02 第二章 流体静力学.pptx

第1页：第二章 流体的平衡

研究内容：处于平衡状态下的力学规律及在工程中的应用。

绝对静止（平衡）状态

以地球作为惯性参考坐标系，流体相对惯性参考坐标系没有运动时的状态。

相对静止（平衡）状态

流体相对惯性参考坐标系有运动，而相对某非惯性参考坐标系没有运动时的状态。

第2页：第二章主要内容

本章主要内容：

• 作用在流体上的力
• 流体静压强及其特性
• 流体平衡微分方程
• 流体静力学基本方程
• 压强的计量
• 液体的相对平衡
• 静止液体作用在固体壁面的总压力

第3页：作用在流体上的表面力

作用在流体上的力分为表面力和质量力两大类。

表面力

作用在流体中所取某部分流体（分离体）表面上的力，即周围流体（同种或不同种）或固体通过接触面作用在其上的力，如压力、内摩擦力（切应力）。

第4页：表面力的法向与切向分解

在体积为 V、表面积为 A 的流体上任取微元面积 δA，其上的作用力 δF 分解为法向力 δF_n 与切向力 δF_τ：

• 法向力（压强）：p = lim(δA→0) δF_n/δA，单位 N/m²。
• 切向力（切应力）：τ = lim(δA→0) δF_τ/δA，单位 N/m²。

第5页：作用在流体上的质量力

质量力

作用在流体内部所有流体质点上，并与流体的体积或质量成正比的力，又称体积力，例如重力、惯性力、磁力。

第6页：流体微团的重力与惯性力

• 体积为 V 的流体微团，受地球引力产生的重力为 ρgV；流体存在加速度 a 时，根据达朗贝尔原理虚加惯性力 −ρVa。
• 单位质量流体的质量力记为 f，在笛卡尔直角坐标系中 f = f_x i + f_y j + f_z k。
• 重力场中：f_x = f_y = 0，f_z = −g。

第7页：流体所受作用力的分类

• 表面力：法向应力（压力）p、切向应力 τ 和表面张力 σ（一般不考虑）。
• 质量力（体积力）：重力、惯性力。

第8页：流体静压强及其两个特性

静压强

静止流体内的压强，包括绝对静止和相对静止两种情况。

静压强的两个特性：

• 流体静压强的方向指向作用面的内法线方向。
• 静止流体中任一点静压强的大小与其作用面的空间方位无关，只是该点坐标的函数，即同一点上各方向的静压强均相等。

第9页：静压强特性1的证明

• 流体中任意点所受的力均可分解为切向应力和法向应力；流体若受拉力作用就要发生运动。
• 若作用力不垂直于作用面，则可分解成法向和切向应力，不能满足平衡状态的要求。
• 流体静止时 du/dy = 0，故切应力 τ = 0，只存在法向力（压力）。

第10页：静压强特性2的证明

静止流体中同一点上各方向的静压强均相等：p₁ = p₂ = p₃ = p(x, y, z)。

第11页：微元四面体的受力分析

取微元四面体 ABCD，各面受压强 p_x、p_y、p_z、p_n 作用，质量力为 ρf dxdydz/6。

x 方向力平衡方程：p_x·(dydz/2) − p_n·ΔBCD·cos(n, x) + f_x·ρdxdydz/6 = 0。

第12页：流体元缩为一点的推导

令流体元缩为一点（dx → 0），略去高阶小量后得 p_x − p_n = 0，即 p_x = p_n；同理 p_y = p_n，p_z = p_n。

故 p_x = p_y = p_z = p_n = p(x, y, z)，静压强只是空间位置的函数。

第13页：静压强特性的适用范围讨论

• 只要流体内部无切应力存在，无论流体处于静止还是流动状态，任一点压强大小都与作用面方位无关，只是空间点位置的函数。
• 该结论对绝对静止、相对静止的流体，以及对流动的理想流体都成立。
• 对于粘性流体，若流体质点间存在相对运动则产生切应力，此时一点的法向应力在不同方向的大小可能不相同。

第14页：欧拉平衡微分方程受力分析

取微元六面体 dxdydz，表面力为法向应力：x 方向左表面受力 (p − ∂p/∂x·dx/2)dydz，右表面受力 (p + ∂p/∂x·dx/2)dydz；质量力为 f_x ρdxdydz。

