12 第十二章 超静定结构.pptx

第1页：超静定结构章节封面

材料力学　第十二章　超静定结构

第2页：本章内容目录

第十二章 超静定结构

• §12-1 超静定结构概述
• §12-2 弯曲超静定问题
• §12-3 用力法解超静定结构
• §12-4 连续梁与三弯矩方程

第3页：超静定结构的概念

§12-1 超静定结构概述

超静定结构

用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为超静定结构或系统。

多余约束

超过维持静力学平衡所必需的约束称为多余约束，与之对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的超静定次数。

第4页：超静定问题的分类与分析方法

超静定问题分类：

• 第一类：仅在结构外部存在多余约束，支反力静不定，称外力超静定系统；
• 第二类：仅在结构内部存在多余约束，内力静不定，称内力超静定系统；
• 第三类：结构外部和内部均存在多余约束，支反力和内力均超静定。

分析方法：1、力法——以未知力为基本未知量；2、位移法——以未知位移为基本未知量。

第5页：三类超静定结构示意

第一类、第二类、第三类超静定结构示意。

第6页：弯曲超静定问题的处理方法

§12-2 弯曲超静定问题

1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。

解：① 建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构称为静定基。已知 q₀、L。

第7页：弯曲超静定的求解步骤

② 几何方程——变形协调方程；③ 物理方程——变形与力的关系；④ 补充方程；⑤ 求解其它问题（反力、应力、变形等）。

第8页：例6 求B点反力

例6 结构如图，求 B 点反力。

解：① 建立静定基；② 几何方程——变形协调方程。已知 q₀、L，B、C 点位置。

第9页：例6 补充方程与求解

③ 物理方程——变形与力的关系；④ 补充方程；⑤ 求解其它问题（反力、应力、变形等）。

第10页：例1 力法求支座反力

§12-3 用力法解超静定结构　一、力法的基本思路（举例说明）

例1 如图所示，梁 EI 为常数，试求支座反力、作弯矩图，并求梁中点的挠度。

解：① 判定多余约束反力的数目（一个）；② 选取并去除多余约束，代以多余约束反力 X₁，列出变形协调方程。

第11页：例1 变形协调方程与系数

③ 变形协调方程：用能量法计算 δ₁₁ 与 Δ₁_P，由莫尔定理可得（图 c、d、e）。

第12页：例1 反力、弯矩图与挠度

④ 求多余约束反力：将上述结果代入变形协调方程得；⑤ 求其它约束反力，由平衡方程求得 A 端反力；⑥ 作弯矩图；⑦ 求梁中点的挠度。

第13页：基本静定系的选取

选取基本静定系作为计算对象，单位载荷如图（h）。用莫尔定理可得相应位移。

注意：对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同；本题中若选固定端处的转动约束为多余约束，基本静定系为简支梁。

第14页：力法正则方程

二、力法正则方程：上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成标准形式 δ₁₁X₁ + Δ₁_P = 0。

• X₁——多余未知量；
• δ₁₁——在基本静定系上 X₁ 取单位值时引起的在 X₁ 作用点沿 X₁ 方向的位移；
• Δ₁_P——在基本静定系上由原载荷引起的在 X₁ 作用点沿 X₁ 方向的位移。

第15页：多次超静定的正则方程

对于有 n 个多余约束反力的超静定系统的正则方程如下（由位移互等定理知 δ_ij = δ_ji）。

• δ_ij：影响系数，表示在基本静定系上由 X_j 取单位值时引起的在 X_i 作用点沿 X_i 方向的位移；
• Δ_iP：自由项，表示在基本静定系上由原载荷引起的在 X_i 作用点沿 X_i 方向的位移。

第16页：例2 刚架的全部约束反力

例2 试求图示刚架的全部约束反力，刚架 EI 为常数。

解：① 刚架有两个多余约束；② 选取并去除多余约束，代以多余约束反力 X₁、X₂；③ 建立力法正则方程；④ 计算系数 δ_ij 和自由项 Δ_iP（用莫尔定理求得）。已知 q、a。

第17页：例2 莫尔积分计算

莫尔积分计算：按 x₁、x₂ 分段积分求 δ_ij 与 Δ_iP。

第18页：例2 求全部支反力

⑤ 求多余约束反力：将上述结果代入力法正则方程可得；⑥ 求其它支反力，由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。

第19页：对称与反对称性质

三、对称与反对称性质的利用：结构几何尺寸、形状、构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。

• 当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形；
• 若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。

第20页：对称性的应用规则

正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，大大简化计算过程：

• 对称变形：对称截面上反对称内力为零或已知；
• 反对称变形：反对称截面上对称内力为零或已知。

第21页：例3 反对称载荷刚架

例3 试求图示刚架的全部约束反力，刚架 EI 为常数。

解：图示刚架有三个多余未知力，但由于结构对称而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。用莫尔定理求 Δ₁_P 和 δ₁₁。已知 P、a。

第22页：例3 支反力结果

则由平衡方程求得：R_A、H_A、M_A、R_B、H_B、M_B。

第23页：连续梁与超静定次数

§12-4 连续梁与三弯矩方程

为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座，这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是多余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。

第24页：三弯矩方程的思路

二、三弯矩方程：如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩 M₁、M₂、… 作为多余约束力，每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其对应的位移是两侧截面的相对转角。

第25页：变形协调条件

如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度 l_n、l_n+1，由于是连续梁，挠曲线在 n 支座处光滑连续，则变形协调条件为两侧截面相对转角之和为零（含 ω_n、ω_n+1、a_n、b_n+1）。

第26页：支座转角的求法

1、求 θ_n 左（可查表再用叠加法，也可用图乘法或莫尔积分）；2、求 θ_n 右。

第27页：三弯矩方程的形式

三弯矩方程：对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个三弯矩方程，方程数目恰好等于中间支座数目即超静定次数，且每个方程式中只含有三个多余约束力偶矩，使计算得以简化。如各跨截面相同（I_n = I_n+1），则三弯矩方程可简化。

第28页：例4 用三弯矩方程作弯矩图

例4 试用三弯矩方程作等刚度连续梁 AC 的弯矩图。

解：AC 梁总共有二跨，跨长 l₁ = l₂ = l，中间支座编号应取为 1，即 n = 1；由于已知 0、2 两支座上无弯矩。已知 q、P = ql、l/2。

第29页：例4 系数与求解

由图（c）和（d）图得 ω₁、ω₂，代入三弯矩方程可得 M_B，解得方向与图（b）所示相反。

第30页：例4 弯矩图叠加

将图（d）中的单位弯矩图乘以 M_B 便得到 M_B 在简支梁上产生的 M 图，再与载荷引起的 M 图（c）相加，就得到梁 AC 的弯矩图，见图（e）。

第31页：本章结束

本章结束