09 第九章 应力状态与强度理论.pptx

第1页：应力状态与强度理论章节封面

材料力学　第九章　应力状态与强度理论

第2页：本章内容目录

第九章 应力状态与强度理论

• §9-1 引言
• §9-2 二向应力状态分析——解析法
• §9-3 二向应力状态分析——图解法
• §9-4 三向应力状态简介
• §9-5 广义虎克定律
• §9-6 复杂应力状态的应变能密度
• §9-7 四种常用的强度理论
• §9-8 莫尔强度理论

第3页：引言：破坏现象的提出

§9-1 引言

• 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
• 2、组合变形杆将怎样破坏？

第4页：一点应力状态与单元体

二、一点的应力状态

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。

三、单元体

构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用正六面体。性质：a、各侧面上应力均布；b、平行面上应力相等、方向相反。

四、普遍状态下的应力表示：σ_x、σ_y、σ_z、τ_xy。

第5页：切应力互等定理

五、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress）：过一点的两个正交面上，如果有与相交边垂直的切应力分量，则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。

第6页：例1 画已知单元体

五、原始单元体（已知单元体）：例1 画出下列图中的 A、B、C 点的已知单元体。

含 σ_x、τ_xz、τ_xy、τ_yx 等分量，构件受 P 与 M 作用。

第7页：主单元体、主平面与主应力

六、主单元体、主面、主应力：

• ① 主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体；
• ② 主平面：切应力为零的截面；
• ③ 主应力：主平面上的正应力；
• ④ 主应力排列规定：按代数值大小排列 σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃。

第8页：单向、二向与三向应力状态

• ⑤ 单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态；
• ⑥ 二向应力状态（平面应力状态）：一个主应力为零的应力状态；
• ⑦ 三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态。

第9页：二向应力状态分析

§9-2 二向应力状态分析——解析法

已知单元体 σ_x、σ_y、τ_xy，求任意斜截面上的应力。

第10页：斜截面应力的符号规定

一、任意斜截面上的应力。规定：① σ_α 与截面外法线同向为正；② τ_α 绕研究对象顺时针转为正；③ α 逆时针为正。

已知：① σ_x、σ_y 拉正压负；② τ_xy 绕研究对象顺时针转为正。设斜截面面积为 S，则两分量面积为 S·cosα、S·sinα。

第11页：斜截面应力的平衡方程

由分离体平衡得：考虑切应力互等和三角变换，整理斜截面应力表达式。

第12页：任意斜截面应力公式

得任意斜截面应力 σ_α、τ_α 的计算式：随 α 而变。

σ_α =（σ_x + σ_y)/2 +（σ_x – σ_y)/2·cos2α – τ_xy sin2α

τ_α =（σ_x – σ_y)/2·sin2α + τ_xy cos2α

第13页：极值应力与主平面方位

二、极值应力：σ_α 随 α 而变。主平面法线与 X 轴夹角可求出相差 90° 的两个 α₀，定出两个互相垂直平面，分别对应最大、最小主应力。

第14页：主应力与极值切应力公式

主应力：σ_max/min =（σ_x + σ_y)/2 ± √[（（σ_x – σ_y)/2)² + τ_xy²]。

σ₁′（σ_max）在切应力相对的象限内，且偏向于 σ_x 及 σ_y 大的一侧；极值切应力所在面的法线与 X 轴夹角由 tan2α = –（σ_x – σ_y)/(2τ_xy) 确定。

第15页：例2 受扭构件的破坏规律

例2 分析受扭构件的破坏规律。

解：① 确定危险点并画其原始单元体（含 τ_xy、τ_yx）；② 求极值应力。

第16页：例2 破坏分析

③ 破坏分析：低碳钢沿横截面剪断（塑性材料由切应力控制），铸铁沿 45° 螺旋面拉断（脆性材料由拉应力控制）。

第17页：应力圆的方程

§9-3 二向应力状态分析——图解法

一、应力圆（Stress Circle）：对上述方程消去参数 2α 得圆方程，此方程曲线为圆，称为应力圆（或莫尔圆）。

第18页：应力圆的画法

二、应力圆的画法：

1. ① 建立应力坐标系（注意选好比例尺）；
2. ② 在坐标系内画出点 A(σ_x, τ_xy) 和 B(σ_y, τ_yx)；
3. ③ AB 与 σ 轴的交点 C 便是圆心；
4. ④ 以 C 为圆心、AC 为半径画圆，即应力圆。