第15页：x方向的力平衡方程

流体处于平衡状态时，x 方向：f_x ρdxdydz − (∂p/∂x)dxdydz = 0，即 f_x − (1/ρ)(∂p/∂x) = 0；同理 f_y − (1/ρ)(∂p/∂y) = 0，f_z − (1/ρ)(∂p/∂z) = 0。

第16页：流体平衡微分方程的矢量形式

流体平衡微分方程又称欧拉平衡微分方程，由欧拉在 1775 年提出。矢量形式为 f − (1/ρ)∇p = 0，或 f − (1/ρ)grad p = 0，▽ 为哈密尔顿算子。

其中压强梯度 ∇p = (∂p/∂x)i + (∂p/∂y)j + (∂p/∂z)k。该方程建立了作用在静止流体上的表面力和质量力相互平衡的关系式。

第17页：压强差公式

将欧拉平衡微分方程三式两边分别乘以 dx、dy、dz 后相加整理，得压强差公式：

dp = ρ(f_x dx + f_y dy + f_z dz)

第18页：等压面及其微分方程

等压面

压强相等的点组成的面，满足 dp = 0，即 f_x dx + f_y dy + f_z dz = 0。

用矢量表示为 f·ds = 0，即作用在静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面。重力场中，任何均质的静止流体的水平面都是等压面。

第19页：质量力的势函数和有势力

若 f_x = −∂π/∂x，f_y = −∂π/∂y，f_z = −∂π/∂z，由于 dp 是压力的全微分，f_x dx + f_y dy + f_z dz 可看作某一函数（−π）的全微分，其充要条件为各偏导数交叉相等。

此时 f = −grad π，即单位质量流体的质量力是 π 的负梯度。

第20页：势函数的物理意义

• π 函数称为质量力的势函数，有势函数存在的质量力称为有势力。
• π 的偏导数为质量力在各坐标轴上的投影；流场中任意点均存在质量力，这个空间称为质量力场或势力场。
• 单位质量流体在质量力作用下移动 dl，质量力作功为 f·dl = f_x dx + f_y dy + f_z dz。

第21页：不可压缩与可压缩流体的势函数

• 不可压缩流体（ρ = 常数）：π = −p/ρ。
• 可压缩流体（ρ ≠ 常数）：π = −∫dp/ρ。
• 完全气体等温流动：π = −RT₀ ln p。
• 完全气体等熵流动（p = cρ^k）：π = −[k/(k−1)]·p/ρ。

第22页：重力场中液体的平衡方程

自然界和工程中通常质量力只有重力：f_x = 0，f_y = 0，f_z = −g，代入压强差公式得 dp = −ρg dz。

对于不可压均质重力流体（ρ = 常数）积分得：ρgz + p = C。

第23页：流体静力学基本方程

流体静力学基本方程：z₁ + p₁/(ρg) = z₂ + p₂/(ρg)，或 ρgz + p = C。

适用于只有重力作用下的、处于平衡状态的不可压均质流体，对非均质流体不适用。

第24页：静力学基本方程的物理意义

• z：单位重量流体的位能；p/(ρg)：单位重量流体的压强势能。
• 在 a 点接测压管，流体在压差作用下沿管上升高度 h = p/(ρg)，压力作功等于压力乘以上升高度。
• 由测压管截面推导可得 h = p/(ρg)，即压强可用液柱高度表示。

第25页：静力学基本方程的几何意义

• z：单位重量流体的位置高度，或位置水头。
• p/(ρg)：单位重量流体的压强水头。
• 在不可压静止流体中，任意点单位重量流体的总势能保持不变；对某一基准线，任意点静水头的连线为一水平线。

第26页：流体静力学思考题

思考题：

1. 举出几种不同性质的质量力。
2. 举例说明流体静压强的第二特性。
3. 推导完全气体的等熵流动 p = cρ^k，求质量力的势函数。
4. 静力学基本方程的物理意义及几何意义。

第27页：流体静力学内容回顾

上一节授课内容回顾：

• 作用在流体上的力：质量力和表面力。
• 流体静压强及其特性：方向指向作用面内法线方向；同一点上各方向的静压强均相等。
• 流体平衡微分方程与压强差公式：f − (1/ρ)∇p = 0，dp = ρ(f_x dx + f_y dy + f_z dz)。
• 流体静力学基本方程：ρgz + p = C。

