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本课件讲解弯曲内力：先建立梁的计算简图与支座、载荷简化，以截面法求剪力与弯矩并规定正负号，继而绘制剪力图与弯矩图，再由微分关系引出简易作图法，最后介绍叠加原理作图、对称性应用与平面刚架曲杆的内力。
材料力学 第六章 弯曲内力
第六章 弯曲内力
§6-1 引言
5、工程实例
本页源文件未提取到可排版文字，仅有图片，内容为受弯构件工程实例。建议对照原课件图片补充要点说明。
6、平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
对称弯曲（如下图）——平面弯曲的特例：纵向对称面内作用 P₁、P₂、q。
对称弯曲——若梁具有纵向对称面，当所有外力（包括支反力、力偶）都作用在梁的纵向对称面内时，这种弯曲称为对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
二、梁的计算简图：梁的支承条件与载荷情况一般比较复杂，为便于分析计算应进行必要的简化，抽象出计算简图。
4、梁的三种基本形式：① 简支梁（M 为集中力偶，q(x) 为分布力）；② 悬臂梁。
[例1] 贮液罐如图示，罐长 L = 5 m，内径 D = 1 m，壁厚 t = 10 mm，钢的密度为 7.8 g/cm³，液体的密度为 1 g/cm³，液面高 0.8 m，外伸端长 1 m，试求贮液罐的计算简图。
解：q 为均布力（自重与液重折算）。
q — 均布力：由罐体自重与液体重量折算得到的分布载荷集度及计算简图。
§6-2 剪力和弯矩
一、弯曲内力：[例] 已知 P、a、l，求距 A 端 x 处截面上的内力。
解：① 求外力（YA、XA、RB）；② 求内力——截面法。
弯曲构件内力有剪力 Q 与弯矩 M：
由分离体平衡得 Q、M。
3、内力的正负规定：
[例2] 求图（a）所示梁 1—1、2—2 截面处的内力。
解：截面法求内力。1—1 截面处截取的分离体如图（b）所示，含 Q₁、M₁、qL，坐标为 x₁。
已知：q、L、a、b。
2—2 截面处截取的分离体如图（c）所示，含 Q₂、M₂、qL，坐标为 x₂。
已知：q、L、a、b。
§6-3 剪力图和弯矩图
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
解：① 求支反力；② 写出内力方程；③ 根据方程画内力图。
结果为 Q(x) = P，M(x) = –P(L – x)，端部弯矩为 –PL。
解：① 写出内力方程；② 根据方程画内力图。
结果为 Q(x) = –qx，M(x) = –qx²/2，固定端剪力 –qL。
解：① 求支反力 RA、RB；② 内力方程；③ 根据方程画内力图。
Q(x) 为斜直线，M(x) 为抛物线。
§6-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系：对 dx 段进行平衡分析，有 dQ(x)/dx = q(x)。
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小：dM(x)/dx = Q(x)。
弯矩与荷载集度的关系为 d²M(x)/dx² = q(x)（略去二阶微量）。
二、剪力、弯矩与外力间的关系：
简易作图法：利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。特殊点：端点、分区点（外力变化点）和驻点等。已知 a、q、qa。
左端点：确定起始值；线形：根据 q 与集中载荷点规律确定；分区点 A；M 的驻点；右端点。
Q(x) = qa – qx，M 图对应 qa² 的特征值。
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解：求支反力 RA、RD；依次取左端点 A、B 点左、B 点右、C 点左、M 的驻点、C 点右、右端点 D。
Q 图值：qa/2、–qa/2；M 图值：qa²/2、3qa²/8。
§6-5 按叠加原理作弯矩图
适用条件：小变形，使所求参数（内力、应力、位移）与荷载满足线性关系，即在弹性限度内满足胡克定律。
步骤：① 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；② 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
[例6] 按叠加原理作弯矩图（AB = 2a，力 P 作用在梁 AB 的中点处）。
分别作出 q 单独作用的 M₁ 图与 P 单独作用的 M₂ 图，再叠加。
三、对称性与反对称性的应用：
[例7] 作下列图示梁的内力图。
已知 P、L，各跨布置如图。Q 图各段值：0.5P、–0.5P 等。
M 图各控制点值：0.5PL、PL 等，由 Q 图积分得到。
[例8] 改内力图之错。
已知 a、2a、q，正确 Q 图控制值：qa/4、3qa/4、7qa/4；M 图控制值：qa²/4、49qa²/32、23qa²/25、qa²/4。
[例9] 已知 Q 图，求外载及 M 图（梁上无集中力偶）。
Q 图值：3、1、5 kN、1 kN；跨段：1 m、1 m、2 m、2 m；q = 2 kN/m；M 图控制值 11.25 kN·m。
§6-6 平面刚架和曲杆的弯曲内力
[例10] 试作图示刚架的内力图。
已知 P₁、P₂、a、l，A、B、C 各点；N 图含 P₂，Q 图含 P₁，M 图控制值 P₁a、P₁a + P₂l。
二、曲杆：轴线为曲线的杆件，内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例11] 已知 P 及 R，试绘制 Q、M、N 图。解：建立极坐标，O 为极点，OB 为极轴，θ 表示截面 m–m 的位置。
M 图、Q 图、N 图如图：控制值含 2PR、P 等。
弯曲内力习题课
二、简易作图法：利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
剪力、弯矩与分布荷载间的关系：dQ/dx = q(x)，dM/dx = Q(x)。
三、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
四、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下 Q 图反对称、M 图对称；在反对称载荷作用下 Q 图对称、M 图反对称。
二、剪力、弯矩与外力间的关系：无外力段 Q 图为水平直线、M 图为斜直线；均布载荷段 Q 图为斜直线、M 图为曲线；集中力处 Q 图突变 Q₁ – Q₂ = P、M 图折角；集中力偶处 Q 图无变化、M 图突变。
[例] 绘制下列图示梁的弯矩图。（1）已知 2P、a、P，由 M₁ 图与 M₂ 图叠加，控制值 2Pa。
（2）已知 a、q，由 M₁、M₂、M₃ 图叠加，控制值 3qa²/2、qa²/2、qa²。
（3）已知 P、a、PL/2，由 M₁、M₂ 图叠加，控制值 PL/2、PL/4。
第六章结束
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