第19页：单元体与应力圆的对应关系

三、单元体与应力圆的对应关系：

• ① α 面上的应力（σ_α, τ_α）对应应力圆上一点；
• ② α 面的法线对应应力圆的半径；
• ③ 两面夹角 α 对应两半径夹角 2α，且转向一致。

即点面对应、转向相同、转角二倍。

第20页：应力圆上的极值应力

四、在应力圆上标出极值应力：由圆心 C 与半径可直接读出 σ₁、σ₂、σ₃ 及对应主平面转角 2α₀、2α₁。

第21页：例3 图解法求主应力

例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置（单位：MPa）。

解：① 主应力坐标系如图；② 在坐标系内画出点；③ AB 的垂直平分线与 σ 轴的交点 C 便是圆心，以 C 为圆心、AC 为半径画应力圆。已知 20 MPa。

第22页：例3 主应力与主平面结果

④ 主应力及主平面如图：σ₁、σ₂ 及 α₀ 由应力圆读出。

第23页：例3 解析法求解

解法 2——解析法：分析并建立坐标系如图（含 60° 方位）。

第24页：梁的主应力

五、梁的主应力及主应力迹线：如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上 M、Q > 0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。

截取 1~5 各点的单元体分析。

第25页：梁各点主应力方向

各点主应力方向：1 点 σ₁、σ₃；2 点 α₀；3 点 α₀ = –45°；4 点；5 点。由应力圆 D₁、D₂、A₁、A₂ 等点确定，2α₀ = –90°。

第26页：主应力迹线

主应力迹线（Stress Trajectories）

实线表示拉主应力迹线，虚线表示压主应力迹线；主应力方向线的包络线上每一点的切线都指示着该点的拉（压）主应力方位，两组曲线正交。

第27页：主应力迹线的画法

主应力迹线的画法：在 1-1、2-2、3-3、4-4、i-i、n-n 各截面上取点 a、b、c、d，按 σ₁、σ₃ 方向连线成迹线。

第28页：空间应力状态

§9-4 三向应力状态简介

1、空间应力状态：单元体上 σ₁、σ₂、σ₃ 三个主应力均不为零。

第29页：三向应力分析与最大切应力

2、三向应力分析：① 弹性理论证明，单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着三向应力圆上或阴影区内的一点；② 整个单元体内的最大切应力为 τ_max =（σ₁ – σ₃)/2。

第30页：例4 三向应力状态求解

例4 求图示单元体的主应力和最大切应力（MPa）。

解：① 由单元体图知 yz 面为主面；② 建立应力坐标系，画应力圆和点 σ₁′。已知 50、40、30、10 MPa。

第31页：平面应变分析的叠加法

§7-6 平面应变分析

一、叠加法求应变分析公式：已知构件任一点处应变 ε_x、ε_y、γ_xy（正应变拉正压负，剪应变直角增大为正）。将坐标系转 α 角得到新的 X′OY′ 坐标，求 ε_α 与 γ_α。因小变形、线弹性，可分别算出各分量单独存在时的应变再叠加。

第32页：应变分析几何图（一）

应变分析几何关系：微元 abcd 转 α 角后，A、B、D、E 各点位移与 α 的关系如图。

第33页：应变分析几何图（二）

由 ε_x 单独存在时的变形几何：D 至 D₂、E 至 E₂ 的位移关系。

第34页：应变分析几何图（三）

由 γ_xy 单独存在时的变形几何：D 至 D₃、E 至 E₃ 的位移关系。

第35页：应变分析配图

本页源文件未提取到可排版文字，仅有图片，内容为应变分析几何关系汇总。建议对照原课件图片补充要点说明。

第36页：应变圆的画法

二、应变分析图解法——应变圆（Strain Circle）：1、应变圆与应力圆的类比关系；2、已知一点 A 的应变画应变圆：

1. ① 建立应变坐标系；② 画出点 A(ε_x, γ_xy/2) 与 B(ε_y, –γ_yx/2)；③ AB 与 ε 轴的交点 C 为圆心；④ 以 C 为圆心、AC 为半径画应变圆。

第37页：应变与应变圆的对应关系

三、α 方向上的应变与应变圆的对应关系：① α 方向上的应变（ε_α, γ_α/2）对应应变圆上一点；② α 方向线对应应变圆的半径；③ 两方向间夹角 α 对应两半径夹角 2α，且转向一致。