第28页：压强计算公式

取自由液面（z = 0 为基准面，压强 p₀）与深度 h 处的 a 点列静力学基本方程：p₀/(ρg) + h = 0 + p/(ρg)。

由此得到压强计算公式：p = p₀ + ρgh。

第29页：压强计算公式的物理意义

• 深度为 h 处的压强等于自由表面的压强 p₀ 加上高为 h、底为 1 的液柱重量，压强随深度 h 按线性关系变化。
• 自由表面压强 p₀ 的任何变化，都会引起液体内部压强的变化。帕斯卡原理：液面的压强以不变的数值在液体内传递，如水压机、液压传动装置。
• 静止流体中深度相同的诸点压强均相等；均质重力流体中等压面为水平面，但非均质流体在同一水平面上并非全是等压面。

第30页：帕斯卡原理与活塞传压

容器上加一活塞，作用力为 F、活塞面积为 A，则 p₀ = F/A，液体中任意一点的压强为 p = F/A + ρgh。

在平衡液体中，作用在液体部分边界面上的外力所产生的压力将均匀地传递到液体的每一点上去，即帕斯卡原理，也是水压机与液压传动装置的设计原理。

第31页：标准大气压与压强基准

• 标准大气压：海平面 z = 0，密度 ρ₀ = 1.225 kg/m³，温度 T₀ = 288 K（15 ℃），压强 p₀ = 101325 Pa = 760 mmHg。
• 当地大气压强随当地经纬度、海拔高度及季节、时间的不同而不同，可用水银气压计测量。
• 压强关系：p_a = ρgh + p_v ≈ ρgh。

第32页：绝对压强与相对压强

绝对压强 p

以完全真空状态为基准计量的压强。

相对压强

以大气压强为基准计量的压强。p > p_a 时为表压强 p_g = p − p_a；p < p_a 时习惯用真空度 p_v = p_a − p 表示。

单位换算：1 atm = 10.33 mH₂O = 760 mmHg = 101325 Pa；1 bar = 10⁵ Pa。

第33页：例题 油箱内油水界面压强

已知：油相对密度 0.68，油层高 0.5 m，水层高 0.09 m，水的密度 1000 kg/m³，求油水界面和油箱底部压强。

解：油水界面压强 p₁ = p_a + 0.68×1000×9.8×0.5 = p_a + 3.33×10³ Pa，用表压强表示为 3.33×10³ Pa；油箱底部表压强 p₂g = 3.33×10³ + 1000×9.8×0.09 = 4.21×10³ Pa。

第34页：测压管

测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的容器上，表压强 p_g = ρgh，真空度 p_v = ρgh。

• 优点：结构简单，测量直接而准确。
• 缺点：只能测量较小的压强。
• 为减轻毛细现象的影响，玻璃管直径一般不小于 10 mm。

第35页：U型管式测压计

U 型管测压计找等压面的两条规则：

1. 在连通的同一种静止流体中，如果两点高度相同，则它们的压强相等。
2. 沿液柱向上移动时压强减小，向下移动时压强增大。

取两液体分界面为等压面，p₁ = p + ρ₁gh₁ = p_a + ρ₂gh₂，联立得 p = p_a + ρ₂gh₂ − ρ₁gh₁，计示压强 p_g = ρ₂gh₂ − ρ₁gh₁；被测流体为气体时，ρ₁gh₁ 项通常忽略。

第36页：U型管测压计的使用与差压测量

• U 型管测压计可用来测气体或液体压强，应选恰当密度的指示液以适应不同大小的被测压强：水银、酒精、水、CCl₄（比重 1.595）。
• 还可用作差压计：p_A + ρ₁gh₁ − ρ₂gh₂ − ρ₃gh₃ = p_B，即 p_A − p_B = ρ₂gh₂ + ρ₃gh₃ − ρ₁gh₁。

第37页：复式压差计

复式压差计测量 Δp = p_A − p_B 时，沿等压面逐级推算：p_A − ρ₂g(z₂ − z₁) + ρ₁g(z₂ − z₁ + z₄ − z₃) − ρ₁g(z₂ − z₃) = p_B。

