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第1页：弯曲变形章节封面

材料力学　第八章　弯曲变形

第2页：本章内容目录

第八章 弯曲变形

• §8-1 梁的挠度和转角
• §8-2 挠曲线近似微分方程
• §8-3 积分法求弯曲变形
• §8-4 叠加法求弯曲变形
• §8-5 梁的刚度校核·提高梁弯曲刚度的措施
• 简单静不定梁

第3页：研究范围与目的

§8-1 梁的挠度和转角

研究范围

等直梁在对称弯曲时位移的计算。

研究目的

① 对梁作刚度校核；② 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。

第4页：挠度、转角与挠曲线

一、度量梁变形的两个基本位移量

1、挠度

横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，用 w 表示，与 y 同向为正，反之为负。

2、转角

横截面绕其中性轴转动的角度，用 θ 表示，逆时针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线，其方程为 w = f(x)。三、转角与挠曲线的关系：θ ≈ dw/dx（小变形）。

第5页：挠曲线近似微分方程

§8-2 挠曲线近似微分方程

挠曲线曲率 1/ρ = M(x) / (EI)，小变形下 w″ ≈ 1/ρ，故 EI·w″ = M(x)，即挠曲线近似微分方程。

讨论 M > 0 与 M < 0 时挠曲线的凹凸方向。

第6页：等截面直梁的微分方程形式

对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：EI·w″ = M(x)（EI 为常数）。

第7页：积分法求弯曲变形

§8-3 积分法求弯曲变形

1、微分方程的积分：对 EI·w″ = M(x) 积分得 θ 方程与 w 方程，C₁、C₂ 为积分常数，据边界条件确定。

第8页：位移边界条件与连续条件

2、位移边界条件：

• ① 支点位移条件（如 A、B、C 支座处 w = 0）；
• ② 连续光滑条件（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）。

第9页：积分法的适用范围与优缺点

讨论：① 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲；② 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移；③ 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定；④ 优点是使用范围广、直接求出较精确，缺点是计算较繁。

第10页：例1 悬臂梁挠曲线

例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

解：① 建立坐标系并写出弯矩方程；② 写出微分方程的积分并积分；③ 应用位移边界条件求积分常数。已知 P、L。

第11页：例1 弹性曲线与最大值

④ 写出弹性曲线方程并画出曲线；⑤ 最大挠度及最大转角：端部取值最大。

第12页：例1 第二小题弯矩方程

解：① 建立坐标系并写出弯矩方程；② 写出微分方程的积分并积分。已知 P、L、a。

第13页：例1 第二小题积分常数

③ 应用位移边界条件求积分常数（固定端处 w = 0、θ = 0）。

第14页：例1 第二小题结果

④ 写出弹性曲线方程并画出曲线；⑤ 最大挠度及最大转角。

第15页：叠加法求弯曲变形

§8-4 叠加法求弯曲变形

一、载荷叠加

多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。

二、结构形式叠加（逐段刚化法）

前提：小变形、线弹性，使梁的挠度、转角均与载荷成线性关系。

第16页：例2 叠加法求转角与挠度

例2 按叠加原理求 A 点转角和 C 点挠度。

解：① 载荷分解如图；② 由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。已知 q、P、a。

第17页：例2 叠加结果

③ 叠加：θ_A 与 w_C 由两部分结果相加。

第18页：例3 分布载荷的叠加积分

例3 按叠加原理求 C 点挠度。

解：① 载荷无限分解如图；② 由梁的简单载荷变形表查引起 C 点挠度的算式；③ 叠加（积分）。已知 q₀、0.5L、x、dx、b。

第19页：例4 逐段刚化法

例4 结构形式叠加（逐段刚化法）原理说明。

将原结构分解为刚化 AC 段与刚化 BC 段两种情形，分别求 f₁、f₂ 后叠加。已知 P、L₁、L₂。

第20页：梁的刚度条件

§8-5 梁的刚度校核·提高梁弯曲刚度的措施

一、梁的刚度条件：w_max ≤ [w]，θ_max ≤ [θ]，其中 [θ] 称为许用转角，[w] 称为许用挠度，由具体工作条件确定，可查手册。

通常依此条件进行三种刚度计算：① 校核刚度；② 设计截面尺寸；③ 设计载荷。（对于一般工程结构，强度常处于主要地位，特殊构件例外）

第21页：例5 空心圆杆刚度校核

例5 下图为一空心圆杆，内外径分别为 d = 40 mm、D = 80 mm，杆的 E = 210 GPa，工程规定 C 点的 [f] = 0.00001 m，B 点的 [θ] = 0.001 弧度，试校核此杆的刚度。