第38页：主应变数值与方位

四、主应变数值及其方位：由应变圆与 ε 轴的交点读出 ε_max、ε_min，主应变方位由 2α₀ 确定。

第39页：例5 由三个方向应变求主应变

例5 已知一点在某一平面内的 α₁、α₂、α₃ 方向上的应变 ε_α1、ε_α2、ε_α3 三个线应变，求该面内的主应变。

解：由 i = 1, 2, 3 这三个方程求出 ε_x、ε_y、γ_xy，然后再求主应变（剪应变不易测）。

第40页：例6 45度应变花

例6 用 45° 应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。

由 x、y 与 45° 方向的应变确定 ε_x、ε_y、γ_xy，再求主应变 ε_max 与方位 α₀。

第41页：单向与纯剪的应力应变关系

§9-5 广义虎克定律

• 一、单拉下的应力—应变关系：ε_x = σ_x/E，横向应变 ε′ = –με_x；
• 二、纯剪的应力—应变关系：γ_xy = τ_xy/G。

第42页：复杂状态下的应力应变关系

三、复杂状态下的应力—应变关系：依叠加原理得含 σ_x、σ_y、σ_z、τ_xy 的广义虎克定律表达式。

第43页：平面状态与主应力主应变关系

四、平面状态下的应力—应变关系；主应力与主应变关系：主应力 σ₁、σ₂、σ₃ 与主应变方向一致。

第44页：主应力与主应变方向

主应力与主应变方向一致（各向同性材料）。

第45页：体积应变

五、体积应变与应力分量间的关系：体积应变 θ =（σ₁ + σ₂ + σ₃)(1 – 2μ)/E，由 a₁、a₂、a₃ 三边微元导出。

第46页：例7 由主应变求主应力

例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为 ε₁ = 240×10⁻⁶，ε₂ = –160×10⁻⁶，弹性模量 E = 210 GPa，泊松比 μ = 0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。

所以，该点处为平面应力状态。

第47页：例7 另一主应变结果

由体积应变关系得 ε₃ = –342.9×10⁻⁶。

第48页：例8 薄壁容器内压测量

例8 图 a 所示为承受内压的薄壁容器，为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 ε_t = 350×10⁻⁶，已知容器平均直径 D = 500 mm，壁厚 δ = 10 mm，材料 E = 210 GPa，μ = 0.25，试求：1、导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2、计算容器所受的内压力。

第49页：例8 轴向应力

解：1、轴向应力（longitudinal stress）：用横截面将容器截开，受力如图 b 所示，根据平衡方程得 σ_m = pD / (4δ)。

第50页：例8 环向应力与内压

2、环向应力（hoop stress）：用纵截面将容器截开，受力如图 c 所示，得 σ_t = pD / (2δ)。

3、求内压：以应力应变关系由测得的环向应变反求 p。

第51页：应变能密度的分解

§9-6 复杂应力状态的应变能密度

将应力状态分解为平均应力 σ_m（图 b）与偏应力（σ₁–σ_m、σ₂–σ_m、σ₃–σ_m，图 c）两部分。

第52页：体积改变比能与形状改变比能

由平均应力部分对应的应变能密度称为体积改变比能；由偏应力部分对应的应变能密度称为形状改变比能或歪形能。

第53页：例9 三个弹性常数关系

例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。

• ① 纯剪单元体的比能为：u = τ²/(2G)；
• ② 纯剪单元体比能的主应力表示为：u =（1+μ)(σ₁ – σ₃)²/(3E)。

由两者相等得 G = E / [2(1 + μ)]。

第54页：强度理论概述

§9-7 四种常用的强度理论

一、概述：（一）简单变形时强度条件的建立：确定破坏（极限）应力，得许用应力，建立相应的强度条件。

• 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象；
• 2、组合变形杆将怎样破坏？

第55页：强度理论的由来与破坏形式

（二）强度理论

是关于“构件发生强度失效起因”的假说：找到原因后，利用简单应力状态的实验结果建立复杂应力状态的强度条件。

（三）材料的破坏形式

① 屈服（多为塑性材料）；② 断裂（多为脆性材料）。

历史：伽利略播下第一强度理论的种子；马里奥特关于变形过大引起破坏的论述是第二强度理论的萌芽；杜奎特提出最大切应力理论；麦克斯威尔最早提出最大畸变能理论。

第56页：第一强度理论

二、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂破坏是由最大拉应力引起的，当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时构件就断了。