规律：位置上升压强减少，位置下降压强增加。

第38页：倾斜微压计

可调倾斜角 α 的玻璃管与一大容器相通，用于测量微小流体压强、提高测量精度。

• 未感受压差（p₁ = p₂）时液面在同一水平位置。
• 有压差时玻璃管内液面上升长度 l，上升高度 h₁ = l·sin α；大容器液面下降 h₂，由 A₁h₂ = A₂l 得 h₂ = (A₂/A₁)l。
• 两液面实际高度差 h = h₁ + h₂ = l(sin α + A₂/A₁)。

第39页：微压计常数

找等压面得 p₂ = p₁ + ρgh，即 p₂ − p₁ = ρgh = ρgl(sin α + A₂/A₁) = K·l。

当 A₁、A₂、ρ 不变时，改变 α 可得不同的 K 值，K = 0.2、0.3、0.4、0.5、0.6，称为微压计常数。

第40页：例题 油箱压缩空气压强

已知：储油箱内油相对密度 0.90，指示液水银相对密度 13.6，h₁ = 1.2 m，h₂ = 0.20 m，h₃ = 0.30 m，求压缩空气压强（计示压强）。

解：由等压面关系 p_空气 + ρ_油(h₁ + h₂)g − ρ_水银 h₃g = 0，代入得 p_空气 = 13.6×1000×0.30×9.8 − 0.90×1000×(1.20 + 0.20)×9.8 = 2.76×10⁴ Pa。

第41页：等加速水平运动容器中的液体平衡

任取一流体质点 m，作用在其上的质量力为 f = (−a, 0, −g)，代入压强差公式 dp = ρ(−a dx − g dz) 积分得 p = −ρg(ax + gz) + c。

由边界条件 x = 0、z = 0 时 p = p₀，得 c = p₀，故 p = p₀ − ρg(ax + gz)。

第42页：等加速容器的等压面与自由液面

• 等压面方程：ax + gz = c，等压面为一系列与水平面倾斜的平面，倾角 α = arctan(a/g)。
• 自由液面方程：ax + gz_s = 0，即 z_s = −(a/g)x。
• 以淹深表示的静压强分布：p = p₀ + ρgh，h = z_s − z 为自由面下的深度。

第43页：等加速容器压强公式的结论

等加速水平运动容器中液体的静压强公式与静止流体中的静压强公式形式完全相同：液体中任一点的压强等于自由表面上的压强 p₀ 加上该点淹深为 h 的单位面积液柱重力所产生的压强 ρgh。

第44页：匀速转动容器中的压强分布

体积力 f = (ω²x, ω²y, −g)，代入 dp = ρ(ω²x dx + ω²y dy − g dz) 积分得 p = ρg[ω²(x² + y²)/(2g) − z] + c = ρg[ω²r²/(2g) − z] + c。

由自由面条件 r = 0、z = 0 时 p = p₀，得 p = ρg[ω²r²/(2g) − z] + p₀。

第45页：旋转抛物面自由液面

• 自由液面方程：z_s = ω²r²/(2g)，等压面为绕轴旋转的抛物面族。
• 以淹深表示的静压强分布：p = p₀ + ρgh，其中 z_s = ω²r²/(2g)。
• 应用：洗衣机、离心铸造、石油、化工、制药、环保（油水分离机）。

第46页：旋转容器压强公式的结论

等角速旋转容器中，液体的静压强公式和静止流体中的静压强公式形式完全相同。注意：利用上述公式作习题时，所选坐标一定要和公式推导时所选的坐标一致。

第47页：例题 离心铸造圆盘受力

已知：ρ = 7000 kg/m³，ω = 20π rad/s，R = D/2 = 0.45 m，h = 0.2 m，求 AA 圆盘受铁水的作用力。

解：AA 面压强 p = p₀ + ρg[ω²r²/(2g) − z]，积分 F = ρg∫₀^R [ω²r²/(2g) + h]·2πr dr = 2πρg[ω²R⁴/(8g) + hR²/2] = 897 kN。