已知：P₁ = 1 kN，P₂ = 2 kN，L = 400 mm，a = 0.1 m，200 mm。

第22页：例5 结构变换与查表

解：① 结构变换，查表求简单载荷变形（图 1、图 2、图 3）。

第23页：例5 复杂载荷下的变形叠加

② 叠加求复杂载荷下的变形：将图 1、图 2、图 3 的结果相加。

第24页：例5 刚度校核结论

③ 校核刚度：将 C 点挠度与 [f]、B 点转角与 [θ] 比较得出结论。

第25页：强度刚度稳定性与截面性质

二、提高梁弯曲刚度的主要措施：强度（正应力、剪应力）、刚度、稳定性都与内力和截面性质有关。

第26页：矩形木梁的合理高宽比

（一）选择梁的合理截面：矩形木梁的合理高宽比——北宋李诫于 1100 年著《营造法式》一书中指出矩形木梁的合理高宽比；英国 T. Young 于 1807 年著《自然哲学与机械技术讲义》一书中亦指出其合理高宽比。

第27页：抗弯模量大的截面

一般的合理截面：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面。

比较对象：直径 D 的圆截面、边长 a 的方形截面。

第28页：空心与实心截面比较

截面比较：外径 D、内径 0.8D 的空心圆与边长 a₁、2a₁ 的矩形截面，比较抗弯截面模量。

第29页：工字形与框形截面

工字形截面与框形截面类似，材料集中于上下翼缘时抗弯性能最优。尺寸关系：0.8a₂、a₂、1.6a₂、2a₂。

第30页：按材料特性与变截面

2、根据材料特性选择截面形状：如铸铁类材料，常用 T 字形类的截面。

（二）采用变截面梁：最好是等强度梁，即各截面最大应力相等；若为等强度矩形截面，则高度沿梁长变化。

第31页：合理布置外力与支座

（三）合理布置外力（包括支座），使 M_max 尽可能小。

• 简支梁跨中集中力：M_max = PL/4；
• 载荷偏向布置：M_max = 3PL/16；
• P = qL 时对称布置：M_max = qL²/10。

第32页：布置方式对弯矩的影响

不同布置下的 M 图对比：qL/5、qL/2 等布置方式的最大弯矩差异明显，合理布置可显著降低 M_max。

第33页：矩形纯弯梁的侧向屈曲

（四）梁的侧向屈曲：1、矩形纯弯梁的临界载荷。梁在 M 作用下可能发生侧向失稳（x、y、z 方向）。

第34页：工字形截面侧向屈曲

2、工字钢形截面纯弯梁的临界载荷。

由上可见，I_y 过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。

第35页：选用高强度材料的效果

（五）选用高强度材料，提高许用应力值：同类材料 E 值相差不多而 σ_jx 相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性；不同类材料 E 和 G 相差很多（钢 E = 200 GPa，铜 E = 100 GPa），故选用不同材料可提高刚度和稳定性，但原料费用也会随之发生很大改变。

第36页：简单静不定梁的处理方法

简单静不定梁

1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。

解：① 建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构称为静定基。已知 q₀、L。

第37页：静不定梁的求解步骤

② 几何方程——变形协调方程；③ 物理方程——变形与力的关系；④ 补充方程；⑤ 求解其它问题（反力、应力、变形等）。

第38页：例6 求B点反力

例6 结构如图，求 B 点反力。

解：① 建立静定基；② 几何方程——变形协调方程。已知 q₀、L，B、C 点位置。

第39页：例6 补充方程与求解

③ 物理方程——变形与力的关系；④ 补充方程；⑤ 求解其它问题（反力、应力、变形等）。

第40页：本章结束

本章结束