• 1、破坏判据：σ₁ = σ_b；
• 2、强度准则：σ₁ ≤ [σ]；
• 3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的承受拉应力的构件（一般是金属材料，如铸铁的单向拉、扭；不适用于单向、两向受压）。

第57页：第二强度理论

三、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂破坏是由最大伸长线应变引起的，当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时构件就断了。

• 1、破坏判据：ε₁ = ε_jx；
• 2、强度准则：σ₁ – μ(σ₂ + σ₃) ≤ [σ]；
• 3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件，同时考虑 σ₁、σ₂、σ₃，适用于脆性材料（一般非金属），不适用于两向拉、压。

第58页：第三强度理论

四、最大切应力（第三强度）理论：认为构件的屈服破坏是由最大切应力引起的，当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时构件就破坏。

• 1、破坏判据：τ_max = σ_s/2；
• 2、强度准则：σ₁ – σ₃ ≤ [σ]；
• 3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件，适用于塑性材料，应用广泛、形式简单、概念明确；缺点是忽略 σ₂ 的影响，偏于安全。

第59页：第四强度理论

五、形状改变比能理论（第四强度理论，畸变能密度理论）：认为构件的屈服破坏是由形状改变比能引起的。

• 1、破坏判据：形状改变比能达到单向拉伸屈服时的形状改变比能；
• 2、强度准则：√[σ₁² + σ₂² + σ₃² – σ₁σ₂ – σ₂σ₃ – σ₃σ₁] ≤ [σ]；
• 3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件，对塑性材料与试验结果相当接近，优于第三强度理论。

第60页：强度理论的选用原则

六、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。

• 1、脆性材料：当最小主应力 ≥ 0 时用第一理论；当最小主应力 < 0 而最大主应力 > 0 时用莫尔理论；当最大主应力 ≤ 0 时用第三或第四理论；
• 2、塑性材料：当最小主应力 ≥ 0 时用第一理论，其它应力状态用第三或第四理论；
• 3、简单变形时一律用与其对应的强度准则，如扭转；
• 4、破坏形式还与温度、变形速度等有关。

第61页：相当应力的统一形式

七、相当应力（强度准则的统一形式）：σ_r ≤ [σ]，其中 σ_r 为相当应力，四个理论分别对应不同的 σ_r 表达式。

第62页：例1 第一强度理论校核

例1 直径为 d = 0.1 m 的圆杆受力如图，T = 7 kN·m，P = 50 kN，为铸铁构件，[σ] = 40 MPa，试用第一强度理论校核杆的强度。

解：危险点 A 的应力状态如图（含 σ、τ），求得主应力后按 σ₁ ≤ [σ] 校核，故安全。

第63页：例2 第三强度理论校核

例2 薄壁圆筒受最大内压时，测得 ε_x = 1.88×10⁻⁴，ε_y = 7.37×10⁻⁴，已知钢的 E = 210 GPa，[σ] = 170 MPa，泊松比 μ = 0.3，试用第三强度理论校核其强度。

解：由广义虎克定律得主应力，按 σ₁ – σ₃ ≤ [σ] 校核，所以此容器不满足第三强度理论，不安全。

第64页：莫尔强度理论的基本思想

§9-8 莫尔强度理论

莫尔认为：最大切应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大切应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。

第65页：极限应力圆与极限曲线

一、两个概念：1、极限应力圆；2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope），可用近似包络线代替。

第66页：莫尔理论的破坏判据与强度准则

二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。

• 1、破坏判据：由 [σ_L]、[σ_y] 作出的极限应力圆与工作应力圆相切；
• 2、强度准则：σ₁ –（[σ_L]/[σ_y])σ₃ ≤ [σ_L]。

第67页：莫尔理论的相当应力与适用范围

三、相当应力（强度准则的统一形式）：σ_r = σ₁ –（[σ_L]/[σ_y])σ₃，其中 σ_r 为相当应力。

3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件，以及拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。

第68页：例3 莫尔理论求主应力

例3 一铸铁构件 σ_bL = 400 MPa，σ_by = 1200 MPa，一平面应力状态点按莫尔强度理论屈服时最大切应力为 450 MPa，试求该点的主应力值。

解：做莫尔理论分析图（含 O₁、O₂、O₃、M、K、L、P、N 各点）。

第69页：例3 联立求解

解上述联立方程得：σ₁ 与 σ₃ 的数值。

第70页：本章结束

本章结束