第48页：例题 旋转水杯角速度与液位差

半径为 R 的水杯绕垂直轴以恒定角速度 ω 旋转，杯内旋转抛物液面最低点距杯底高 h₀，杯静止时液面高 H，求 ω 与液位差 H − h₀ 的函数关系。

解：设半径 r 处自由液面高为 h，液体体积 V = 2π∫₀^R r[h₀ + ω²r²/(2g)]dr，由体积 πR²H 不变得 πR²H = πR²h₀ + πω²R⁴/(4g)，即 H − h₀ = ω²R²/(4g)。

第49页：压强计量与相对平衡思考题

思考题：

1. 表压和真空的异同？
2. 用真空表测量流体压强时，真空表的读数为 20 kPa，若当地大气压强为 98000 Pa，则流体的绝对压强为多少？

作业：2-2，2-3，2-4，2-6。

第50页：压强计量与相对平衡回顾

上一节授课内容回顾：

• 压强计算公式：p = p₀ + ρgh。
• 压强的计量：绝对压强、表压 p_g、真空 p_v、相对压强。
• 压强的测量：测压管、U 型测压计、倾斜式微压计。
• 液体的相对平衡：等加速水平运动容器中液体的相对平衡、匀速转动容器中流体平衡。

第51页：静止液体作用在平面上的总压力

微元面 dA 处的压强 p = p₀ + ρgh = p₀ + ρg y sinθ，微元作用力 dF = (p₀ + ρg y sinθ)dA。

总压力 F = ∫_A dF = ∫_A (p₀ + ρg y sinθ)dA = p₀A + ρg sinθ ∫_A y dA。

第52页：平面总压力与形心压强

平面 A 对 ox 轴的面积矩 ∫_A y dA = y_c A，y_c 为形心 C 到 ox 轴的距离，且 y_c sinθ = h_c（形心的淹深）。

故 F = (p₀ + ρgh_c)A：静止液体中作用在平壁面上的作用力，等于该平壁面形心处的静压强与壁面面积的乘积，作用方向垂直于该平壁面。

第53页：大气压作用的抵消

若自由液面上的压强为大气压，且壁面的另一侧面也处于大气压强作用之下，则只需考虑静止液体的作用力，而不计大气压的影响：

F = ρgh_c A

第54页：总压力作用点与压力中心

总压力 F 对 ox 轴的力矩等于各微元面上力对 ox 轴力矩的总和：F·y_D = ∫_A ρg sinθ·y² dA = ρg sinθ·I_x。

故 y_D = I_x/(y_c A)，其中 I_x 为面积对 ox 轴的惯性矩。一般有 y_D > y_c，即压力中心位于形心的下方。

第55页：例题 水下平板的总压力

已知：水深 h = 3 m，平板宽 b = 5 m，倾角 α = 30°，求总压力和压力中心。

解：F = ρgh_c A = ρg·(h/2/sin α)·(b·h/sin α)，代入数据得 F = 441 kN；由 y_D = I_x/(y_c A) 计算，压力中心位于距离底部 L/3 处。

第56页：曲面总压力的水平分力

作用在微元 dA 上的总压力 dF = ρgh dA，分解为水平分力 dF_px = ρgh dA cosθ = ρgh dA_x 与垂直分力。

水平分力 F_px = ∫ ρgh dA_x = ρgh_c A_x，其中 h_c 是曲面在垂直面上的投影面积 A_x 的形心距自由液面或其延长线的淹深。

第57页：压力体与垂直分力

垂直分力 dF_pz = ρgh dA sinθ = ρgh dA_z，积分得 F_pz = ρg∫ h dA_z = ρgV_p，V_p 即压力体体积，它是个纯数学概念，与体积内是否充满液体无关。

总压力大小 F = √(F_px² + F_pz²)，方向角 θ = arctan(F_pz/F_px)。

第58页：压力体实例

压力体 V_p = ∫_A h dA_z，指受力曲面与自由面在垂直方向构成的空间体积，与其内部是否充满液体无关。图中给出凹面、凸面等不同曲面下压力体的画法示例。

第59页：压力体的定义与应用

压力体是指所研究曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间所包围的一块空间体积。

对于形状、尺寸和淹深完全相同的两个二维曲面 ab 与 a′b′，液体对二者的垂直作用力可通过各自的压力体计算求得，结果可能不同。

第60页：曲面总压力的求解步骤

分析求解静止液体作用在曲面上的总压力的步骤：

1. 将总压力 F 分解为水平分力 F_px 和垂直分力 F_pz；
2. 计算水平分力 F_px；
3. 确定压力体 V_p 的体积并计算对应的垂直分力 F_pz；
4. 计算总压力 F；
5. 确定总压力方向 θ。

