13 第十三章 压杆稳定.pptx

第1页：压杆稳定章节封面

材料力学　第十三章　压杆稳定

第2页：本章内容目录

第十三章 压杆稳定

• §13-1 引言
• §13-2 两端铰支细长压杆的临界压力
• §13-3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
• §13-4 欧拉公式的适用范围·经验公式
• §13-5 压杆的稳定校核及其合理截面

第3页：构件的承载能力

§13-1 引言

构件的承载能力：① 强度；② 刚度；③ 稳定性。工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。

第4页：受压构件实例

受压构件示意：杆件承受轴向压力 F。

第5页：不稳定平衡

一、稳定平衡与不稳定平衡：1、不稳定平衡。

第6页：稳定平衡

2、稳定平衡。

第7页：压杆失稳与临界状态

二、压杆失稳与临界压力：1、理想压杆：材料绝对理想、轴线绝对直、压力绝对沿轴线作用；2、压杆的稳定平衡与不稳定平衡，含临界状态。

第8页：临界压力的定义

3、压杆失稳；4、压杆的临界压力：稳定平衡与不稳定平衡之间的临界状态对应的压力，记为 F_cr。

第9页：两端铰支压杆的欧拉公式推导

§13-2 两端铰支细长压杆的临界压力

一、两端铰支细长压杆的临界压力：假定压力已达到临界值，杆已处于微弯状态，从挠曲线入手求临界力（L、EI 已知）。

• ① 弯矩：M = –Fw；
• ② 挠曲线近似微分方程：EIw″ = –Fw。

第10页：微分方程的解与积分常数

③ 微分方程的解；④ 确定积分常数：临界力 F_cr 是微弯下的最小压力，故只能取 n = 1，且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。

第11页：欧拉公式的应用条件

二、此公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；3、两端为球铰支座。

两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式：F_cr = π²EI / l²，挠曲线方程随之确定。

第12页：例1 由挠曲线方程导出临界力

例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力公式。

解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为……，边界条件为……（含 F、L、M₀）。

第13页：例1 临界力结果

为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取相应值，所以临界力为（长度系数 μ = 0.5）。

第14页：欧拉公式的一般形式与长度系数

§13-3 其他支座条件下细长压杆的临界压力

压杆临界力欧拉公式的一般形式：F_cr = π²EI / (μl)²，其中 μ 为长度系数（或约束系数），μl 为相当长度，即各种压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。

第15页：各种支承约束下的欧拉公式表

表：各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

• 两端铰支：μ = 1；
• 一端固定另端铰支：μ ≈ 0.7；
• 两端固定：μ = 0.5；
• 一端固定另端自由：μ = 2；
• 两端固定但可沿横向相对移动：μ = 1。

表中同时给出失稳时挠曲线形状与拐点位置（C、D 为挠曲线拐点）。

第16页：例2 绕两轴失稳的临界力

例2 求下列细长压杆的临界力。

解：① 绕 y 轴，两端铰支，μ = 1.0；② 绕 z 轴，左端固定、右端铰支，μ = 0.7；③ 压杆的临界力取两者中的较小值。已知 L₁、L₂，截面 h、b。

第17页：例3 角钢压杆的临界力

例3 求下列细长压杆的临界力（L = 0.5 m）。

解：图（a）、图（b）两种支承情况分别求解。已知截面 45×45×6 等边角钢，尺寸 50、10。

第18页：临界应力与柔度

§13-4 欧拉公式的适用范围·经验公式

一、基本概念：1、临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力；2、细长压杆的临界应力：σ_cr = π²E / λ²；3、柔度：λ = μl / i。

第19页：大柔度杆的分界与直线公式

4、大柔度杆的分界：对 A3 钢 λ₁ ≈ 100，对铸铁 λ₁ ≈ 80；对 A3 钢 λ₂ ≈ 61.6。

二、中小柔度杆的临界应力计算：1、直线型经验公式：① σ_P < σ < σ_S 时 σ_cr = a – bλ。

第20页：临界应力总图

② σ_S < σ 时取 σ_cr = σ_S；③ 临界应力总图（含 λ_P、λ₁、λ₂ 各分界点与欧拉双曲线段）。

第21页：抛物线型经验公式

2、抛物线型经验公式（我国建筑业常用）：① σ_P < σ < σ_S 时 σ_cr = a₁ – b₁λ²；② σ_S < σ 时取 σ_cr = σ_S。

第22页：例4 组合角钢压杆的临界压力

例4 一压杆长 L = 1.5 m，由两根 56×56×8 等边角钢组成，两端铰支，压力 F = 150 kN，角钢为 A3 钢，试用欧拉公式或直线公式求临界压力和安全系数。

解：一个角钢的几何性质，两根角钢图示组合之后计算柔度，所以应由直线公式求临界压力。

第23页：例4 安全系数

安全系数：n = F_cr / F。

第24页：压杆的稳定条件与安全系数

§13-5 压杆的稳定校核及其合理截面

一、压杆的稳定条件：压杆所承受的压力一定要小于临界压力，并要有一定的安全储备，n_st 为规定的稳定安全系数（一般高于强度安全系数）。

• 金属结构中压杆：n_st = 1.8 ~ 3.0；
• 机床丝杠中压杆：n_st = 2.5 ~ 4；
• 磨床油缸活塞杆：n_st = 4 ~ 6。

第25页：压杆的合理截面

二、压杆的合理截面：合理的压杆截面应使各方向柔度接近相等。

工程实例：保国寺大殿的拼柱形式，1056 年建，“双筒体”结构，塔身平面为八角形，经历了 1305 年的八级地震。

第26页：例7 组合槽钢立柱的临界压力

例7 图示立柱，L = 6 m，由两根 10 号槽钢组成，下端固定、上端为球铰支座，试问 a = ？时立柱的临界压力最大，值为多少？

解：对于单个 10 号槽钢，形心在 C₁ 点；两根槽钢图示组合之后计算组合截面的惯性矩（含 z₀、y₁、a）。

第27页：例7 求临界力

求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。

第28页：本章结束

本章结束