力学性能的影响：给出强度指标与 δ 随温度（–200 ℃ 至 800 ℃）变化的曲线。
P–Δl 曲线对比：温度降低，塑性降低，强度极限提高。
二、蠕变与松弛（高温，长期静载下）
材料的蠕变曲线分为：不稳定阶段、稳定阶段、加速阶段、破坏阶段。
构件的工作段不能超过稳定阶段！
拉压和剪切习题课
一、轴向拉压杆的内力及轴力图
轴力的简便求法：以 x 点左侧部分为对象，x 点的内力 N(x) 由下式计算，其中 ΣP(←) 与 ΣP(→) 为 x 点左侧与右侧部分的所有外力。
例1 图示杆的 A、B、C、D 点分别作用着 5P、8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
轴力图结果：–3P、5P、P、2P。
二、拉压杆的应力
三、强度设计准则（Strength Design Criterion）
四、拉压杆的变形及应变
6、超静定问题的方法步骤：① 平衡方程；② 几何方程——变形协调方程；③ 物理方程——胡克定律；④ 补充方程：由几何方程和物理方程得；⑤ 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
装配应力——预应力、装配温度的影响。
五、材料在拉伸和压缩时的力学性能
例2 结构如图，AB、CD、EF、GH 都由两根不等边角钢组成，已知材料的 [σ] = 170 MPa，E = 210 GPa。AC、EG 可视为刚杆，试选择各杆的截面型号和 A、D、C 点的位移。
已知：P = 300 kN，q₀ = 100 kN/m，尺寸 0.8 m、3.2 m、1.8 m、1.2 m、2 m、3.4 m、1.2 m。解：① 求内力，受力分析如图。
② 由强度条件求面积：各杆轴力 NG、NC、NA、NE、ND = ND 已知，A ≥ N / [σ]。
③ 试依面积值查表确定钢号；④ 求变形。
⑤ 求位移，变形图如图（含 A、B、D、F、H、E、G、C 及其位移后位置 A₁、E₁、D₁、G₁、C₁）。
例3 结构如图，AC、BD 的直径分别为 d₁ = 25 mm、d₂ = 18 mm，已知材料的 [σ] = 170 MPa，E = 210 GPa，AE 可视为刚杆，试校核各杆的强度，求 A、B 点的位移 ΔA 和 ΔB。
(2) 求当 P 作用于 A 点时 F 点的位移 ΔF′，ΔF′ = ΔA 是普遍规律，称为位移互等定理。
已知：P = 100 kN，尺寸 1.5 m、3 m、2.5 m。解：① 求内力，受力分析如图。
② 校核强度；③ 求变形及位移。
④ 求当 P 作用于 A 点时 F 点的位移 ΔF′。
几何：P = 100 kN，1.5 m、3 m、2.5 m，A、F、B、C、D 各点位置如图。
本章结束
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