第61页：阿基米德浮力定律

由压力体关系 V_p = V_p1 − V_p2，沉体受到的浮力 F_浮 = F₁ − F₂ = ρg(V_p1 − V_p2) = ρgV_p。

即沉体受到的浮力等于其排开的液体重量，这就是阿基米德浮力定律。

第62页：例题 半球形盖受力

有一贮水容器，其壁面上有三个半球形的盖子。已知 d = 0.5 m，h = 1.5 m，H = 2.5 m，水的密度为 1000 kg/m³，求作用在每个盖上的作用力。

第63页：底盖与顶盖的受力计算

• 底盖 1：作用在盖子左半部和右半部的水平分力大小相等、方向相反，总压力的水平分力为 0，总压力等于垂直分力 F_pz1 = ρg[πd²/4·(H + h/2) + πd³/12] = 6579 N。
• 顶盖 2：水平分力同样为 0，总压力等于垂直分力 F_pz2 = ρg[πd²/4·(H − h/2) − πd³/12] = 3049 N。

第64页：侧盖的受力计算

• 水平分力：F_px3 = ρgh_c A_x = ρgH·πd²/4 = 1000×9.807×2.5×(π×0.5²/4) = 4841 N。
• 垂直分力：等于半球体积所包含水的重力，F_pz3 = ρg·(πd³/12) = 321 N。
• 合成：F_p3 = √(4841² + 321²) = 4825 N，方向角 θ = arctan(F_pz3/F_px3) ≈ 3.8°。

第65页：例题 半球形盖总压力

有一贮水容器，箱体高 h = 2 m，上部为一半径 R = 1 m 的半球形盖，容器一侧装有压力表，读数为 96120 Pa，水的密度为 1000 kg/m³，求水对半球形盖的总压力。

第66页：折合自由液面求解

题中未给出自由液面，可将压力表读数 p_g 折合成具有自由液面的液柱高度：H = p_g/(ρg) = 96120/(1000×9.807) = 9.801 m。

顶盖总压力的水平分力为 0，故等于垂直分力：F_pz = ρg[πR²(H − h/2) − 2πR³/3] = 250 kN。

第67页：例题 圆柱体的平衡

有一长 1 m、直径 d = 0.6 m 的圆柱体，在图示位置恰好处于平衡状态，水的密度为 1000 kg/m³，不计任何摩擦力，计算此圆柱体的质量和向右壁的推力。

第68页：圆柱体 AB 面的水平分力

为分析方便，将圆柱体分成上下两部分并建立坐标系。上部分右侧壁面 AD 仅受空气作用而不受水作用，可不予考虑，故静止液体的作用力仅在 AB 面和 BCD 面。

AB 面的水平分力 F_px1 = ρgh_c A_x = ρg·(d/2)·(d/2)·l = 1000×9.807×0.6×0.6×1 = 441.3 N。

第69页：圆柱体 BCD 面的受力

• BCD 面两侧对称，总压力的水平分力为 0，因此 F_px1 即是圆柱体对右壁的推力。
• AB 面总压力的垂直分力：F_pz1 = ρgV_p1（对应下部压力体）。
• BCD 面总压力的垂直分力：F_pz2 = ρgV_p2（对应上部压力体）。
• 圆柱体自身重力 W = mg。

第70页：圆柱体质量与推力结果

由力平衡方程 W = F_pz2 − F_pz1，代入压力体表达式得 m = ρl(3πd²/16 + d²/4)。

代入 l = 1 m、d = 0.6 m、ρ = 1000 kg/m³，得圆柱体质量 m = 302 kg；对右壁的推力等于 AB 面的水平分力 F_px1 = 441.3 N。

第71页：第二章思考题与作业

思考题：

1. 压力体的含义。
2. 液体对固体壁面的总压力与压强的区别？
3. 计算总压力时为什么不考虑大气压的影响？

作业：2-9，2-10。