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本课件讲解弯曲应力：先由纯弯曲实验建立平面假设与中性层、中性轴概念并推导正应力公式，继而推出矩形及工字形、圆形等截面梁的切应力公式，随后给出正应力与切应力强度条件，最后讨论梁的合理截面与极限弯矩。
材料力学 第七章 弯曲应力
第七章 弯曲应力
§7-1 纯弯曲
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力：内力剪力 Q 对应切应力 τ；内力弯矩 M 对应正应力 σ。
2、研究方法：
某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲（Pure Bending）。如 AB 段：Q 图为 0，M 图为常值。
§7-2 纯弯曲时的正应力
（一）梁的纯弯曲实验：
2、推论：① 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处变形相等；② 纵向纤维间无挤压，只受轴向拉伸和压缩。
（二）几何方程：横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性层的距离成正比（中性轴上应变为零，一侧拉应变，一侧压应变）。
由微段 dθ、曲率半径 ρ 建立 ε = y/ρ。
（三）物理关系：假设纵向纤维互不挤压，于是任意一点均处于单向应力状态，σ = Eε。
（四）静力学关系：由横截面上正应力的合力与合力矩条件建立方程。
由静力学关系得：① 中性轴过形心（因 y 为对称轴，自动满足）；② 中性层曲率 1/ρ = M / (EIz)，其中 EIz 为杆的抗弯刚度。
（五）最大正应力：σ = M·y / Iz，最大正应力发生在距中性轴最远的边缘处，σmax = M / Wz。
截面示例：外径 D、内径 d、α = d/D，宽度 b、高度 h。
例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1—1 截面上 1、2 两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知 E = 200 GPa，求 1—1 截面的曲率半径。
解：① 画 M 图求截面弯矩。已知 q = 60 kN/m，跨段 1 m、2 m，截面尺寸 120、180。
② 求应力：由 M₁、Mmax 与截面几何量计算 1、2 点正应力及最大正应力。
已知 q = 60 kN/m，截面尺寸 120、180。
③ 求曲率半径：ρ = EIz / M₁，代入 E = 200 GPa 与截面惯性矩求得。
§7-3 梁横截面上的切应力
一、矩形截面梁横截面上的切应力
由切应力互等定理与微段平衡，得横力弯曲时横截面上切应力的计算公式。
τ = Q·Sz* / (Iz·b)
式中：Q 为所求切应力面上的剪力；Iz 为整个截面对中性轴的惯性矩；Sz* 为过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩；b 为所求应力点处截面宽度。
二、其它截面梁横截面上的切应力：研究方法与矩形截面相同，计算公式亦为 τ = Q·Sz / (Iz·b)。
2、几种常见截面的最大弯曲切应力（Iz 为整个截面对 z 轴之惯性矩，b 为 y 点处截面宽度）：
① 工字钢截面：翼缘部分 τmax 远小于腹板上的 τmax，只计算腹板上的 τmax。铅垂切应力主要由腹板承受（95%~97%），τmax ≈ Q/Af（Af 为腹板面积）。
② 圆截面；③ 薄壁圆环；④ 槽钢。各截面最大切应力由 τ = Q·Sz / (Iz·b) 计算，含偏心距 e、高度 h、半径 R 等几何量。
§7-4 梁的正应力和切应力强度条件
1、危险面与危险点分析：① 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。
2、正应力和切应力强度条件：σmax = Mmax / Wz ≤ [σ]，τmax = Qmax·Sz* / (Iz·b) ≤ [τ]。
② 带翼缘的薄壁截面，除上述危险点外，还有一个可能危险的点在 Q 和 M 均很大的截面的腹板与翼缘相交处。
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算。
4、需要校核切应力的几种特殊情况：
三类强度计算：① 校核强度；② 设计截面尺寸；③ 设计载荷。
例2 矩形（b×h = 0.12 m × 0.18 m）截面木梁如图，[σ] = 7 MPa，[τ] = 0.9 MPa，试求最大正应力和最大切应力之比，并校核梁的强度。
解：① 画内力图求危险面内力。已知 q = 3.6 kN/m，L = 3 m，Mmax = qL²/8。
② 求最大应力并校核强度；③ 应力之比：最大正应力与最大切应力之比由 σmax / τmax 计算。
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 [σL] = 30 MPa，[σy] = 60 MPa，截面形心位于 G 点，y₁ = 52 mm，y₂ = 88 mm，Iz = 763 cm⁴，试校核此梁的强度，并说明 T 字梁怎样放置更合理。
解：① 画弯矩图并求危险面内力（P₁ = 9 kN，P₂ = 4 kN，跨段 1 m、1 m、1 m，M 图含 –4 kN·m、2.5 kN·m）。
② 画危险面应力分布图，找危险点；③ 校核强度；④ T 字头在上面合理。
M 图控制值：–4 kN·m、2.5 kN·m。
§7-5 梁的合理截面
（一）矩形木梁的合理高宽比：北宋李诫于 1100 年著《营造法式》一书中指出矩形木梁的合理高宽比；英国 T. Young 于 1807 年著《自然哲学与机械技术讲义》一书中亦给出矩形木梁的合理高宽比。
（二）其它材料与其它截面形状梁的合理截面：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面。
正应力强度：σmax = M / Wz；切应力：τmax = Q·Sz* / (Iz·b)。
截面比较：直径 D 的实心圆与外径 D、内径 0.8D 的空心圆，以及边长 a 的方形截面，比较其抗弯截面模量。
工字形截面与框形截面类似，在合理布置材料后抗弯截面模量显著提高。
尺寸关系：0.8a₂、a₂、1.6a₂、2a₂。
2、根据材料特性选择截面形状：对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T 字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即若抗拉能力弱而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。
（三）采用变截面梁：最好是等强度梁，即各截面的最大正应力相等于许用应力；若为等强度矩形截面，则截面高度沿梁长变化。
§5-5 非对称截面梁的平面弯曲·开口薄壁截面的弯曲中心
几何方程与物理方程不变，依此确定正应力计算公式；切应力研究方法与公式形式不变。
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴；若是横向力，还必须过弯曲中心。
以槽钢为例：含偏心距 e、Q、M、σ。
弯曲中心的确定：
§5-6 考虑材料塑性时的极限弯矩
（一）物理关系：全面屈服后平面假设不再成立，仍做纵向纤维互不挤压假设。
理想弹塑性材料的 σ–ε 图：弹性极限分布图与塑性极限分布图（σs）。
（二）静力学关系：由横截面正应力分布图（σs）积分得塑性极限弯矩 Mjx。
横截面图与正应力分布图：y、z 坐标，σs，塑性极限弯矩 Mjx。
例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩 Mmax 与塑性极限弯矩 Mjx 之比。
解：分别按弹性分布与塑性分布积分求两个弯矩再取比值。
[例5] 结构如图，试证明：（1）任意横截面上的切应力的合力等于该面的剪力；（2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩；（3）过高度中点做纵截面，那么此纵截面上的切应力的合力由哪个力来平衡？
解：（1）横截面的切应力为 τ = Q·Sz* / (Iz·b)。已知 h、b、q。
(2) 横截面上的合剪力为 ∫τ dA；(3) 合力偶由 σ 对中性轴积分得到。
(4) 中面上的切应力为 τ′，由切应力互等得；(5) 纵截面上的合剪力大小为相关积分值。
纵面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡（τmax、τ′）。
本章结束
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