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第1页：平面图形的几何性质章节封面

材料力学　第五章　平面图形的几何性质

第2页：本章内容目录

第五章 平面图形的几何性质

• §5-1 静矩和形心
• §5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径
• §5-3 平行移轴公式
• §5-4 转轴公式·主惯性轴·主惯性矩

第3页：面积静矩的定义

§5-1 静矩和形心

一、面积（对轴）矩（静矩）

与力矩类似，是面积与它到轴的距离之积，用 S 表示，量纲为 L³。微面积 dA 对 X 轴的静矩、对 Y 轴的静矩分别定义。

如 S = 0，则轴过形心。

第4页：组合截面的静矩与形心

二、组合截面的静矩与形心：整个图形对某轴的静矩，等于图形各部分对同轴静矩的代数和（由静矩定义可知）。

由此可得组合截面形心坐标的计算式。

第5页：例1 正面积法求形心

例1 试确定下图的形心坐标。

解：1、用正面积法求解，图形分割及坐标如图（a）：尺寸 80、120、10；C₁(0, 0)，C₂(–35, 60)。

第6页：例1 负面积法求形心

2、用负面积法求解，图形分割及坐标如图（b）：C₁(0, 0)，C₂(5, 5)，其中一块取负面积。

验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60。

第7页：极惯性矩与惯性矩

§5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径

一、极惯性矩

面积对极点的二次矩，I_p = ∫ρ² dA，量纲 L⁴。

二、惯性矩

面积与它到轴距离平方之积：I_x = ∫y² dA，I_y = ∫x² dA，量纲 L⁴。

第8页：惯性积与惯性半径

三、惯性积

面积与其到两轴距离之积：I_xy = ∫xy dA，量纲 L⁴；如果 x 或 y 是对称轴，则 I_xy = 0。

四、惯性半径

i_x = √(I_x/A)，i_y = √(I_y/A)。

第9页：平行移轴定理

§5-3 平行移轴公式

一、平行移轴定理：以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴（形心 C 与原点的距离为 a、b）。

注意：C 点必须为形心。

第10页：平行移轴公式的说明

图形对某坐标轴的惯性矩，等于它对过形心且平行于该轴的坐标轴之惯性矩，加上图形面积与两轴距离平方的乘积。

同理可得另一方向的平行移轴公式。

第11页：例2 圆对切线的惯性矩

例2 求图示圆对其切线 AB 的惯性矩。

解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。建立形心坐标如图，先求图形对形心轴的惯性矩。

第12页：组合截面的惯性矩

二、组合截面的惯性矩：组合截面对某坐标轴的惯性矩（积），等于其中各部分对同一坐标轴惯性矩（积）之和。

第13页：惯性矩与惯性积的转轴定理

§5-4 转轴公式·主惯性轴·主惯性矩

一、惯性矩和惯性积的转轴定理：坐标轴 x、y 旋转 α 角至 x₁、y₁，惯性矩与惯性积随之变换。

第14页：转轴公式配图

本页源文件未提取到可排版文字，仅有图片，内容为转轴公式推导示意。建议对照原课件图片补充要点说明。

第15页：主惯性轴与主惯性矩

二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩

1、主惯性轴和主惯性矩

如坐标旋转到 α = α₀ 时恰好使惯性积为零，则与 α₀ 对应的旋转轴 x₀、y₀ 称为主惯性轴，即平面图形对其惯性积为零的一对坐标轴；平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。

第16页：形心主轴与形心主惯性矩

2、形心主轴和形心主惯性矩

主惯性轴过形心时称为形心主轴；平面图形对形心主轴之惯性矩称为形心主惯性矩。

• 若平面图形有两个对称轴，此二轴均为形心主轴；
• 若平面图形有一个对称轴，则该轴为一形心主轴，另一形心主轴过形心且与该轴垂直。

第17页：形心主惯性矩的求法步骤

3、求截面形心主惯性矩的方法：

1. ① 建立坐标系；
2. ② 计算面积和面积矩；
3. ③ 求形心位置；
4. ④ 建立形心坐标系，求 I_yC、I_xC、I_xCyC；
5. ⑤ 求形心主轴方向 α₀；
6. ⑥ 求形心主惯性矩。

第18页：例3 矩形挖圆的形心主轴

例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴（b = 1.5d）。

解：① 建立坐标系如图；② 求形心位置；③ 建立形心坐标系，求 I_yC、I_xC、I_xCyC。

几何尺寸：d、b、2d。

第19页：例3 形心主惯性矩计算

几何尺寸：d、b、2d，形心 C 与形心坐标系 x_C、y_C、x₁ 如图。

按转轴公式求 α₀ 与形心主惯性矩。

第20页：本章结束

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